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文档简介
中考模拟测试数学卷
学校班级姓名成绩
一、选择题
1.-5的相反数是()
A.—5B.5C.—D.—
55
2.把0.0813写成“X10"(lWa<10,“为整数)的形式,则“为()
A.1B.-2C.0.813D.8.13
3.下列立体图形中,主视图是三角形的是().
4.如图,直线被c,d所截,且。//。,则下列结论中正确的是()
A.Z1=Z2B.N3=N4C.Z2+Z4=180D.4+N4=180
5.己知xi、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是()
A.X1/X2B.xi+x2>0C.Xl«X2>0D.xi<0,X2<0
6.在只有15人参加的演讲比赛中,参赛选手的成绩各不相同,若选手要想知道自己是否进入前8名,只需
要了解自己的成绩以及全部成绩的()
A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对
7.如图,AC是OO的直径,弦BD_LAO于E,连接BC,过点0作OF_LBC于F,若BD=8cm,AE=2cm,
则OF的长度是()
B,
5
c
A.3cmB.acmC.2.5cmD.亚cm
8.如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan/BAC的值为()
D
I
A.-B.1C.—D.也
23
9.抛物线y=ax2+bx+c对称轴为直线x=-l,部分图象如图所示,下列判断中:
①abc>0:
②b2-4ac>0;
③9a-3b+c=0;
④若点(-0.5,yi)(-2,y2)均在抛物线上,则yi>y2;
⑤5a-2b+c<0.
其中正确个数有()
A.2B.3C.4D.5
10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自耍拼一个与原来面积相等的正方
形,则()
.2.2]
乙
A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以
C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以
二、填空题
11.计算:(3x2019)°—2T=
12.写出一个满足V3<a<V17的整数a的值为—
13.学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕。点旋转到AC位置,已知AB_LBD,CD1BD,垂
足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为.
14.如图,一次函数y--2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式组{*2<J一
的解集为
15.刘微是我国古代最杰出的数学家之一,他在《九算术圆田术)中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,
并给出了计算圆周率的科学方法(注:圆周率=圆的周长与该圆直径的比值)“割圆术”就是以“圆内接
正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”,刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又
割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六
边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,
如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述
方法计算,可得圆周率为.(参考数据:sin15°=0.26)
三、解答题
■X
16.先化简,再求值:(1-」一)4--一,其中广2sin45°+1.
x+1X—1
17.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其
中条形图被墨迹遮盖了一部分.
(1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数;
(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的概率:
(3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,
则最多补查了人.
18.已知:如图,以等边AABC边BC为直径作。0,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFLAC交
AC于点F.
(1)求证:DF是。。的切线;
(2)若等边AABC的边长为8,求由OE、DF、EF围成的阴影部分面积.
19.某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年
在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金年平均增长率为多少?
(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前
1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天补助5元,按租房400天计算,试求今年
该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?
20.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数丫=工(k为常数且k30)的图象交于A(-1,a),B两点,
x
与X轴交于点C
(1)求此反比例函数的表达式;
3
(2)若点P在x轴上,且SAACP=—SABOC,求点P的坐标.
2
21.如图,在边长为2的正方形ABC。中,尸为A8的中点,。为边C。上一动点,设OQ=《OV/V2),
线段PQ的垂直平分线分别交边A。、8C于点M、N,过。作于点七,过“作。于
点尸.
(1)当时,求证:\PEQ=\NFM.
(2)顺次连接p、。、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量f之间的函数关系式,
并求S的最小值.
33
22.如图,直线y=--x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=x?+bx+c经过A、B两点,与x
48
轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上点,连接0P交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与0Q的比值为y,
求y与m的关系式,并求出PQ与0Q的比值的最大值
/c、11,•1,.,.1、tY,.AXB111t—*V-/«1J-*c/V*.
'殳△ODC外接圆的圆心为M,当sinzODC的值最大时,
雷用图
答案与解析
一、选择题
1.-5的相反数是()
A.—5B.5C.—D.—
55
【答案】B
【解析】
分析】
根据相反数的定义即可.
【详解】解:-5的相反数是5,
故选:B.
【点睛】本题考查了相反数的定义,解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.
