多元分布的基本概念

多元分布的基本概念

一、 随机向量二、分布函数与密度函数三、多元变量的独立性四、随机向量的数字特征1在研究社会、经济现象和许多实际问题时，经常遇到多指标的问题。例如研究职工工资构成时，计时工资、基础工资与职务工资、各种奖金、各种津贴等都是同时需要考察的指标；又如在研究公司的运营情况时，要涉及公司的资金周转能力、偿债能力、获利能力及竞争能力等财务指标，这些都是多指标的研究问题。显然，仅研究某个指标或将这些指标割裂开来分别研究，都不能从整体上把握所研究问题的实质。一般地，假设我们所研究的问题涉及p个指标，n次观测，这将会得到np个数据，我们的目的就是对观测对象进行分组、分类或分析、考察这p个变量之间的相互关联程度，或找出内在规律等。下面我们简要介绍多元分析中涉及的一些概念。2一、随机向量我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测p个指标（即变量），又进行了n次观测得到的，我们把这p个指标表示为常用向量表示对同一个体观测的p个变量。若观测了n个个体，则可得到np个数据，称每一个个体的p个变量为一个样品，而全体n个样品形成一个样本。因此，样本资料可用矩阵语言表示为

定义一设为p个随机变量，由它们组成的向量称作随机向量。3二、分布函数与密度函数

（一）、多元概率分布1、多元概率分布函数随机向量的概率分布函数定义为2、分布函数的性质①非降的右连续函数；4②分布函数的取值范围为[0，1]，即③分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即5（二）、两个常用的离散多元分布

1、多项分布则称服从多项分布。62、多元超几何分布则服从多元超几何。7

（三）、多元概率密度

1、定义随机向量的分布函数可以表示为则称为连续型随机向量。称为的多元概率密度函数。

8若在点连续，则9（四）、边际分布

设有连续随机向量

不妨设是的q个分量组成。则的分布为

10所以的边际密度为例有概率密度函数试分别求的边际密度。11三、多元变量的独立性1、定义设和是两个随机向量，若

对一切、成立，则称和相互独立。2、设和是两个连续随机向量，和相互独立，当且仅当或对一切、成立。123、设是个随机向量，若

对一切成立，则相互独立。13例设X=(x1,x2,x3)’有概率密度函数试证x1,x2,x3相互独立。14四、随机向量的数字特征设有p个分量。若存在，我们定义随机向量X的均值为（一）、随机向量X的均值是由随机变量构成的随机矩阵。15是一个p维向量，称为均值向量。162、性质

1）

设

为常数，则；2）设分别为常数矩阵，则3）设为个同阶矩阵，则17（二）、协方差矩阵

1、定义：设和分别为维和维随机向量，则其协方差矩阵为182、性质1）若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)相互独立。则19若(x1,x2,…，xp)’的分量相互独立,则协方差矩阵， 除主对角线上的元素外均为零，即20

2）随机向量X的协方差矩阵

是非负定矩阵。证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则

3、若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则21三、相关系数矩阵若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，y