辽宁省大连市第十八中学高一数学理期末试题含解析

辽宁省大连市第十八中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图2所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（）A．38辆

B．28辆

C．10辆

D．5辆参考答案：【知识点】样本的频率估计总体分布.A解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，

∵共有100辆车∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）

故选A．【思路点拨】根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．3.（5分）若原点在直线l上的射影为（2，﹣1），则l的斜率（） A． 3 B． 2 C． D． ﹣1参考答案：B考点： 直线的斜率．专题： 直线与圆．分析： 由原点O在直线l上的射影为M（2，﹣1），可得OM⊥l，求出OM的斜率后再根据两直线垂直和斜率间的关系得答案．解答： ∵原点O在直线l上的射影为M（2，﹣1），则OM⊥l，，∴直线l的斜率为OM所在直线斜率的负倒数等于2．故选：B．点评： 本题考查了直线的斜率，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题．4.从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，其中：①至少有一个偶数与都是偶数；②至少有一个偶数与都是奇数；③至少有一个偶数与至少有一个奇数；④恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，在①中，至少有一个偶数与都是偶数能同时发生，不是互斥事件，故①不成立；在②中，至少有一个偶数与都是奇数是对立事件，故②不成立；在③中，至少有一个偶数与至少有一个奇数能同时发生，不是互斥事件，故③不成立；在④中，恰有一个偶数与恰有两个偶数不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立的事件，故④成立．故选：D．5.函数的图象大致为

参考答案：D6.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（） A． 1 B． C． D． 参考答案：D考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答： 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．点评： 本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．8.已知在△ABC中，，且，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.9.如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A，B两点之间的距离为60m，则的高度为（）A.（30＋30）m B.（30＋15）mC.（15＋30）m D.（15＋3）m参考答案：A试题分析：在中，,由正弦定理得:,树的高度为,故选A.考点：1、仰角的定义及两角和的正弦公式；2、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用.【思路点睛】本题主要考查仰角的定义及两角和的正弦公式、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将现实生活中的“树高”问题转化为书本知识“三角函数”的问题.10.若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则这个圆锥的体积为

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，方程的实数x的取值范围是

.参考答案：。解析：把原方程化为关于k的方程为：，∵，∴△≥0，即，解得12.（3分）已知函数y=ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象经过一个定点，则顶点坐标是

．参考答案：（1，2）考点： 指数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用a0=1（a≠0），取x=1，得f（1）=2，即可求函数f（x）的图象所过的定点．解答： 当x=1时，f（1）=a1﹣1+1=a0+1=2，∴函数f（x）=ax﹣1+1的图象一定经过定点（1，2）．故答案为：（1，2）．点评： 本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．13.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝__________.参考答案：80略14.已知函数，若，则实数的取值范围是

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．参考答案：15.（8分）（1）已知函数f（x）=|x﹣3|+1，g（x）=kx，若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，求k的范围．（2）函数h（x）=，m（x）=2x+b，若方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，求b的取值范围．参考答案：考点： 函数的零点与方程根的关系．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）画出两个函数f（x）=|x﹣3|+1，g（x）=kx，的图象，利用函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，即可求k的范围．（2）函数h（x）=，m（x）=2x+b，方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，画出图象，利用圆的切线关系求出b的取值范围．解答： （1）因为函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，即f（x）=g（x）有两个不等的实根即函数f（x）=|x﹣3|+1与g（x）=kx，有两个不同的交点．由图象得k的范围．是（）．（2）由h（x）=，得x2+y2=4（y≥0）即图形是以（0，0）为圆心，以2为半径的上半圆，若方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，即两图象有两个不同的交点，当直线m（x）=2x+b，过（﹣2，0）时，b=4有两个交点，当直线与圆相切时=2，可得b=2，b=﹣2（舍去）b的取值范围[2，2）．点评： 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．16.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______.参考答案：0或17.函数的定义域为__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的值域．

参考答案：解析：（1）∵

…………1分

……………3分．

…5分∴函数f(x)的最小正周期为π．

……………6分（2）∵，∴，

……………8分∴，

……………11分即f(x)的值域为．

……12分

略19.（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．【分析】（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．利用定义法能进行证明．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，根据k＞0，k=0，k＜0三个情况进行分类讨论经，能求出k的取值范围．（3）根据k=0，k＞0，k＜0三种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）①当k=0时，f（x）=x﹣1，有1个零点．②当k＞0时，（i）当x＞0时，f（x）=x+﹣1，f′（x）=1﹣，当x=时，f（x）取极小值，且f（x）在（0，+∞）内先减后增，由f（x）函数式得，f（）=2﹣1，当k=时，f（）=0，f（x）在（0，+∞）内有1个零点，当k＞时，f（）＞0，f（x）在（0，+∞）内有0个零点，当0＜k＜时，f（）＜0，f（x）在（0，+∞）内有2个零点．（ii）当x＜0时，f（x）=x﹣﹣1，f′（x）=1+，f′（x）恒大于0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递增，由f（x）表达式，得：，，∴f（x）在（﹣∞，0）内有1个零点．综上，当k=0时，f（x）有1个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当k＞时，f（x）有1个零点．③当k＜0时，同理k＞0的情况：当﹣＜k＜0时，f（x）有3个零点；当k=﹣时，f（x）有2个零点；当k＜﹣时，f（x）有1个零点．综上所述，当k=0或k＞或k＜﹣时，f（x）有1个零点；当k=或k=﹣时，f（x）有2个零点；当0＜k＜或﹣＜k＜0时，f（x）有3个零点．【点评】本题考查孙的单调性的判断及证明，考查实数物取值范围的求法，考查函数的零点个数的讨论，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．2