第4章 复杂电力系统潮流的计算机算法

第四章复杂电力系统潮流的

计算机算法

陈碧云

广西大学电气工程学院

潮流计算的基本概念

效潮流计算的计算机算法是以电网络理论为基

础的，应用数值计算方法求解一组描述电力

系统稳态特性的方程。

潮流计算交流电路计算

已知和待求量电压和功率电压和电流

数学模型非线性线性

求解方法迭代法消去法

**

u=zi=z（s/u）u=zi

潮流计算方法的要求

计算速度快

内存需要小

计算结果有良好的可靠性和可信性

适应性好

简单

潮流计算的步骤

建立潮流的数学模型

确定适宜的计算方法

制定计算流程图

编制计算机程序

对计算结果进行分析和确定，检查

程序的正确性

综述

O选题

•电力系统谐波潮流

•电力系统随机潮流

•电力系统动态潮流

O要求

工500字以上，工工月15日前交。

文件名标注学号、姓名和题目，格式为：

"0526210111李小明XXXXXXXX"

发至以下邮箱：wisecai@126.com（蔡

英明

电力系统的等值模型

L负荷模型：由一个恒功率或负荷电压静态特

性表示

心输电线模型：是一个分布参数的电路，可用

一个集中参数的n型等值电路表示

4变压器模型：用r型或者n型等值电路表示

上发电机模型：由它的端电压和输出功率来表

示

第一节电力网络方程

一、节点电压方程

电力系统潮流计算实质是电路计算问题。

因此，用解电路问题的基本方法，就可以建立起

电力系统潮流计算所需的数学模型一潮流方程。

1回路电流方程

工割集电压方程

上节点电压方程

潮流方程

节点电压方程

丫30

节点电压方程

。运用基尔霍夫电流定律可以得到:

九，+九（。「。2）+九（口-入）=1

匕。+^12（t/2-t/1）+y23（d2-d3）=/2

加S+九仅-，）+九（•-白）=0

O整理：

（九十九+九立一九S一K3s=A

—y12^1+（v20+X2+歹Qu?-匕303-八

-乂30|一y2P2+（九。+乂3+p23）03=0

节点电压方程

整理:

YllUl+Y12U2+Y13U3=i1

+Y22U2+"=4

"+女+"=0

其中：

^11~y\0+>12+>13'X2——>12''13——>13

Xi——>12，,22—>20+>12+>23，^23——》23

5

41——>13，,32——y23打3-y30+>13+>23

节点电压方程

】B=YBUB(4-1)

*4：节点注入电流的列向量，可理解为各节

点电源电流与负荷电流之和，并规定电源流

向网络的注入电流为正。5X1)

lUB：为节点电压的列向量(nXl)

*为节点导纳矩阵(nXn)

节点导纳矩阵FB

节点导纳矩阵

节点导纳矩阵元素的物理意义

对角元匕7称为自导纳：节点，注入电流

与该节点，电压之比，数值上等于该节

点直接连接的所有支路导纳的总和；

非对角元彩称为互导纳：节点i注入电

流与该节点j电压之比，数值上等于连

接节点i,j支路导纳的负值。

导纳矩阵的特点和性质

“Y22

*

*

工2

Y=/./U.,z,7=1,•••,n.i丰j

㈡1111iu：=0

，手

Y.iJ.—I1./UJ.s=o,i,j」=L…n,jJi

导纳矩阵的特点和性质

心自导纳等于该节点直接连

接的所有支路导纳的总和。

工互导纳至由蓬覆节点i,j支图4-2节点导纳矩阵中自

导纳和互导纳的确定

路导纳的负值。

Yu=

节点导纳矩阵的特点

oNXN阶方阵

o对称

o复数矩阵

O高度稀疏矩阵

二、节点导纳矩阵的形成和修改

【例1】已知输电线的参数:

zL=jO.l,JL=j0.02,用TT型

等值电路表示。

根据定义有：

=1/zL=l/jo.l=—jio

匕1=虱+虱+九/2+%/2

-jl9.98jlOjlO

=-jio-jio+jo.oi+jo.oi㈡招=

jlO-jl9.98jlO

=-jl9.98"

jlOjlO-jl9.98

=Y2i=-yi2=-X=jio

节点导纳矩阵的形成

【例2】

节点导纳矩阵的形成

Sa

jO01413j0.01413

40.4808-38彳l

jo.oiseo

'iH

I——h.

