高中数学练习题1

授课时间：2006年11月6日使用班级：高管06-M3)

授课时间：2006年11月10日使用班级：造价06-1⑶

授课时间：2006年11月6日使用班级：造价06-2⑶

授课时间：2006年11月10日使用班级：经管06-1(3)

授课时间：2006年11月10日使用班级：隧道工程06-1(3)

授课章节名称：

第2章导数与微分

第1节导数概念(上)

教学目的：

1、正确理解导数及相关概念

2、理解导数的物理意义、几何意义

3、计算并记忆事函数、正弦函数、余弦函数的导数

教学重点：导数概念

教学难点：导数定义的理解、不同形式的掌握

教学方法：讲解；启发；举例

教学手段：多媒体教学

作业：

P862、3、4

教案实施效果追记：

1、补充导数的第二定义

2、举例说明导函数:(x)和/'(/)之间的关系

第2章导数与微分

第1节导数概念

讲授新内容

一、两个引例

1、变速直线运动的瞬时速度

设有一物体作变速直线运动，其运动方程为s=/⑺，求该物体在小时刻的

瞬时速度。

解设物体从。点开始运动，经过时间到达点M。，所经过的路程

So=0〃o,即So=/&)，当时间，由％变到2+△，时，物体由点变到点M，

物体在t0+Z这段时间内所经过的距离%+As=/&+△/)，物体在n这段时

间内所走过的路程为

As=/(，o+4)-/Q)

在加这段时间内平均速度(包括，。点的速度)为

-垃/&+4)-/4)

V=—=--------------

zAr

显然4这段时间内的平均速度不能确切描述f0时刻的速度，但是小越小时，

平均速度3就越接近时刻％的速度，当4-0时，平均速度S的极限值就是

物体在时刻％的瞬时速度，即

加。）=1而包=1加咏/二3

A/->0ZA/->0Z

平均速度5=三称为路程S在2到4+0时间段内的平均变化率，而瞬时速度

Ac

v&)=!四五称为路程S在时间f=f0时刻的(瞬时)变化率.

例如自由落体运动S=/«)=；g产，在时刻％的瞬时速度为

+加）2-1gf；

《)=血竺=lim河。+馍一九。)

=lim-^----------2—

A/->OA/oz△—0Ar

8g⑵0+&）加

=lim^-----------

goArgfo

2、曲线的切线斜率

求曲线y=/(x)在点M(XoJ(Xo))处的切线斜率.

c

在曲线上另取一点N,设它的坐标为(X。+&,/(/+Ax))(如图2-1、2),

并设割线MN的倾角为°,切线MT倾角为a,割线MN斜率为

_Ay_f(x+Ax)-/(x)

ktofnlg(p=0--=--------0-----------

AxAx

显然当AcfO时.，即点N将沿着曲线趋近于定点用时，从而割线MN趋

近于极限位置"T(即切线MT)。于是得到切线MT的斜率为

lim包=lim

KkMTtana幺山”3

—Ax-Ax

例如求抛物线y=/(》)=%2在_¥=1处的切线斜率。

22

,rAyr/(1+Ax)-/(1)r(1+Ar)-10

=lim—=hm--------=lim----------------=2

ATOAx加TOAXAX

二、导数的定义

在上述两个例子中，所计算的量的实际意义不同，前者是物理量后者是

儿何量。但是计算这两个量的思想方法，计算步骤完全一样。即先计算函数在

某一点处的增量，再计算函数的增量比上自变量的增量，最后求增量比的极限。

这类增量比的极限在数学上叫做导数。

定义设函数y=/(x)在点x。的某邻域内有定义，当自变量在点x0处有增

量Ar(点x()+Ax仍在该点领域内)时，相应地函数有增量

f(x

△y=0+Ar)-/(x0)

/(x+AA)-/(X)

如果极限lim—=lim00存在，则称此极限值为y=/(x)

Ax->0△xAATO△x

在点X。处的导数，记作

gf(x)

/(*0)，y'\x-x或—

aXax

"=两A-A'o

即

尸(x0)=lim包=lim"%+泪一小。)

