全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷2(题后含答案及解析)

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1.单项选择题2.填空题3.计算题4.综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．在空间直角坐标系下，方程2x2＋3y2＝6表示的图形为()A．椭圆B．柱面C．旋转抛物面D．球面正确答案：B解析：由题知2x2＋3y2＝6可化为了，因为柱面公式＝1故方程表示图形为柱面．答案为B．2．设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y)()A．连续B．一定取得极值C．可能取得极值D．的全微分为零正确答案：C解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．3．设积分区域Ω：x2＋y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分(x2＋y2)dxdydz＝()A．B．C．D．正确答案：B解析：用圆柱面坐标0＜θ＜2π，0＜r＜R0＜z＜1答案为B．4．下列方程中为一阶线性非齐次方程的是()A．y’＝2yB．(y’)2＋2xy＝exC．2xy’＋x2y＝－1D．y’＝sin正确答案：C解析：本题考查一阶线性非齐次方程的定义．由一阶线性微分方程的定义知，(y’)2＋2xy＝ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知y’＝2y是齐次微分方程；只有选项C，2xy＋x2y＝－1是一阶线性非齐次方程．答案为C．5．设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是()A．B．C．D．正确答案：D解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．已知＝________．正确答案：解析：7．设函数z－2x2－3y2，则全微分dz＝________．正确答案：4xdx－6ydy解析：z＝2x2－3y2zx＝4xzy＝－6y∴dz＝4xdx－6ydy．8．设B是由，y＝x和x＝2所围成的平面区域，求二重积分出曲＝_______．正确答案：解析：9．微分方程y”＋y＝8的一个特解yk＝_________．正确答案：8解析：易知其齐次方程的特征方程为：r2＋1＝0∴r1,2＝±i故可设其特解y*＝m∴(m)”＋m＝8∴m＝8∴y*＝810．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π)上的表达式为，则f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝π处的值为_______．正确答案：解析：本题是有关傅里叶级数的问题．x＝π是[－π，π)的端点，所以计算题11．求过点(0，2，4)且与两平面x＋2z＝1和y－3z＝2平行的直线方程．正确答案：本题是有关直线方程的求解问题．平面x＋2z＝1和y－3z＝2的法向量分别为n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．因所求直线与两平面均平行，从而其方向向量可取为v且有v⊥n1，v⊥n2．又直线过点(0，2，4)，从而所求直线的对称式方程为12．设函数．正确答案：13．设z＝f(x，y)是由方程z—y—x＋xex－y－z＝0确定的隐函数，求．正确答案：令F(x，y，z)＝z—y—x＋xez－y－x则Fx＝－1＋ez－y－x＋xez－y－x×(－1)＝－10(x－1)ez－y－xFz＝1＋xez－y－x∴14．设函数z＝f(x2－y2，2xy)，其中f(u，v)具有一阶连续偏导数，求．正确答案：设a＝x2－y2v＝2xy15．计算二重积分xydσ，D：ax≤x2＋y2≤a2，x≥0,y≥0(a＞0)．正确答案：积分域D的图形如下图所示，D可用不等式表示为：0≤x≤a，16．计算二重积分sin(x2＋y2)dxdy，其中积分区域D：x2＋y2≤a2．正确答案：17．计算空间曲线积分，其中L为球面x2＋y2＋z2＝a2与平面x＋y＋z＝0之交线．正确答案：本题考查曲线积分的计算．由于以x换y，y换z，z换x，曲线L的方程不变，即L具有轮换对称性，因此而L是经过球心的圆，其周长为2πa，故．18．计算对弧长的曲线积分，其中C是圆周x2＋y2＝4的上半圆。正确答案：C：x＝2costy＝2sint(0≤t≤π)19．求微分方程(ex＋y－ex)dx＋(ex＋y＋ey)dy＝0的通解。正确答案：原方程变形为ey(ex＋1)dy＝－ex(ey－1)dx，是可分离变量的方程。得ln｜ey－1｜＝－ln(ex＋1)十ln｜C｜，即ln(ex＋1)＋ln｜ey—1｜＝ln｜C｜．故原方程的通解为(ex＋1).(ey－1)＝C．注：本题中为使通解的形式简便起见，以In｜C｜表示任意常数．在解微分方程的过程中，常常根据积分的结果，以适当的形式表示任意常数．20．求微分方程e2x－ydx－ex＋ydy＝0的通解．正确答案：原方程可化为：e2xdy＝exdx两边积分∫e2ydy＝∫exdx所以通解为．21．判断级数的敛散性．正确答案：记，考虑函数f(x)＝ex—1－x(x≥0)，由于f(x)在[0，＋∞)上连续。(0，＋∞)内可导，且f’(x)＝ex－1＞0，∴当x＞0时f(x)＞f(0)＝0，即f(x)是正值单调增加函数．由此可知所给级数为交错级数，{un}单调减少，又，由莱布尼茨定理知所给级数收敛。22．将函数展开为x＋1的幂级数．正确答案：综合题23．求函数z＝4(x－y)－x2－y2的极值．正确答案：本题考查多元函数的极值的求解．令z＝f(x，y)＝4(x－y)－x2－y2又∵fxx(x，y)＝－2，fxy(x，y)＝0，fyy(x，