0.4539-jl.891ir01528II

jO.01528

05882-j23529

“I---------1I--------

jO01920

J1

-J0.367TTJO3337

1.0421-y8.2429-0.5882+72.3529J3.6666-0.4539+儿8911

-0.5882+72.35291.0690-y4.72740-0.4808+72.4038

Y=

y,3.66660-73.33330

-0.4539+jl.8911-0.4808+72.403800.9346-y4.2616

导纳矩阵的修改

2.导纳矩阵的修改

1）原网络节点增加一接地支路

设在节点i增加一接地支路，「yy

"11’12

由于没有增加节点数，节点导纳矩马弓

阵阶数不变，只有自导纳玲发生变;;

化，变化量为节点i新增接地支路:?

导纳,/：［匕工2

导纳矩阵的修改

2）原网络节点i和/之间增加一条支路

节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点i和/

之间增加了一条支路导纳州而使节点，和/之间的

互导纳、自导纳发生变化：

—一"--—1

211,12………

'Yv一"一।

r"2]"22・・・・・•・・・

YIl=Yll+，y.I.J.....................................................................................................................i

Yf=丫+y匕joO

JJJJ)IJ

Yf=Yf=Y—y.

IJIJIJ)IJ

Yj,Yj2QO

1

YV'

_nAn2*********

导纳矩阵的修改

3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点

设原网络有〃个节点，从节点引出一条支路内

及新增一节点了,由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵

也增加一阶，有变化部分：

几0

丫

Yr=Y+y..Yf=y..220

iiii)ij9”JJ)IJ

*

**

**

Y!.=Y!.=—y..*

IJIJ)IJd

0o

*

***

y

n2.0I

o©

导纳矩阵的修改

4）删除网络中的一条支路

与增加相反，可理解为增加了一条负支路。

5）修改原网络中的支路参数

可理解为先将被修改支路删除，然后增加

一条参数为修改后导纳值的支路。因此，修改

原网络中的支路参数可通过给原网络并联一条

支路来实现。

导纳矩阵的修改

6）增加一台变压器

可由步骤1）、2）组成。

Y=Y..+Y/k2

llll1Tk:lYT

YT/k

YJJ=YJJ..+YTT

Y..=-YT/kkk-l

k2k

YJ.=-YT/k

导纳矩阵的修改

7）将节点i、j之间变压器的变比由鼠改为人

用步骤5）实现。

K.=4+（左'2_k2）与

（1-k）YT,hk（k-l）YTYj=_（k，-k）YT

------------Yj.=-（左1—k）Yr

导纳矩阵的形成流程

I清零：U,I,G,B,P,Q

|读入节点数，平衡节点，平衡节点电压，计算精度

读线路参数

GU=r《rx什xxx),BIJ=-x/(rxr+xx；^

GG，O=G(ij)=-GIJ,B0,i)=B(i,j)=-BIJ

G(i.i)+=GU,B(i.i)+=BIJ+32

GGJ)+=GU，B(j，D+=BIJ+"2

1读变压器参引

《)

【例4-1】GU=rrxr^xxx),BIJ=-x/(rxr+xxW

GG,i)=G(i,j)=-GIJ/kO.B(j,i)=B(i,j)=-BIJ/kO

G(i,i)+=GU/kOZkO.B(i,i)+=BIJ/kO/kO

GG，j)+=GU，BG,J)+=BU

读接地支路参数

G(i,i)+=gi.B(i,i)+=tH

|转换成G+jB=YNa

三、节点阻抗矩阵4

1）以地为参考节点的节点导纳矩阵y是NX7V阶

稀疏矩阵；

2）如果网络中存在接地支路，y是非奇异的，

其逆矩阵是节点阻抗矩阵：

z=y-1

3）用节点阻抗矩阵Z表示的网络方程是：

ZA——

节点阻抗矩阵4

将UB=ZB/B展开得到

7•••

p;Zii-12Z；

7•••z

Z21乙227729

—(3-8)