-Ax-Ax

若函数/(x)在点X。处的导数存在，则称函数/(X)在点X。处可导.如果函

数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称/(x)在区间(a,b)内可导.这时对

任意xw(a,b),都有导数值/'(x)与之对应，那么/'(x)也是x的函数，称它为

原来函数/(x)的导函数，简称导数，也可记作y',虫，或3

dxdx

即

：(x)=lim-〜⑴

AX

/'(x)表示〃x)在任意点X处的导数。

/'(X)与T(x0)的区别与联系：尸(X)是X的函数，而广(X。)是一个常数，

/'(X。)是导函数/'(X)在X。处的函数值。

由导数定义可知，前面两个例子都可以用导数表示出来.

变速直线运动路程s=f⑴在点t时刻的瞬时速度就是/«)在点t处

0v(r0)0

的导数，即

V“0)=/'。0)

曲线y=/(x)在点/(X。，/(%))处的切线斜率k就是函数/(x)在点X。处

的导数，即

k=f'(x0)

三、利用导数定义求导数

由导数定义可知：求函数y=/(x)的导数(可按以下三个步骤进行

(1)求函数增量：Ay=f(x+Ax)-f(x)

(2)计算比值：包=/(」+&)T(x)

AxAr

(3)取极限：/(x)=lim包=limf(x+-)7'。)

心一°Ax加1°Ax

例1求函数y=c(c为常数)的导数.

解因为)，=。为常数，所以△)，=(),包=0,y，=lim包=0.

AxAx-»0M

即(c)'=0.文字叙述就是：常数的导数等于零.

例2求函数y=/的导数.

解

Ay=(x+Ax)3-x3=3X2AX+3x(Ax)2+(Ax)3

—=3x2+3xAx+(Ax)2

Ax

y'=lim—=lim(3x2+3xAx+(Ax)2)=3x2

Ax->0\yAx->0

即(x3)z=3x2.

例3求函数y=4x的导数.

AyVx+Ax-y[x

解Ay=f(x+Ax)-f(x)=Jx+Ax-Vx，—=------------，

ArAr

，..AyVX-KAX-Vx(Jx+Ax-VX)(VXTAX+Vx)

y-hm—=lrimlim

Ax->0\yAA->0ArAX-40Ax(Vx+Ax+y[x)

Ax11

limlim

A.v->0Ax(Jx+Ar+Vx)—Jx+Ar+y[x2^[x

即(V%)=-j=(x±0).

2vx

分析：。)=3/与(«)=(x2Y-—^-j=--x2(xw0),

2y/x2

可得累函数求导公式：（xay=axa-'（a为任意实数）.

12

例如函数(1)y=-；(2)y=/的导数.

x

解(1)

（2）H=

对于利用导数定义求导的三个步骤熟练后可以合成一步.

例4求函数y=sinx的导数.

-2X+AJV.Ar

2cos——sin—

sin(x+Ax)-sin(x)

解yf=lim—=limrlim-------2--------2—

Ax->oA-AYTOArA*，。Ar

.Ax.Ax

Asin——人sin—

/Ax、2i-zAx.?

=vlimcos(x+)------=limcos(x+——)vlim-=cosx

4r->o2Ax©TO2—Ar

y

t

即(sinx)=cosx.

就是说，正弦函数的导数是余弦函数.

同样的方法可以求出(cosx)=-sinx.

就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数.

小结(时间：2分钟)：

本节我们从物理和儿何两个方面抽出导数的概念，并求出了常熟函数、幕

函数和两个三角函数的求导公式。

授课时间：2006年11月9日使用班级：高管06-1(3)

授课时间：2006年11月15日使用班级：造价06-1⑶

授课时间：2006年11月8日使用班级：造价06-2⑶

授课时间：2006年11月13日使用班级：经管06-M3)

授课时间：2006年11月15日使用班级：隧道工程06-1(3)

授课章节名称：

第2章导数与微分

第1节导数概念(下)

教学目的：

1、推导指数函数、对数函数的求导公式

2、会用几何意义会求平面曲线的切线和法线

3、理解函数可导性与连续性的关系

教学重点：导数的几何意义、可导与连续的关系

教学难点：导数定义的理解、不同形式的掌握

教学方法：讲解；启发；举例

教学手段：传统式

作业：

P864、5、7、8、9

教案实施效果追记：

本节我们学了指数函数、对数函数的求导公式，利用导数的儿何意义作了

练习；了解了可导与连续的关系。

第2章导数与微分

第1节导数概念(下)

讲授新内容

例5求函数y=a*(a〉0,aH1)的导数.

