2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考三模数学试题

第1页/共1页2024年铁一中三模数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）1.的倒数为（）A. B.3 C. D.2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（）A. B. C. D.3.如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（）A.2 B.3 C. D.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（）A. B. C. D.7.如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（）A. B. C. D.8.已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A.（1，-5） B.（3，-13） C.（2，-8） D.（4，-20）二、填空题9.在实数中，无理数有______个．10.分解因式：______．11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．12.如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．13.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．三、解答题（解答应写出过程）14.计算：15.解不等式：＞x﹣1．16.解方程：．17.如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）18.如图，点在上，与交于点，且．求证：．19.我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．20.长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．21.“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）活动目的测量风力发电机塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角测量数据斜坡坡角长度18米的长度53米点A处测量的仰角点B处测量的俯角22.如图，深圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．（1）3分钟后水面上升的速度为______；（2）求直线的解析式；（3）求该容器注满水所用的时间．23.近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．24.如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．（1）求证：是的切线．（2）若，求的长度．25.已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．（1）求抛物线的表达式；（2）是抛物线上点且在第二象限，过作于点，求的最大值．26.（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．2024年铁一中三模数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）1.倒数为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.【详解】解∵，∴的倒数为．故选C．【点睛】本题考查倒数，理解倒数的定义是解答的关键．2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；B、主视图为三角形，故本选项错误；C、主视图为长方形，故本选项正确；D、主视图为圆，故本选项错误．故选：C．3.如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出．【详解】解：平分，，，，，，故选：C．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘法法则、完全平方公式、幂的运算法则、合并同类项法则分别计算即可．【详解】解：A.，原计算错误，不符合题意；B.，原计算错误，不符合题意；C.，原计算错误，不符合题意；D.，原计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算的相关法则，准确进行计算．5.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图象平移的问题，待定系数法求一次函数解析式，先根据平移方式得到平移后的直线解析式为，再代入进行求解即可．【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位长度后的解析式为，∵平移后的直线经过点，∴，∴，故选：D．6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．【详解】连接，，并标注字母如图所示．根据题意可知，，，，∵，，∴∽，∴，，∴，∴，∴∽，∴，∴．根据勾股定理，得，∴．故选：A．7.如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆周角、弧及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵是直径，∴，∵四边形是圆内接四边形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故选C．8.已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A.（1，-5） B.（3，-13） C.（2，-8） D.（4，-20）【答案】C【解析】【详解】解：，∴点M（m，﹣m2﹣4），∴点M′（﹣m，m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．二、填空题9.在实数中，无理数有______个．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查无理数及二次根式的性质，熟练掌握无理数的概念及二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据“无限不循环小数即为无理数”进行求解即可．【详解】解：∵，∴在实数是无理数的有，共2个；故答案为2．10.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【详解】解：原式．故答案为：．11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．【答案】10【解析】【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角，∴，∴，∴共需要正五边形的个数（个），故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．12.如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可．【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，由的几何意义得，，∴，∵，∴，∵点D的坐标是，∴，，∴，∵正方形的面积为4，∴，而，∴．故答案为：2．13.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，延长交于，过作直线，推出是到的距离等于的直线上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值，求出的运动路线是直线是解题的关键．【详解】解：延长交于，过作直线，如图：和是等边三角形，，∴四边形是平行四边形，∵为中点，∴为中点，∵线段上运动，∴在直线上运动，由知，等边三角形的高为∴到直线的距离，到直线的距离都为作关于直线的对称点连接当运动到与直线的交点，即，共线时，最小，此时，最小值，，故答案为：三、解答题（解答应写出过程）14.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．先将绝对值、二次根式、负整数幂化简，再进行计算即可．【详解】解：．15.解不等式：＞x﹣1．【答案】x＜4【解析】【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可．【详解】解：＞x﹣1，1+2x＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3﹣1，﹣x＞﹣4，x＜4．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．【详解】解：方程两边都乘，得.去括号，得，解得检验、当时，，所以原方程的解为.17.如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，可知D点为边中点，因此作边的垂直平分线即可．【详解】解：点D如下图所示：作法如下：（1）分别以点B，点C为圆心，大于长为半径作弧，交于点M，点N；（2）连接，与交于点D；（3）连接．理由如下：由作图方法可知垂直平分，点D为边中点，中，，，，，和是等腰三角形．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的定义等，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．18.如图，点在上，与交于点，且．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．【详解】证明：，，，，，在和中，．19.我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．【答案】牧童人数为人【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程．【详解】解：依题意，设竹有x竿，解得则（人）∴牧童人数为人．20.长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用树状图求概率，熟练掌握求概率的方法和会画树状图是解题的关键．（1）找出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案；（2）由题意画出树状图，根据树状图数出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案．【小问1详解】解：从，，，四处景区随机选择一处去游玩总共有4种等可能结果，选中B的有1种结果，所以选中B的概率为；【小问2详解】根据题意，画树状图如下：由树状图可知总共有12种等可能结果，其中同时选中和的有种结果，所以同时选中A和D的概率为．21.“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）活动目的测量风力发电机的塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角测量数据斜坡的坡角的长度18米的长度53米点A处测量的仰角点B处测量的俯角【答案】31【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长交于点F，延长交于G，设米，由含的直角三角形的性质可得米，由三角函数分别求出米，米，利用列方程，解出方程，进而可求答案．【详解】解：延长交于点F，延长交于G，由题意得：，米，，设米，在中，米，米，在中，，米，在中，，米，米，，解得：，米，米，答：风力发电机的塔杆的高度约为31米．22.如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．（1）3分钟后水面上升的速度为______；（2）求直线的解析式；（3）求该容器注满水所用的时间．【答案】（1）（2）（3）21【解析】【分析】本题主要考查了一次函数应用，理解函数图像的含义、利用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．（1）先运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得段水面上升的速度，然后根据3分钟后水面上升的速度是之前速度的即可解答；