2.把0.0813写成aXIO"(lWa<10,”为整数)的形式,则。为()
A.1B.-2C.0.813D.8.13
【答案】D
【解析】
把0.0813写成aX13(lWa<10,〃为整数)的形式,则a为8.13,
故选D.
3.下列立体图形中,主视图是三角形的是().
【答案】B
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图可得图形的主视图.
【详解】A、C、D主视图是矩形,故A、C、D不符合题意;
B、主视图是三角形,故B正确;
故选B.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图,圆锥的主视图是三角形.
4.如图,直线被c,d所截,且a//。,则下列结论中正确的是()
A.Z1=Z2B.N3=N4C.Z2+Z4=180D.Zl+Z4=180
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质进行判断即可得.
【详解】如图,Va//b,
:.Z\=Z5,Z3=Z4,
VZ2+Z5=180°,.•.无法得到N2=N5,即得不到N1=N2,
由已知得不到N2+N4=180、Zl+Z4=180,
所以正确的只有B选项,
故选B
【点睛】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
5.已知xi、X2是关于x的方程X?-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是()
A.X#X2B.xi+x2>0C.Xl,X2>0D.xi<0,X2<0
【答案】A
【解析】
分析:A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>(),由此即可得出x"x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出xi+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出XI・X2=-2,结论C错误;
D、由X>X2=-2,可得出XI<0,X2>0,结论D错误.
综上即可得出结论.
详解:AVA=(-a)2-4xlx(-2)=a2+8>0,
...X1rX2,结论A正确;
B、:X|、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,
;.xi+x2=a,
「a的值不确定,
•*.B结论不一定正确;
C、:X|、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,
.".xi«X2=-2,结论C错误;
D、*.'xi*X2=-2,
/.xi<0,X2>0,结论D错误.
故选A.
点睛:本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当A>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题
的关键.
6.在只有15人参加的演讲比赛中,参赛选手的成绩各不相同,若选手要想知道自己是否进入前8名,只需
要了解自己的成绩以及全部成绩的()
A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
此题是中位数在生活中的运用,知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名.
【详解】15名参赛选手的成绩各不相同,第8名的成绩就是这组数据的中位数,
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名.
故选B.
【点睛】理解平均数,中位数,众数的意义.
7.如图,AC是。O的直径,弦BDLAO于E,连接BC,过点O作OFJ_BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,
则OF的长度是()
A.3cmB.acmC.2.5cmD.^5cm
【答案】D
【解析】
分析:根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和性质解答
即可.
详解:连接0B,
〈AC是。0的直径,弦BD_LAO于E,BD=8cm,AE=2cm.
在RtZkOEB中,OE2+BE2=OB2,B|JOE2+42=(OE+2)2
解得:0E=3,
・・・OB=3+2=5,
••・EC=5+3=8.
在RtAEBC中,BC=《BE?+EC?=>/42+82=46•
VOF±BC,
・・・ZOFC=ZCEB=90°.
vzc=zc,
.'.△OFC^ABEC,
.OFOCOF5
・・一=—,BnrJl—=—尸,
BEBC44石
解得:OF=V5.
故选D.
点睛:本题考查了垂径定理,关键是根据垂径定理得出0E的长.
8.如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,贝Ijtan/BAC的值为()
e
cD.G
3
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形,即可求
出所求.
【详解】如图,连接BC,
由网格可得AB=BC=&,AC=V10,即AB2+BC2=AC2,
.".△ABC为等腰直角三角形,
ZBAC=45°,
贝ijtanNBAC=l,
故选B.
---------1-------
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的
关键.
9.抛物线丫=2*2+6*+(:的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示,下列判断中:
①abc>0;
②b?-4ac>0;
③9a-3b+c=O;
④若点(-0.5,yi),(-2,y?)均在抛物线上,则yi>y2;
⑤5a-2b+c<0.
其中正确的个数有()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
分析:根据二次函数的性质一一判断即可.