解

-AxAx

(当Axf0时，e^'na-1

=axlim-——-=axlim—

Ar—0AxAiO2kx与Adna是等价无穷小)

*「Ax\na「

alim------=aIna

Ax

即(/y=a']na

特别地(ex),=ex

以上几个函数的导数公式，读者应熟记。

由于函数在一点处的导数就是导函数在该点处的函数值，所以要计算已给

函数在某点处的导数，一般先求出已给函数的导函数，然后再求导函数在该点

处的函数值即可。

例6求下列函数在指定点处的导数。

(1)y=；,x=4;(

2)=sinx,x=—;

yJX6

(3)y=cosx,x=—;GOy=3\x=2.

3

-i11

解(1)Vy=(_Ly=(/5y=_l/I

L2x7x

.Re―24”一16

716

(2)Vy'-(sinx)f=cosx兀=cos—=——

662

兀V3

(3)*.*y'=(cosx)(=-sinx/.%=-sin——=----

—32

=32ln3=91n3.

(4)：y'=(3*)'=3'ln3，x=2

一、导数的几何意义

求曲线y=/(x)(如图2—2)在点1x0,/(x0))处的切线方程和法线方

程。

由引例二及导数定义可知：曲线y=/(x)在点河处的切线斜率为k,即

k=，再应用直线的点斜式方程可以得到曲线y=/(x)在点M

(xoJQo))处的切线方程为：

y-f(x0)=fXx0)(x-x0)

过切点M(x°J(Xo))且与切线垂直的直线叫做曲线y=/(x)在点M处的法

线.如果r(Xo)wO,法线斜率为-一,从而法线方程为:

fUo)

y_/(x())=7^)(X-Xo),

例7求曲线y=x』在点(1,2)处的切线斜率，并写出该点处的切线方程和

法线方程.

解由导数的儿何意义可知，所求的切线斜率为

h=九

由于L-亍2-"-砺2，于是「新2方2

从而所求的切线方程为

y-2=|(x-i)

即2x-3y+4=0.

13

所求法线的斜率为k2=--=--

ki2

于是所求的法线方程为

即3x+2y-7=0.

例8曲线y=Inx上哪一点的切线与直线y=3x-1平行.

解设曲线y=lnx上点M(x,y)处的切线与直线y=3x-l平行，曲线

y=lnx在朋(x,y)切线斜率为

y'=(Inx)'=—

x

而直线y=3x-l的斜率为女=3,根据两条直线平行条件，有

A=—

3

将x代入曲线)，=lnx得

,1，c

y=In-=-m3.

3

所以曲线在点(In3)的切线与直线y=3x+1平行.

二、函的可导性与连续性的关系

定理如果函数y=/(x)在点x°处可导，则函数y=/(x)一定在点x0处连

证由导数定义，有

呵，=/"。0)

-Ax

由极限与无穷小的关系得

△)，

=/'(%)+。

Ar

其中a为当Ax->0时的无穷小.由此可得

Ay=f'(%o)Ar+crAx

limAy=lim[//(^)Ax+aAx]

-Ax->0n

/.=f'(斯)limAx+lima\x

AXTOAA->0

=/(4)0+00=0.

所以函数〃x)在点x。处连续.

但反过来，函数在点4处连续，不一定在该点处可导.举例说明如下:

例9函数y=/*)=«在区间(-8,+00)内连续，但在点》=0处不可导.

1_21

解因为v=(Fy=(Qy=±J3

33Vx2

显然，当x=o时，y=oo,即导数不存在.从几何图形上直观的可以看到:

曲线

y=F在原点。具有垂直于x轴的切线x=0(图2—3).

例10求函数/(x)=|x|在x=0处的导数.