（2）根据3分钟后水面上升的速度，运用待定系数法求出BC所在直线对应的函数解析式即可.（3）当时解方程求出对应的t即可．【小问1详解】解：设直线的解析式为，由题意可得：，解得：，所以直线的解析式为，即前3分钟水面上升的速度为，∴3分钟后水面上升的速度【小问2详解】解：直线的解析式为，则有：，解得：，所以直线的解析式为【小问3详解】解：当该容器注满水时，，即，解得，

答：该容器注满水所用的时间为21分钟．23.近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．【答案】（1）50，图见解析（2），86（3）1200【解析】【分析】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键．（1）由图得等级B有人，占，可求m，从而可求C等级的人数，即可求解；（2）把数据按从小到大排列后，中间两个数是，可求中位数，由图可得A和B等级的人数，从而可求；（3）由图可得等级A和B等级的人数，可求所占百分比，乘以总人数，从而可进行估算．【小问1详解】解：，C等级人数；（名），补全条形统计图如图所示：故答案为：50；【小问2详解】解：把B等级数据按从小到大排列为80，80，81，82，84，85，86，86，86，89，中间两个数是、，∴中位数是；在这组数据里分的最多，∴众数为，故答案为∶，；【小问3详解】解：（名），答：估计学生的测试成绩不低于80分的总人数为名．24.如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．（1）求证：是的切线．（2）若，求的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论；（2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可；【小问1详解】证明：连接，为的直径，，，，，，，，，是的切线；【小问2详解】过O作于F，在中，，，，，，，，，，在中，．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．25.已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．（1）求抛物线的表达式；（2）是抛物线上的点且在第二象限，过作于点，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M作轴，交于点E，先求出一次函数的解析式，用解直角三角形的方法求出，表示出，设，，分别表示出，最后得到，求出最后结果即可．【小问1详解】解：点，对称轴为，，，，解得：，，抛物线的表达式为：；【小问2详解】如图，过点M作轴，交于点E，设的解析式为，，，的解析式为，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，，当时，的最大值为．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．26.（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可；（2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得，进而可证，再由相似的性质求解即可；（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，，，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证，进而可得，则在上运动，根据点圆最值求解即可；【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，当C与重合时，的值最小，，故答案为：3；（2）连接，，点为的中点，在中，，，在中，，，，，，；（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，，，，，，是等边三角形，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，在上运动，当P在上时，最小，在中，，．故的最小值为．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到动点的轨迹是解题的关键；2024年铁一中三模数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）1.倒数为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.【详解】解∵，∴的倒数为．故选C．【点睛】本题考查倒数，理解倒数的定义是解答的关键．2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；B、主视图为三角形，故本选项错误；C、主视图为长方形，故本选项正确；D、主视图为圆，故本选项错误．故选：C．3.如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出．【详解】解：平分，，，，，，故选：C．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘法法则、完全平方公式、幂的运算法则、合并同类项法则分别计算即可．【详解】解：A.，原计算错误，不符合题意；B.，原计算错误，不符合题意；C.，原计算错误，不符合题意；D.，原计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算的相关法则，准确进行计算．5.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图象平移的问题，待定系数法求一次函数解析式，先根据平移方式得到平移后的直线解析式为，再代入进行求解即可．【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位长度后的解析式为，∵平移后的直线经过点，∴，∴，故选：D．6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．【详解】连接，，并标注字母如图所示．根据题意可知，，，，∵，，∴∽，∴，，∴，∴，∴∽，∴，∴．根据勾股定理，得，∴．故选：A．7.如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆周角、弧及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵是直径，∴，∵四边形是圆内接四边形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故选C．8.已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A.（1，-5） B.（3，-13） C.（2，-8） D.（4，-20）【答案】C【解析】【详解】解：，∴点M（m，﹣m2﹣4），∴点M′（﹣m，m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．二、填空题9.