•••

■••

z•••zJn_

Un-_Z〃In29nn_J

2..—U/I.5,i,j=15,…5，n,5i于j

llIZ；n)JJ(3-9)

K1：=0

Z〃，％"=L…，凡jwi

lJJ/；=o(3-10)

节点阻抗矩阵4

人自阻抗在数值上等于仅在节点i注入单位

电流而其余节点均不注入电流（即电源

均开路）时，节点i的电压。

、互阻抗在数值上等于仅在节点/注入单位

电流而其余节点均不注入电流时节点i的

电压。

阻抗矩阵的特点和性质

1）是对称矩阵。

2）对于连通的电力系统网络，当网络中有接

地支路时，Z是非奇异满矩阵。

3）对纯电阻性或电感性支路组成的电网，

忆,2Z..

节点对的自阻抗不为零。

形成阻抗矩阵的方法

1）支路追加法

•实质上是与根据定义直接求节点导

纳矩阵的方法相对应。

•根据自阻抗和互阻抗的定义直接求

节点阻抗矩阵的方法。

形成阻抗矩阵的方法

求逆法：ZB=3

••••••

,11〜1

••••ii1

••••

••••

Y••••••

3：，一《-。列

••••J1I

••••

••••:一，一

Y••••••

_n1，u〃〃_Ji_〃」L.t」

z①—z».=ci—12・・,

作业1

已知一简单系统的等值电路图及元件参数，其中阻抗支

路的参数以阻抗标注，导纳支路的参数以导纳标注（均

为标么值），试求

1）该等值电路的节点导纳矩阵；

2）若支路34断开，节点导纳矩阵有何变化？

3）若节点2接地，节点导纳矩阵有何变化？

4）若变压器变比变为1：1.1,节点导纳矩阵有何变化?

9

第二节功率方程及其迭代求解

如何建立功率方程？

在实际电力系统中，已知的运行条件往往不是

节点的注入电流而是负荷和发电机的功率，而

且这些功率一般不随节点电压的变化而变化，

因此在节点功率不变的情况下，节点的注入电

流随节点电压的变化而变化。在已知节点导纳

矩阵的情况下，必须用已知的节点功率来代替

未知的节点注入电流，才能求出节点电压。

功率方程一般表达式的推导

JL

功率方程一般表达式的推导

jQi=L「I—j/'上"j功率方程

注入匹〉

34=心二%，Q^QG^QU,直

极Y=YAa或Y=G+\B\角

坐<[〃:〃lJ\坐

标Ui=U/B或UL,/

潮流方程的三种表达形式

上潮流方程的全极坐标形式

nn

P-\Q=yUUYZ(3-a-S)=\UUYZ3

IJjIJIJ、1UJzIJIJu

j=iy=i

工潮流方程的直角坐标形式

nn

((

PI=eIyGIJeJ.-UJJ7JfI.yGi.j.JfJ,+BIJeJ)，

j=i7=1

nn

Q=f.y(G..e-eV(G+Be)

JJIUJi"J，IJIJJ，

J=1j=l

潮流方程的三种表达形式

工潮流方程的混合坐标形式

n

P\=u£Uj®cos3ij+B.sin%)

7=1

<n

9=0,24。sin2-约cos%)