【详解】详解:•••抛物线对称轴x=-l,经过(1,0),
b
-----=-1,a+b+c=0,
2a
b=2a,c=-3a,
Va>0,
.,.b>0,c<0,
abc<0,故①错误,
•.•抛物线对称轴x=-l,经过(1,0),
可知抛物线与x轴还有另外一个交点(-3,0)
.♦.抛物线与x轴有两个交点,
.\b2-4ac>0,故②正确,
•..抛物线与x轴交于(-3,0),
/.9a-3b+c=0,故③正确,
•.•点(-0.5,yi),(-2,y2)均在抛物线上,
(-0.5,yi)关于对称轴的对称点为(-1.5,yi)
(-1.5,yi),(-2,y2)均在抛物线上,且在对称轴左侧,
-1.5>-2,
则yi〈y2;故④错误,
5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a<0,故⑤正确,
故选B.
【点睛】本题考查二次函数与系数的关系,二次函数图象上上的点的特征,解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题,属于中考常考题型.
10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方
形,贝ij()
_1_1.2_21
1\\j/\1:
_IL._-------:-------—
甲乙
A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以
C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以
【答案】A
【解析】
试题分析:剪拼如下图:
甲
故选A
考点:剪拼,面积不变性,二次方根
二、填空题
11.计算:(3x2019)°—2T=_.
【答案】L
2
【解析】
【分析】
根据零次嘉和负指数基的运算法则计算即可.
【详解】原式=1--=
22
故答案为:一.
2
【点睛】本题考查零次事与负指数新熟记""=±(470),是解题的关键.
a
12.写出一个满足a<J万的整数〃的值为..
【答案】答案不唯一:2、3、4.
【解析】
【分析】
根据算术平方根性质估计两个无理数的大小,即1<百<a<J万<屈=5,便可得出答案.
【详解】解:因为1<百<a<JI7<病=5,所以,正整数a是2,3,4.
故答案为:答案不唯一:2、3、4.
【点睛】本题考核知识点:实数的大小比较.解题关键点:根据算术平方根性质估计无理数的大小.
13.学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知ABLBD,CD1BD,垂
足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为.
【答案】0.4m
【解析】
【分析】
先证明△OAB^^OCD,再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】,:ABLBD,CD1,BD,
:.ZABO=ZCDO.
・・・NAOB=/COD,
.*.△OABs^oCD,
:.AO:CO=AB:CD,
A4:1=1.6:CD,
CD=OA.
故答案为0.4.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用,正确地把实际问题转化为相似三角形问题,利用相似三角形
的判定与性质解决是解题的关键.
14.如图,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式组{
一无一2<0
的解集为一.
【答案】-2<x<2
【解析】
【分析】
先将点P(n,-4)代入y=-x-2,求出n的值,再找出直线y=2x+m落在y=-x
-2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可.
【详解】•.•一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),
-4--n-2,解得n=2,
:.P(2,-4),
又:y=-x-2与x轴的交点是(-2,0),
2.x+nv^-x—2
关于X的不等式组〈八的解集为-2<x<2.
-x-2<0
故答案为一2<x<2.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式,体现了数形结合的思想方法,准确确定出
n的值,是解答本题的关键.
15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一,他在《九算术圆山术)中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,
并给出了计算圆周率的科学方法(注:圆周率=圆的周长与该圆直径的比值)“割圆术”就是以“圆内接
正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”,刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又
割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六
边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,
如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述
方法计算,可得圆周率为____.(参考数据:sinl5°=0.26)
【答案】3.12
【解析】
【分析】
连接而卜OA,,根据正十二边形的性质得到/4%2=30°,物z是等腰三角形,作〃于根据等
腰三角形三线合一的性质得出/4期=15°,44=24机设圆的半径R,解直角△4切/,求出4M进而得
到正十二边形的周长。那么圆周率"g-
2R
【详解】如图,设半径为彳的圆内接正十二边形的周长为£.
连接OA2,
•.,十二边形[也…亦是正十二边形,
二/4的2=30°.
作OML44于M,又OA、=OAz,
,44=24区
在直角犷中,4.井=flVsin/4QQO.26凡
.•.44=2440.52
.•.£=1244=6.24R,
同“L6.24
••圆周率丁Ig---=-----=3.12.
2R2R
故答案为3.12.
上6
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正多边形和圆,等腰三角形的性质,求出正十二边形的周长工
是解题的关键.
三、解答题
1Y
16.先化简,再求值:(1-——)4--一,其中X=2sin45°+1.
x+1x2-l
【答案】x-近.
