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文档简介
河南省许昌、新乡、平顶山市2024年高考仿真模拟数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.2.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.3.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.4.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知集合,,则等于()A. B. C. D.6.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.7.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.8.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()A.156 B.124 C.136 D.1809.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()10.已知函数,若曲线在点处的切线方程为,则实数的取值为()A.-2 B.-1 C.1 D.211.天干地支,简称为干支,源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成,以此往复,60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份,则这2个年份的天干或地支相同的概率为()A. B. C. D.12.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为______.14.已知函数恰好有3个不同的零点,则实数的取值范围为____15.在直角三角形中,为直角,,点在线段上,且,若,则的正切值为_____.16.设函数满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面为正方形,,,,,为的中点,为棱上的一点.(1)证明:面面;(2)当为中点时,求二面角余弦值.18.(12分)设都是正数,且,.求证:.19.(12分)已知在平面四边形中,的面积为.(1)求的长;(2)已知,为锐角,求.20.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.21.(12分)如图所示,在四棱锥中,∥,,点分别为的中点.(1)证明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.22.(10分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.2、C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.3、A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.4、D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.5、B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.6、A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.7、A【解析】
先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、A【解析】
因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,,.故选:A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9、D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.10、B【解析】
求出函数的导数,利用切线方程通过f′(0),求解即可;【详解】f(x)的定义域为(﹣1,+∞),因为f′(x)a,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故选:B.【点睛】本题考查函数的导数的几何意义,切线方程的求法,考查计算能力.11、B【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组(每组2个),地支相同的年份有8组(每组2个),从这20个年份中任取2个年份,则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.12、B【解析】
根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【详解】如图:此四棱锥的高为,底面是长为,宽为2的矩形,所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断.14、【解析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根,然后转化成求函数值域即可.【详解】解:恰好有3个不同的零点恰有三个根,令,,在递增;,递减,递增,时,在有一个零点,在有2个零点;故答案为:.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点,这类题一般用分离参数的方法,中档题.15、3【解析】
在直角三角形中设,,,利用两角差的正切公式求解.【详解】设,,则,故.故答案为:3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值,关键在于合理构造角的和差关系,其本质是利用两角差的正切公式求解.16、1【解析】
判断函数为偶函数,周期为2,判断为偶函数,计算,,画出函数图像,根据图像到答案.【详解】知,函数为偶函数,,函数关于对称。,故函数为周期为2的周期函数,且。为偶函数,,,当时,,,函数先增后减。当时,,,函数先增后减。在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有1个公共点,则函数在上的零点个数为1.故答案为:.【点睛】本题考查了函数零点问题,确定函数的奇偶性,对称性,周期性,画出函数图像是解题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证明面面,只需证明面即可;(2)以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系,分别计算出面法向量,面的法向量,再利用公式计算即可.【详解】证明:(1)因为底面为正方形,所以又因为,,满足,所以又,面,面,,所以面.又因为面,所以,面面.(2)由(1)知,,两两垂直,以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系如图所示,则,,,,则,.所以,,,,设面法向量为,则由得,令得,,即;同理,设面的法向量为,则由得,令得,,即,所以,设二面角的大小为,则所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角,考查学生的运算求解能力,此类问题关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18、证明见解析【解析】
利用比较法进行证明:把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,,所以,∴成立,又都是正数,∴,①同理,∴.【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。19、(1);(2)4.【解析】
(1)利用三角形的面积公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,进而求得,利用同角三角函数的基本关系式求得.【详解】(1)在中,由面积公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,为锐角.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的基本关系式,属于中档题.20、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)令,求导,可知单调递增,且,,因而在上存在零点,在此取得最小值,再证最小值大于零即可.(2)根据题意得到在点处的切线的方程①,再设直线与相切于点,有,即,再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得,即,根据,转化为,,令,转化为要使得在上存在零点,则只需,求解.【详解】(1)证明:设,则,单调递增,且,,因而在上存在零点,且在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为.所以,即.(2),故,故切线的方程为①设直线与相切于点,注意到,从而切线斜率为,因此,而,从而直线的方程也为②由①②可知,故,由为正整数可知,,所以,,令,则,当时,为单调递增函数,且,从而在上无零点;当时,要使得在上存在零点,则只需,,因为为单调递增函数,,所以;因为为单调递增函数,且,因此;因为为整数,且,所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)根据题意,连接交于,连接,利用三角形全等得,进而可得结论;(2)建立空间直角坐标系,利用向量求得平面的法向量,进而可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连接交于,连接,,≌,且,面面,面,(2)取中点,连,.由,面面面,又由,以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,设,则,,,,,,为面的一个法向量,设面的法向量为,依题意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角为锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意中位线和向量法的合理运用,属于基础题.22、(1)
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