高考数学一轮总复习高考解答题专项六概率与统计综合问题课件北师大版

概率与统计综合问题高考解答题专项六考情分析从近两年的新高考试题来看,概率与统计是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.考查了排列组合、随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列与期望.着重考查数据分析和数学运算核心素养.考点一概率与频率分布直方图的综合例1.(2021河南调研)北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动,并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果,从中随机抽取80名志愿者的考核成绩,根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.女志愿者考核成绩频率分布表分组频数频率[75,80)20.050[80,85)130.325[85,90)180.450[90,95)am[95,100]b0.075男志愿者考核成绩频率分布直方图

若参加这次考核的志愿者考核成绩在[90,100]内,则考核等级为优秀.(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数;(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享,记抽到女志愿者的人数为X,求X的分布列及期望.解

(1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为2÷0.05=40.因为0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,所以m=0.100.所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为40×(0.100+0.075)=7.因为被抽取的志愿者人数是80,所以被抽取的男志愿者人数是80-40=40.由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知,男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为(0.010+0.015)×5=0.125,则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为40×0.125=5.X的分布列为

名师点析频率分布直方图、条形图等是考查数据收集和整理的常用依据,掌握图中常见数据的提取方法,将频率看作概率是解决这类问题的关键.对点训练1(2021陕西洛南中学月考)在一次联考中某两校共有3000名学生参加,成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求在本次考试中成绩处于[110,130)内的学生人数;(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况,现从全省考生中随机选取3人,记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由题知,成绩处于[110,130)的频率为0.01×20=0.2,∴成绩处于[110,130)的人数为3

000×0.2=600.(2)由频率分布直方图可知,成绩在110及以上的考生概率为考点二概率与线性回归方程的综合例2.(2021山东青岛三模)一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成,若笔试和抢答满分均为100分,其中5名选手的成绩如下表所示:选手S1S2S3S4S5笔试分数/X8790919295抢答分数/Y8689899294对于这5名选手,根据表中的数据,试解答下列两个小题:(1)求抢答分数Y关于笔试分数X的线性回归方程;(2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动,以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S2,S3,S4,S5,共4人,他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有名师点析概率与线性回归方程的综合常涉及相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布及线性回归方程等知识,考查学生的阅读能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.对点训练2某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量(单位:辆)进行统计,用Y表示2020年第T月份该店汽车成交量,得到统计表格如下:T12345678Y1412202022243026∴X的分布列为

考点三概率与独立性检验综合例3.(2020山东,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:PM2.5SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:PM2.5SO2[0,150](150,475][0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表,能否认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解

(1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:PM2.5SO2[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根据列联表中的数据,经计算得到

有99%的把握判断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.名师点析概率与独立性检验的综合应用也常涉及频率与概率、古典概型、相互独立事件的概率,二项分布、超几何分布、独立性检验等知识,考查了信息提取与数据处理.对点训练3(2021安徽江淮十校联考)语音正成为手机一族重要的联系方式,为了解某市语音的使用情况,某公司随机抽查了100名语音用户,得到如下数据:每天使用语音次数123456及以上30岁及以下人数334783030岁以上人数4564620合计7810111450(1)如果认为每天使用超过3次语音的用户是“喜欢使用语音”,完成下面2×2列联表,分析“喜欢使用语音”与年龄是否有关?年龄不喜欢使用语音喜欢使用语音总计30岁及以下人数

30岁以上人数

总计

(2)每天使用6次及以上语音的人称为“语音达人”,视频率为概率,在该市所有“语音达人”中随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户,既有30岁及以下的“语音达人”又有30岁以上“语音达人”的概率;②为鼓励30岁以上用户使用语音,对抽取的30岁以上“语音达人”,每人奖励100元话费,记奖励总金额为X,求X的数学期望.P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解

(1)由题中表格数据可得2×2列联表如下:年龄不喜欢使用语音喜欢使用语音总计30岁及以下人数10455530岁以上人数153045总计2575100将列表中的数据代入公式计算得

考点四正态分布与概率统计的综合例4.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:每分钟跳绳个数[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞)得分1617181920年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.(1)现从样本的100名学生的跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:①估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);②若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.解

(1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况:①两人得分均为16分;②两人中一人16分,一人17分;③两人中一人16分,一人18分;④两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得名师点析正态分布与概率统计的综合,考查了学生的阅读能力、数据处理能力及应用意识,解读这类问题的关键是培养敢于克服困难完成读题、建模的能力.对点训练4(2021湖南雅礼中学月考)某公司拟对某手机芯片进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入T(单位:亿元)与科技升级直接收益W(单位:亿元)的数据统计如下:序号123456789101112T2346810132122232425W1322314250565868.56867.56666当T>17时,确定W与T满足的线性回归方程为W=-0.7T+a.(1)为鼓励科技创新,当科技升级的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元,以线性回归方程为预测依据,比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.(2)科技升级后,该芯片的效率X大幅提高,经实际试验得X大致服从正态分布N(0.52,0.012).公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过50%,不予奖励;若芯片的效率大于50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元;若芯片的效率大于53%,每部芯片奖励4元.记Y为每部芯片获得的奖励,求EY(精确到0.01).(附:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)当T=20时,科技升级直接收益的预测值为W=-