、j=i

，对于N个节点的电力网络，可以列出2N个功

率方程。每个节点具有四个变量，N个节点

有4N个变量，但只有2N个关系方程式。

变量的分类

0扰动变量（不可控变量）：尸口、Qu

“控制变量（自变量）：尸Gi、QGi

®状态变量（因变量）：5、心

节点分类

1.PQ节点：已知丹和Qi，待求，♦和心

®注入有功和无功功率是给定的。

o相应于实际电力系统中的一个负荷节点,

或有功和无功功率给定的发电机母线。

节点分类

2.PV节点（电压控制母线）：已知巴•和待求0和心

0注入有功功率舄为给定值，电压■也保持在给定数

值。

给这种类型节点相当于发电机母线节点，其注入的有

功功率由汽轮机调速器设定，而电压则大小由装在

发电机上的励磁调节器控制；或者相应于一个装有

调相机或静止补偿器的变电所母线，其电压由可调

无功功率的控制器设定。

外要求有连续可调的无功设备，调无功来调电压值。

节点分类

3.平衡节点：已知a和心，待求舄和0

o平衡节点的电压和相位大小是给定的，通常以

它的相角为参考量，即取其电压相角为0。

0这种节点用来平衡全电网的功率，一般选用一

容量足够大的发电厂（通常是承担系统调频任

务的发电厂）来担任。

0一个独立的电力网络只设一个平衡节点。

节点分类的补充说明

三类节点的划分并不是绝对不变的。

PV节点之所以能控制其节点的电压为某一设

定值，重要原因在于它具有可调节的无功功率

出力。一旦它的无功功率出力达到可调节的上

限或下限，就不能使电压保持在设定值，PV

节点将转化成PQ节点。

节点分类示例

0.55+j0.13

0.50+j0

U3=1.10

作业2

o推导功率方程的三种坐标形式

1.直角坐标形式

2.混合极坐标形式

完全极坐标形式

潮流方程的定解条件

给在具有N个节点的系统中，给定（AM）对控

制变量PG,、QG〃余下一对控制变量待定产GC

OGS，其将使系统功率，包括电源功率、负荷

功率和损耗功率保持平衡。

给给定一对状态变量4、U’,要求确定（小1）

对状态变量心、U〃A给定的通常为0,U-

般取标幺值为1,以使系统中各节点的电压水

平在额定值附近。

潮流方程的定解条件

除此之外，还应满足一些约束条件：

®U的约束条件：，nin<U,YUmax

®合的约束条件：血力|<|心-%lmax

思考题

。潮流计算中的节点分类有几种？在实际电

力系统中分别对应于什么样的母线节点？

。潮流计算中为什么要平衡节点？为什么只

能有一个平衡节点？

。潮流计算中是否需要PV节点？为什么？

潮流迭代法基本概念

油迭代法是求解非线性方程的基本方法。

4常用的三种迭代潮流解法：

■高斯一塞德尔迭代

■牛顿一拉夫逊迭代（L-R法）

■快速分解法（P-Q分解法）

迭代法基本概念

是一种逐次逼近法

基本思想是将隐式方程归结为一组显

式的计算公式

实质上是一个逐步显式化的过程

潮流迭代法基本概念

x=o(x)乙+1=。(乙)

U隐△力3猜测值

确定数列｛Xk｝有极限

程

*

X=limX,

%=0(%)X-00

反复迭代

x2-。(项)

高斯―塞德尔迭代法

对于〃维的非线性代数方程组/（x）=0,

即

工（毛，马,…）=。

力（巧，％2,…，％）=。

<

Jn（占，=°

高斯―塞德尔迭代法

对于第，个方程解出看,可将上述方

程改写成

玉=4(不/2，・・・，%〃)

%2=g2("1'"2)

<

、Z=g〃®/2,…，匕）

高斯-塞德尔迭代法

将第左次迭代已求得的变量值用于计算下一

个变量的新值，可以得到第4+1次的迭代值

（A+i）（k）

rx=?（x%（*）•••工（外）

人1—511人1夕人2夕夕人及7

%（"1）=0（x（"D%（外...%（乃）

人2—占21人1^人2夕夕人％）

<~~

*

*

*

X（AD=0（x（左+Dx（"D•…x（"+1）

［乙—S/7VA1，力2，，3-1，人〃）

缩与为上"D

/(^+1)(^+1)(^)(^)\(；_[o\

gj9***91，Xj9***9—1,2,•一，")