好../(O+Ax)-/(O)|Ax|~°..国

解・hm------------匕」=hmj—!——=hmJ,

—Ax-Ax&T°Ax

/.左极限lim^1=lim—=-1

Axf0-0\yA.v—>0-0A,

右极限lim=lim—=1,

Axfo+oArAv->o+oAr

Av->0-0―丫Axf0+0/\Y

...+—⑺不存在.

心->°Ax

因此函数/（x）=|x|在x=0处不可导.

函数y=JF=|x|在区间（-oo,+oo）内连续，由上例可知这个函数在x=0

处不可导.曲线丁=必在原点。处没有切线（图2-4）.

小结：

本节我们需要记忆所学的儿个求导公式，掌握导数儿何意义的应用，理解

可导与连续的关系，并会讨论函数在一点的可导性。

授课时间：2006年11月13日使用班级：高管06-1(3)

授课时间：2006年11月22日使用班级：造价06-10)

授课时间：2006年11月13日使用班级：造价06-2(3)

授课时间：2006年11月20日使用班级：经管06-1(3)

授课时间：2006年11月22日使用班级：隧道工程06-1(3)

授课章节名称：

第2章导数与微分

第2节导数的四则运算法则

教学目的：

1、熟练运用和、差、积、商的求导公式求函数的导数

2、理解反函数的求导法则，并求出反三角函数的求导公式

教学重点：导数的四则运算法则、反函数的求导方法

教学难点：反函数的求导

教学方法：讲解；启发；举例

教学手段：传统式

作业：

P891、2、3、6

教案实施效果追记：

本节主要要求掌握求导的四则运算法则，大多数学生能够正确掌握

第2章导数与微分

第2节导数的四则运算法则

讲授新内容

前面根据导数定义，求出了一些简单函数的导数.对于比较复杂的函数直

接根据定义来求导数不仅繁琐，往往也很困难。为了能迅速而准确地求出初等

函数的导数，本节和下一节将介绍求导数的儿个基本法则和基本初等函数的导

数公式。

'一:函数的和、差、积、商的求导法则

如果函数〃=w(x),v=心)在点x处具有导数〃'=〃'(x),M=M(x),则这两

个函数的和、差、积、商在点x处也可导，且有

法则1：两个函数代数和的导数，等于各个函数导数的代数和，即

（M±V）Z=u'+v'

此法则可以推广到有限个函数的代数和的情形.

例（M+V+W）'-ll'+v'+w'

法则2：两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加

上第二个函数的导数乘以第一个函数，即

（wv）f=u'v+uv'

推论1:（C〃y=CM'（C为常数）.

这就是说：常数因子可以提到导数符号外面去.

此法则可以推广到有限个函数的代数和的情形.

例[uvw)'=M'vw+uv'w+uvw'

法则3：两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的

导数，然后除以分母的平方.即

/，、，u'v-v'u.八、

（一）=———（V+0）

VV

推论2：（£y=-R（c为常数）

VV

以上各法则的证明方法类似，下面给出法则2的证明，其余法则读者可以

自己证明.

证设函数/（X）=M（X）V（X）,由导数定义有

/(x+Ax)-/(x)

产出=蚂

Ax

[.u(x+Ax)v(x+Ax)-w(x)v(x)

=lim--------------------------

&->oM

「u(x+Ar)v(x+Ar)-u(x)v(x+Ax)+u(x)v(x+Ax)-w(x)v(x)

=lim------------------------------------------------------

-X

r/」Aw(x+Ar)-w(x)v(x+Ax)-v(x)

=rlim[v(x+Ax)--------------+w(x)--------------J

©TOAxAx

=v(x)ur(x)+M(X)VZ(X)

即[u(x)v(x)]r=v(x)wr(x)+u(x)vr(x)

简写为(wv)z=vuf+uv,

例1求下列函数的导数。

(1)y=x2-+ri;(2)y=——4cosx+sinx

x

1

(3)y=x3\nx;(4)

X4+x

解(1)

J

yr=(x2-V3x+Try=(x2)'-)'+乃'

_V3△

=29x----x~=2?x----j=.

22yfx

⑵

yr=(——4cosx+sinx)f=(x-1)'-4(cos1)'+(sinx)f

x

=-x~2+4sinx+cosx=--y+4sinx+cosx.