【解析】
【分析】
先将括号内通分计算,再将除法变乘法,约分化简,最后代入x的值计算即可.
【详解】原式=一匚•生二三出
X+1X
=x-l,
5
当x=2x---+1=0+1时,
2
原式=友+1-1
=£
【点睛】本题考查分式的化简求值与特殊角度的三角函数值,熟练掌握分式的混合计算,熟记特殊角度的
三角函数值是解题的关键.
17.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其
中条形图被墨迹遮盖了一部分.
(1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数;
(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的概率;
(3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,
则最多补查了人.
人数人
【答案】(1)条形图中被遮盖的数为9,册数的中位数为5;(2)选中读书超过5册的学生的概率为
—;(3)3
12
【解析】
【分析】(1)用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再用总人数分别减去读书为4
册、6册和7册的人数得到读书5册的人数,然后根据中位数的定义求册数的中位数;
(2)用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率;
(3)根据中位数的定义可判断总人数不能超过27,从而得到最多补查的人数.
【详解】(1)抽查的学生总数为6・25%=24(人),
读书为5册学生数为24-5-6-4=9(A),
所以条形图中被遮盖的数为9,册数的中位数为5:
(2)选中读书超过5册的学生的概率=3=』;
2412
(3)因为4册和5册的人数和为14,中位数没改变,所以总人数不能超过27,即最多补查了3
人,
故答案为3.
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及概率公式,读懂统计图,从中找到必
要的信息进行解题是关键:概率的计算公式为:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结
果数除以所有可能出现的结果数.
18.已知:如图,以等边AABC的边BC为直径作。0,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFJ_AC交
AC于点F.
(1)求证:DF是。O的切线;
(2)若等边AABC的边长为8,求由£)E、DF、EF围成的阴影部分面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)6^--
3
【解析】
分析:(1)连接CD、0D,先利用等腰三角形的性质证AD=BD,再证0D为AABC的中位线得D0〃AC,
根据DFLAC可得;
(2)连接0E、作OGJ_AC,求出EF、DF的长及NDOE的度数,根据阴影部分面积=S(WEFDO-S出彩DOE计
算可得.
详解:(1)如图,连接CD、0D,
;BC是。0的直径,
ZCDB=90°,即CD_LAB,
又•••△ABC是等边三角形,
AAD=BD,
VBO=CO,
・・・DO是^ABC的中位线,
A0D/7AC,
•:DF±AC,
ADF1OD,
・・・DF是。。的切线;
(2)连接OE、作OG_LAC于点G,
ZOGF=ZDFG=ZODF=90°,
・・・四边形OGFD是矩形,
/.FG=0D=4,
VOC=OE=OD=OB,KZCOE=ZB=60°,
・•・AOBDWAOCE均为等边三角形,
AZBOD=ZCOE=60°,CE=OC=4,
・・・EG=;CENDF=OG=OCsin60°=273,ZDOE=60°,
:.EF=FG-EG=2,
则阴影部分面积为S悌形EFDO・S扇形DOE
160W
=X(2+4)x2垂)-
2360
=6-\/3---71.
3
点睛:本题主要考查了切线的判定与性质,等边三角形的性质,垂径定理等知识.判断直线和圆的位置关
系,一般要猜想是相切,再证直线和半径的夹角为90。即可.注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应
的线段长.
19.某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年
在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前
1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天补助5元,按租房400天计算,试求今年
该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?
【答案】(1)50%;(2)今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.
【解析】
【分析】
(1)设年平均增长率为x,根据“2015年投入资金x(1+增长率)2=2017年投入资金”列出方程,解方程即
可;(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的
奖励总和"00万“列不等式求解即可.
【详解】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意,
得:1280(1+x)2=1280+1600,
解得:x=0.5或x=-2.25(舍),
答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%;
(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据题意,
得:1000x8x400+(a-1000)x5x400>5000000,
解得:a>1900,
答:今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.
考点:一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.
20.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y二七(k为常数且kwO)的图象交于A(-1,a),B两点,
x
与X轴交于点C
(1)求此反比例函数的表达式;
3
(2)若点P在x轴上,且S^ACP二一S^BOC,求点P的坐标.