高斯―塞德尔迭代法

效初值:

X］（°）,、2（°），…，xj°）

族收敛条件:

（左+1）_（左）

•/\/••/'Lz•<8

特点：简单，但收敛性差

牛顿一拉夫逊迭代法

/(x)=0非线性函数

/(/)+△/))=0设解的初值为抑)，与真解的误差为Ax(°)

I

(0)(0)(O)(O)(O)

/(x+Ax)«/(X)+/1(X)AX-0泰勒展开

I

—爸/(”))=

\X^/x^))

*=x(0)+Ax(0)f--------

牛顿一拉夫逊迭代法

N-R迭代的实质：切线法，是一种逐步线性化

的方法。

特点：滑梯式逼近过程,

收敛较快，但对初值x（。）

的选择较严。

牛顿一拉夫逊迭代法

推广至〃维变量的情况

fl,22，一•，力")=)1

/、2(力1，42，…，)=)2

1

/〃(兄1,12，…，N/)=)〃，

写成迭代格式.

/i(Xio)+Arri，制°)+AJ：2，…，4°)+△]“)=^1

/2(%产+Azi，制°)+Ax2，…，太°)+△.)=3/2

(

0)

fn(^1+△]],Z尹+AC2,…，必°)+Az〃)=yn.

牛顿一拉夫逊迭代法

泰勒展开U

f1（^10），制）+-~~-I△力1+I△久2+…+装]=71

dxxI0dx2IodxnI0J

了2（久严，2/，…，太°））+m%]△£2H+I△%〃=）2

I0dx2\odxn10J

•••

fn（其严，久严，…，太°））+IIAz2+…+IAz”=yn

dX\10dx2103xn10J

牛顿一拉夫逊迭代法

写成矩阵形式皿

33/

11

a3a

3O(O\(o1O2O%O

27

夕,/%

3a/

O(O(O22

\|

229X7%2

〃aaa

1O%2OO

(O(O(O\

1|△

1%2£"7

3a

O公2OO

或者写成

雅可比矩阵

不平衡量

牛顿一拉夫逊迭代法

收敛判据

max旭(%⑶)<8

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

一、直角坐标的修正方程

采用直角坐标时，节点电压表示为

0=q+jfi

直角坐标形式的节点功率方程：

nn

4=，汇（&£—q/）+£汇（d/+练号）

7=1j=l

nn

=

QiZX（G汽—耳/）—QWj+B/j）

7=17=1

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

修正方程中对各类节点的处理

L平衡节点：因其电压大小、相位均为已知，

所以不需要参加联立求解，当迭代结束后

再求该节点的有功功率和无功功率。

工PQ节点：每个PQ节点有两个变量A,.和

”待求，都要参加联立求解；

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

修正方程中对各类节点的处理

PV节点：节点电压有效值给定，它们之间

的关系为：e；7；=，用这个关系式来代

替该节点无功功率表达式，并改变雅可比

矩阵中对应该节点相应的部分。

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

对每一个PQ节点可以列写方程式:

nn

P=y(Ge-Bffy(G..f.+Bey

iei\ij./IJJJ)Ji\gJJIJJ)

y=iy=i

<

nn

上/Ji\ijJIJJJ)i\WJ〔JJ)

、7=1j=l

对每一个PV节点可以列写方程式:

nn

P=e.y(G..e.-f.y(G..f.+B..e.