(3)

y'=(x3\nx)f=(x3)/lnx+x3(Inx\

=3x2Inx+x2=x2(31nx+1)

(4)y，=(，)，=(/+x)'=4.+1

x4+x(X44-X)2(X4+x)2

例2设函数y=tanx,求y'。

,/、,/sin%、,(sinx)zcosx-(cosx)rsinx

mA7-7y=(tanx)=(----)=------------z-----------

cosXCOSX

cos2x+sin2x12

=------z-----=———=secx

COSXCOS~X

即(tanx)r=sec2x.

这就是正切函数的导数公式。

例3设函数y=secx,求y'。

力“，/、，/1、,(cosx)'sinx

解y=(secx)=(------)=--­；—=---；-=secxtanx

cosxcosxcosx

即(secx)f=sec%tanx.

这就是正割函数的导数公式。

用类似的方法，可以得余切函数和余割函数的导数公式：

即(cotx)'=-CSC2X

(escX)'=-CSCxcotX

例4设函数y=xtanx-2secx，求y'。

解

yr=(xtanx-2secx)/=(xtanx)'-2(secx)'

=xtanx+x(tanx\-2secxtanx

=tanx+xsec2x-2secxtanx

例5求下列函数在给定点处的导数。

(1)/(x)=31+xcosx,/(一4),尸(乃).

⑵/⑺=7^7,<(J，八》

解(1)/(X)=(31+XCOSX)'=3(/)'+(%COS)'

=6x4-cosx4-x(cosx)f=6x+cosx-xsinx

=x(6-sinx)+cosx

.fX~7r)=一%[(6-sin(-^)]+cos(一))=一6〃-1

・•

f'(乃)=》(6-sin乃)+cos7i=67r-\

(2)♦.•/，«)=(1—)，(sin，)'(1+cosr)-sint(\+cos。'

1+COSZ(1+cos/)2

_cost(l+cost)-sinZ(-sint)_cosz+cos2/+sin21

(1+cosr)2(1+cos/)2

1+cosr_1

(1+cosr)2l+cosr

・••/句)=4=2一叵/号=4=1

1+cos—1+cos

42

二、反函数的求导法则

定理：设函数x=9(y)在某区间内单调可导，且“(y)wO,其反函数

y=/(x)在相应区间内也单调可导，且有

二一，或包=工

*'(y)dxdx

dy

即在一定条件下，反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.

证任取xe1A,，给x以增量Ax(ArR0,x+Are1工),由y=f(x)是单调的,

可得

Ay=f(x+Ax)-f(x)*0

于是有

包__L

AxAx

Ay

因为函数y=/(x)连续，所以当Ax->0时，必有Ay->0,从而有

Ay111

hrm=lrim--=-------=---------.

Ar.。AD△%Al0，(V)

——hm——''

AyAYTOAy

例1求反正弦函数y=arcsinx的导数.

TTTT

解y=arcsinx(-1<x<1)=siny(一万Vy4万)的反函数，而

x=siny

在I=(—生，工)内单调增加、可导，且

,22

(siny)'=cosy>0

所以y=arcsinx在(-1,1)内每点都可导，并有

11

y'=(arcsinx)’

(siny)'cosy

在(gf)内，cosy--sin2y-71-x2.于是有:

(arcsinx)'=,1=,xG(-L1)

4^

类似地，可求得

(arccosx)z=——,,xG(-bl)

例2求反正切函数y=arctanx的导数.

TT71一》—

解y-arctanx(-oo<x<+oo)^x=tany(——<y<一)的反函数，而

x=tany

她，为)内单调增加、可导，且

(tany)'=sec2y>0

所以y=arctanx在(-8,+oo)上每点都可导，并有

y'=(arctanxY=-------=—；—

(tany)'sec'y

又sec2y=1+tan2y=1+/，于是有

(arctanx)'=-----

1+x2

类以地，可求得：

/、，1

(arccotx)=-------.