2
4
/c0\
3
【答案】(1)y=-一(2)点P(-6,0)或(-2,0)
x
【解析】
【分析】
(1)利用点A在y=-x+4上求a,进而代入反比例函数y=七求k.
X
(2)联立方程求出交点,设出点P坐标表示三角形面积,求出P点坐标.
【详解】(1)把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,
AA(-1,3)
k
把A(-1,3)代入反比例函数y二一
x
k=-3,
3
...反比例函数的表达式为y=
X
(2)联立两个函数的表达式得
'y=x+4
,k
y=-
X
解得
x=-\x=-3
或《
[y=3
.•.点B的坐标为B(-3,1)
当y=x+4=0时,得x=-4
.,.点C(-4,0)
设点P的坐标为(x,0)
..3
•S&ACP=5S&BOC,
解得X1=-6,X2=-2
...点P(-6,0)或(-2,0)
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题,考查利用方程思想求函数解析式,通过
联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达.
21.如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为的中点,。为边CO上一动点,设《0WfW2),
线段PQ的垂直平分线分别交边A。、于点A/、N,过Q作于点E,过/作于
点户.
(1)当EW1时,求证:kPEQ合ANFM;
(2)顺次连接P、M、。、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量f之间的函数关系式,
并求S的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)S=-t2-t+-,S的最小值为2
22
【解析】
【分析】
(1)由四边形ABCD是正方形得到NA=/B=/D=90°,AD=AB,又由NEQP=NFMN,利用
ASA即可证得;
(2)分为两种情况:①当£在AP上时,由点尸是边AB的中点,45=2,AE=,,又由勾股定
理求得PQ,由△PEQw&VFM得到PQ的值,又PQLMN求得面积S,由♦范围得到S的最小值;②
当£在8尸上时,同法可求S的最小值.
【详解】解:(1)证明::四边形AB8是正方形,
Z.A.—NB-ZD—90°,AD=AB,
VQE1AB,MF1BC,
:.AAEQ=ZMFB=90°,
四边形ABEW、AEQ。都是矩形,
:.MF=AB,QE=AD,MF±QE,
,MF=QE
又:PQ上MN,
:.Z1+ZEQP=90°,Z2+ZFMN=90°,
*/N1=N2,
NEQP=NFMN,
又,/ZQEP=ZMFN=90°,
"EQ=&VF70(ASA);
(2)解:分为两种情况:①当E在AP上时,
DQ
:点P是边AB的中点,4?=2,DQ=AE=t,
:.PA^l,PE=\-t,QE=2,
由勾股定理,得PQ=4QE2+PE2=J0_f)2+4,
•;/^PEQ=\NFM,
,MN=PQ=^(l-r)2+4,
又PQVMN,
:.S=-PQMN=-{(1-tf+4=-t2-t+~,
22L」22
•「OWAEWAP
/.0<r<l,
;•当/■=1时,S最小但=2.
②当E在族上时,
•.•点尸是边A3的中点,A3=2,DQ=AE=t,
:.PA^l,PE=t-\,QE=2,
由勾股定理,得PQ=dQE?+PE2=J(f_iy+4,
•/kPEQwANFM,
MN=PQ=J61)2+4,
又•;PQ1MN,
AS=-PC-^=-r^-l)2+4]=-t2-t+-,
22L」22
・.,AP〈AE<AB
.,.当r=1时,S最小值—2.
1.5
综上:S=—/一,+—,5最小值为2.
22
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、求四边形的面积最值,掌握正方形的性
质、全等三角形的判定及性质、对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半、和利用二次函数
求最值是解决此题的关键.
33
22.如图,直线y=-二x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=-二x?+bx+c经过A、B两点,与x
48
轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的点,连接0P交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与0Q的比值为y,
求y与m的关系式,并求出PQ与0Q的比值的最大值;
(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD、CD,设^ODC外接圆的圆心为M,当sinZODC的值最大时,
求点M的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y---x2+—x+3;(2)y=--m2+—m,PQ与0Q的比值的最大值为一;(3)
84822
点M的坐标为(-1,6)或(-1,-73).
【解析】
【分析】(1)根据直线解析式求得点A、B的坐标,将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得;
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