在实数中，无理数有______个．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查无理数及二次根式的性质，熟练掌握无理数的概念及二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据“无限不循环小数即为无理数”进行求解即可．【详解】解：∵，∴在实数是无理数的有，共2个；故答案为2．10.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【详解】解：原式．故答案为：．11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．【答案】10【解析】【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角，∴，∴，∴共需要正五边形的个数（个），故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．12.如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可．【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，由的几何意义得，，∴，∵，∴，∵点D的坐标是，∴，，∴，∵正方形的面积为4，∴，而，∴．故答案为：2．13.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，延长交于，过作直线，推出是到的距离等于的直线上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值，求出的运动路线是直线是解题的关键．【详解】解：延长交于，过作直线，如图：和是等边三角形，，∴四边形是平行四边形，∵为中点，∴为中点，∵线段上运动，∴在直线上运动，由知，等边三角形的高为∴到直线的距离，到直线的距离都为作关于直线的对称点连接当运动到与直线的交点，即，共线时，最小，此时，最小值，，故答案为：三、解答题（解答应写出过程）14.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．先将绝对值、二次根式、负整数幂化简，再进行计算即可．【详解】解：．15.解不等式：＞x﹣1．【答案】x＜4【解析】【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可．【详解】解：＞x﹣1，1+2x＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3﹣1，﹣x＞﹣4，x＜4．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．【详解】解：方程两边都乘，得.去括号，得，解得检验、当时，，所以原方程的解为.17.如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，可知D点为边中点，因此作边的垂直平分线即可．【详解】解：点D如下图所示：作法如下：（1）分别以点B，点C为圆心，大于长为半径作弧，交于点M，点N；（2）连接，与交于点D；（3）连接．理由如下：由作图方法可知垂直平分，点D为边中点，中，，，，，和是等腰三角形．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的定义等，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．18.如图，点在上，与交于点，且．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．【详解】证明：，，，，，在和中，．19.我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．【答案】牧童人数为人【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程．【详解】解：依题意，设竹有x竿，解得则（人）∴牧童人数为人．20.长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用树状图求概率，熟练掌握求概率的方法和会画树状图是解题的关键．（1）找出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案；（2）由题意画出树状图，根据树状图数出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案．【小问1详解】解：从，，，四处景区随机选择一处去游玩总共有4种等可能结果，选中B的有1种结果，所以选中B的概率为；【小问2详解】根据题意，画树状图如下：由树状图可知总共有12种等可能结果，其中同时选中和的有种结果，所以同时选中A和D的概率为．21.“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）活动目的测量风力发电机的塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角测量数据斜坡的坡角的长度18米的长度53米点A处测量的仰角点B处测量的俯角【答案】31【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长交于点F，延长交于G，设米，由含的直角三角形的性质可得米，由三角函数分别求出米，米，利用列方程，解出方程，进而可求答案．【详解】解：延长交于点F，延长交于G，由题意得：，米，，设米，在中，米，米，在中，，米，在中，，米，米，，解得：，米，米，答：风力发电机的塔杆的高度约为31米．22.如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．（1）3分钟后水面上升的速度为______；（2）求直线的解析式；（3）求该容器注满水所用的时间．【答案】（1）（2）（3）21【解析】【分析】本题主要考查了一次函数应用，理解函数图像的含义、利用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．（1）先运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得段水面上升的速度，然后根据3分钟后水面上升的速度是之前速度的即可解答；

（2）根据3分钟后水面上升的速度，运用待定系数法求出BC所在直线对应的函数解析式即可.（3）当时解方程求出对应的t即可．【小问1详解】解：设直线的解析式为，由题意可得：，解得：，所以直线的解析式为，即前3分钟水面上升的速度为，∴3分钟后水面上升的速度【小问2详解】解：直线的解析式为，则有：，解得：，所以直线的解析式为【小问3详解】解：当该容器注满水时，，即，解得，

答：该容器注满水所用的时间为21分钟．23.近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．【答案】（1）50，图见解析（2），86（3）1200【解析】【分析】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并