1+x2

小结：

本节我们学会了四则运算构成的初等函数的求导方法，并利用反函数的求

导法则求出了反三角函数的求导公式，要求同学们记忆。

授课时间：2006年11月16日使用班级:高管06-1(3)

授课时间：2006年11月24R使用班级:造价06-10)

授课时间：2006年11月15日使用班级:造价06-2⑶

授课时间：2006年11月24日使用班级:经管06-1(3)

授课时间：2006年11月24日使用班级:隧道工程06-1(3)

授课章节名称：

第2章导数与微分

第3节反函数的求导法则与复合函数的求导法则

教学目的：

1、熟练运用复合函数的求导法则求导数

2、综合运用求导公式、求导法则求初等函数的导数

教学重点：复合函数的求导

教学难点：求导公式的综合运用

教学方法：讲解；启发；举例

教学手段：传统式

作业：

P962、3、4、5

教案实施效果追记：

有些同学不能把四则运算法则和复合函数的运算法则综合运用，还需加强

练习。

第2章导数与微分

第3节反函数的求导法则与复合函数的求导法则

讲授新内容

一、复合函数的求导法则

因为(sinx\=cosx,是否可以类似写出(sin2x)'=cos2x呢?

由三角函数的倍角公式可知sin2x=2sinxcosx

(sin2x)r=2[(sinx)rcosx+sin九(cosx)r]

=2(cos2x-sin2x)

=2cos2x

显然(sin2x)，wcos2x,因为sin2x不再是基本初等函数而是•个复合函

数，对于求复合函数的导数给出如下法则.

复合函数的求导法则：设函数y=/Q）是〃的可导函数，而〃=e（x）是x的

可导函数，那么y=/刖")]是x可导函数.并且

?=笠当或>a)=尸®•“(X)

axduax

证明：由于y=/Q)是"的可导函数，因此lim生=虫.而M=0(X)是x

△"foAMdu

的可导函数，有lim包=也，又因为包=包.包(△“*())

©f。AxdxAxAwAv

所以

Ay

rlim——=rlim(G-----A-H).

-AJC't。A〃Ax

因为〃=9(x)在x处可导，所以"=8(x)在点x处连续，因此Ax->0时,

Aw—>0

故

AyAy..ku

rlim——=rlim---hm——

&f°AxAw°Ax

即包=生也证毕.

dxdudx

推广：若y=/(〃)而〃=0W),v=,则复合函数y=/3〃(尤)]｝的导

数为生=虫.四色

dxdudvdx

例1求下列函数的导数.

(1)y=sin2x2;(2)y=cos22x;

(3)y=Intanx;(4)y=J1-2x2.

解（1）y=sin2/是由y=sin〃，〃=2/复合而成，因此

—=—•—=(sinw)z(2x12)r=cosw-4x=4xcos2x2

dxdudx

(2)y=cos?2%是由y=M=cosv,y=2x复合而成的，因此

虫=生也也=(〃2)，(cosv)，(2x)，

dxdudvdx

=2〃(一sinv)-2=-4cos2xsin2x

=-2sin4x.

(3)y=Intanx是由y=ln4,〃=tanx复合而成，因此

yr=(lnw)\tanx)z=—sec2x=------sec2x

utanx

=secxescx.

(4)y=71-2x2是由y=〃,〃=1-2x?复合而成，因此

y=(〃)'"2/),

14/\-4x-2x

=-W2(-4x)=--j==-r-----=•

22&71-2x2

由上面例子可知，复合函数求导必须先搞清复合函数的复合过程，然后便

可以用导数的四则运算法则、基本求导公式和复合函数的求导法则求它们的导

数。

注意：(1)复合函数由里到外逐次复合，求导时由外到里逐次求导，一定

要求到底，不要有遗漏。

(2)对复合函数的分解比较熟练后，可不必再写出中间变量，而可以采用

下列例题的方法来计算。

例2设函数y=ln(x+71+x2),求y'.

解

y，=[ln(x+J1+V)了

=—1-(x+A/I+X2y

x+vl+x

11-1

—==[l+-(l+x2)2(2x)]

x+^ll+x22

-.....1-----U+I------

x+J1+厂

1

7i+x2.

例2设函数y=xjl-x,求y'.

解

y，-(xjl-X)'-x'yjl-x+(Jl-x)，x

_1J.

=71-x+—(1-x)5(1-x)'x

2

n-X2-3x

=\1—XH---/=--/.