II\IJJIjJJ)JI\IjJJUJ

<j=l./=!

uH)

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

设网络中共有〃个节点，其中

1平衡节点1个，编号为S;

PQ节点冽-1个，编号为1,2,....m（其中含s）

PV节点冽个。编号为m+1,…

则一共可列2（n-1）个方程；

待求量

1〜〃节点（s除外）的电压实部色

2(77-1)

1〜〃节点（s除外）的电压虚部工

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

将功率方程进行一阶泰勒展开，得到修正方程形如:

rHNN12HN”HT

'△Pr\unH12lplnMJwr

域1

△ei

i£△QiJ11LnJ12L12JipLi?JIrzLi”

r-H

△PH21MiH22N22H2PHN2△f21

2n1

2N2PY111k

牛

△Q2J21L21J22L22J2pL2pJ27iL2n△?2z1

0

00000000•V

000000000•

0*

、=0*00a00*~T

沪T

△F,

H】N#HNR?H,PNppHpnN勿△九

>pP2

Rpi5piRp2Sp2&/，SppRpnS/,〃r

\△〃H

P乩1N,”H.2Hnl)N印N.“z

MRnn1

\【△/〃V

u"-RnlS〃iRn2S2Rnps”Rnn=sn?i」Zn-

|----------------------2(77?-1)------------------------►|----------------------2(72—m)--------a

不平衡量，失配量

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

其中:

dP

%=

dej

鸥

Lu=

dej.

22

3UdUl

R..=­JSu=

dej

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

非对角元:

HIJ=Lu

即<Nu=—J.y,

LRu=Su=0

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

对角元:

6AP3(\

BIleI+GllJfI.

SAP"/\

=ZG%-B")+1

3IleI+Bll.Jf.I

西7=1

=—BJ)—Ge—Bf.

1a,\ijJijJJ)IlIllJI

5j=i

詈一t(G"+gZ)—B..e.+G..f.

iiiiiJi

。，7=1

dU2dU2

」=2f/,——=2q

L/西

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

A若将雅可比矩阵分块，把每个2X2阶矩阵看

作分块矩阵的元素，则雅可比矩阵和节点导纳

矩阵及具有相同的结构。

-HnNnH12N12;HipN”Hb,Nln-

JiiJ12L]2；J\pL”JInLIM

[

x

H21N21H22N22jtizpNz。-*Zn”Y2〃

J21L21J22L22IJ2PL2PJ2nL2rt

•..•i।■..♦

N»iHp2N,2\H坤NppH阿N愀

RpiSpiRp2Sp2\RppSppRpnSpn

1

1

NnlH〃2M2;HripNnp■H*▲nnNvnn

帅E>C

-R”iS〃iR〃2«SM2tRnpS八nnDnn-

A雅可比矩阵不是对称的。

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

八混合坐标的修正方程

采用混合坐标时，节点电压表示为

Ui=UiA8i=Ui(cos0+jsin6)

混合坐标形式的节点功率方程：

n

Pi=u£uj(G〃cos戊7+Bjjsin%)

7=1

V

n

Q.=uyU(Gsin3—Acos3)

VzIJ\IJIJIJIJ)

-j=l

%=2一Bj

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

迭代过程中对各类节点的处理

*平衡节点：电压大小、相位均为已知，不

需要参加联立求解，当迭代结束后再求该

节点的有功功率和无功功率。

二PQ节点：每个PQ节点有两个变量AU,和

△用待求，都要参加联立求解；Z

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

工PV节点：节点电压给定，AU,为零，只有

一个变量△2。因此，该类节点只有有功

部分参加联立求解，但每次迭代中需计算

该节点的无功功率，以校验是否越限。

■如果。产＞。诙，则令逑=2max

，如果。产V2mm，则令。产=2mm

转换成

PV节点PQ节点

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

设网络中共有〃个节点，其中

平衡节点1个，编号为S;

PQ节点机-1个，编号为1,2,....m（其中含s）

PV节点〃-冽个。编号为m+1,…n

则未知量为：

1〜加节点（s除外）的电压幅值。

1〜〃节点（S除外）的电压相角〃

未知量总数为n+m-2个。

第三节牛顿一拉夫逊法潮流计算

得到修正方程：

M2

■△Pl--HnNuHH»Hi”

12「△31

L”L12

△QiJ11J12J\pJi”△5/5

MiH22N22

HH2PH△62

△P2212tl

L21，2

△J21J22J2f)J2JI△5/5

Q*2*

*•••■

■•••*

%Np、H

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