DSP-10离散傅立叶变换-傅立叶级数

离散傅立叶级数及其性质

DFSandItsPropertiesLesson105/14/20241数字信号处理陈鹏3299340复习提问帕赛瓦尔公式的物理意义是？S平面到Z平面映射的条件是？S平面是如何映射到Z平面的？为什么会出现多对一的映射？5/14/20242数字信号处理陈鹏3299340复习提问系统函数基本定义是？如何运用系统函数来判断系统的稳定性？5/14/20243数字信号处理陈鹏3299340本章作业习题3.13.2(2)3.43.53.6(2)(4)3.8

3.103.123.143.163.183.193.223.243.273.295/14/20244数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)一个周期为N的周期序列可表示为周期序列的Z变换是不收敛的。但是，可以用离散傅立叶级数，即用正弦和余弦序列或复指数序列的加权和表示。这些序列的频率等于周期序列的基频的整数倍，其中基波为5/14/20245数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)离散傅立叶级数(DFS)与连续傅立叶级数(CFS)的差别在于DFS的k

个谐波分量中只有N

个是相互独立的，这是因为复指数序列是k

的周期函数，即例如，当时，，即因此，对于离散傅立叶级数，只取下标从0

到N-1

的N

个谐波分量就足以表示原来的信号。5/14/20246数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)所以，周期序列的离散傅立叶级数(DFS)表示为式中，乘以系数是为了计算方便，是

k

次谐波的系数。5/14/20247数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)现在来推导而5/14/20248数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)现在来推导所以或写成令，重写前面DFS的公式及上面求的公式如下。5/14/20249数字信号处理陈鹏3299340离散傅立叶级数(DFS)及其反变换(IDFS)周期序列的离散傅立叶级数(DFS)变换对上两式中，n

和k

都为离散变量。如果将n

当作时间变量，k

当作频率变量，则上面第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS正变换，第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS反变换(IDFS)。5/14/202410数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)由于所以是周期为N

的离散周期信号。周期序列虽然是无限长的，但是只要知道它的一个周期，也就知道了它的整个序列。因此，周期序列的信息可以用它的一个周期中的N

个值来代表，因此DFS和IDFS变换式中只取N

个值就够了。将来可看到，这正是周期序列与有限长序列之间的本质联系。5/14/202411数字信号处理陈鹏3299340周期序列的离散傅立叶级数(DFS)如图所示的是周期序列及其DFS系数的图形。5/14/202412数字信号处理陈鹏3299340设周期序列和的周期都为N

，且则有即离散傅立叶级数(DFS)展开是一种线性变换。离散傅立叶级数(DFS)的性质线性性质5/14/202413数字信号处理陈鹏3299340设则有证类似可证明离散傅立叶级数(DFS)的性质周期序列的移位5/14/202414数字信号处理陈鹏3299340设周期序列和的周期都为N

，它们的DFS系数分别为则有离散傅立叶级数(DFS)的性质周期卷积5/14/202415数字信号处理陈鹏3299340上式中称为两周期序列的周期卷积，注意求和上下限。式子说明两序列周期卷积的DFS是它们各自DFS的乘积。即离散傅立叶级数(DFS)的性质周期卷积5/14/202416数字信号处理陈鹏3299340证明：离散傅立叶级数(DFS)的性质周期卷积5/14/202417数字信号处理陈鹏3299340而离散傅立叶级数(DFS)的性质周期卷积5/14/202418数字信号处理陈鹏3299340所以或者离散傅立叶级数(DFS)的性质周期卷积5/14/202419数字信号处理陈鹏3299340设则容易知道，也是一个周期序列，它的周期也为N

。周期卷积的计算与线性卷积的计算类似，首先将一个序列反折、移位，然后相乘，最后相加。相乘和相加仅在区间m=0到m=N-1之间进行。计算出n=0

到n=N-1（一个周期）的结果后，再将其周期延拓，得到周期卷积结果上述过程也可以用图形来表示，见书P99页，在此略过。周期卷积的计算5/14/202420数字信号处理陈鹏3299340两个短周期序列的周期卷积也可以仿照线性卷积的手工计算方法，将其中一个序列只写出一个周期，另一个序列写出一个周期再加N-1

个值。然后按照整数运算方法，取前面N

个数据作为结果，如下例所示。周期卷积的手工计