2jl-x2V1-x

在复合函数求导时，有时需要先利用代数恒等变换或三角恒等变换将函数

化简，然后再求导，这样可以简化计算.看下面例子：

例4设函数y=—*=,求y'.

x-vx2-1

解将分母有理化，得y=x+4x^

y'=x'+(yjx2-l)z

1-1

所以=l+-(x2-l)2(X2-D，

I2x

1+—.1+y-----------

2dx2—l

例5设函数y=ln,三，求y'.

1Y—I

解因为y=ln(——)2=-[ln(l+x)-ln(l-x)]

1-x2

所以y'^-[—-----—(l-x)f]=-(-^+-^)=—

21+11-x21+x1-xl-x2

例6设函数yJ-cosx,求y.

1+COSX

2sin2—

2X

解因为y=-tan"-

2cos2—2

2

所以

,cX/x、,cx2X，X、,X2X

y=2tan—(tan—)=2tan—sec—(—)=tan—sec'—.

2222222

例7求下列各函数的导数.

(1)y-e^ttx;(2)y-arcsin—;

x

(3)y-arctan(l+x2);(4)y-x3e~x.

解(1))，'=(*，)'=esg(sinx)'=cosxesmx

⑵

x>l

x<—1

I2x

(3)y，=(arctan(x2+1))'=-------—(1+，)'=--------

l+(l+x2)2X4+2X2+2

(4)y'=(x3e-r)'=(一)『+x\e-xy=3x2e-x-x3e-x=e-\3x2-x3).

二、初等函数的求导问题

在上面两节我们通过举例的方式，已经推导出基本初等函数的导数公式和

求导数的几个法则，为了方便记忆和应用，小结如下。

1.导数的基本公式：

⑴(c)'=0；(2)(%。)'=以°7;

(3)(sinx)r=cosx;(4)(cosx)f=-sinx

(5)(tanx)'=sec2x;(6)(cotxY=-esc2x;

(7)(secx)r=secxtanx;(8)(escx)f=-esexcotX；

(9)(。)=优Ina;(10)(/)'=";

⑵」;

(ll)(logG)=——;((Inx)

X

r1

(13)(arcsinx)=「1.(14)(arccosx)f=

(15)(arctanx)'--r;(16)("CCOtX)'=--------7,

\+x1+x

2.导数的四则运算法则：

(1)(u±v)r=uf±vr;

(2)(〃□)'=〃，+";

r、/U、,uv-uv.「、

(3)(一)二——5—；("0)

VV

推论：(1)(cuY=cur;

(2)(与，=一%"0).

VV

3.复合函数的求导法则:

设＞=/(〃)而〃=。瓮)，且/(〃)及9(x)都可导，则复合函数y=/［夕(x)］的

导数为半=孚.手或y，(x)=f'(u)(p'{x}.

axauax

4.反函数的求导法则

设函数x=e(y)在某区间内单调、可导，且"(y)YO,其反函数)，=/(x)在

相应区间内也单调可导，且有

,或包=-L

r(x)=

(p\y)dx

dy

注：以上运算法则及基本公式必须熟练掌握.

小结：

本节我们学习了复合函数的求导法则，从而解决了初等函数的求导问题。

同学们课下要强练习，做到既快又准。

授课时间：2006年11月20日使用班级：高管06-1(3)

授课时间：2006年11月25日使用班级：造价06-1(3)

授课时间：2006年11月20日使用班级：造价06-2(3)

授课时间：2006年11月25日使用班级：经管06-1(3)

授课时间：2006年11月25日使用班级：隧道工程06-1(3)

授课章节名称：

第2章导数与微分

第4节隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数

教学目的：

1、会求隐函数所确定函数的导数

2、会使用对数求导法求对应类型函数的导数

3、会求由参数方程所确定函数的导数

教学重点：隐函数的导数、对数求导法

教学难点：求导方法的正确运用

教学方法：讲解；启发；举例

教学手段：传统式

作业：

P1021(单)、2(单)、3(单)、5、6

教案实施效果追记：

有些同学由于初等函数求导运算的不够熟练导致本节学习的困难。

第2章导数与微分

第4节隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数