数字电路基础课件

2.1数制和码2.1.1常用数制2.1.2

数制转换2.1.3二进制数的算术运算第二章数字电路基础2.1.4定点数与浮点制2.1.5常用BCD码和ASCⅡ码5/13/20241.2.1.1常用数制1）十进制

数字符号（系数）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9计数规则：逢十进一基数：10权：10的幂例：（1999）10=（1×103+9×102+9×101+9×100）10数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。计数制（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。5/13/20242.2）二进制

数字符号：0、1计数规则：逢二进一基数：2权：2的幂一般形式为：（N）2=（bn-1bn-2…b1b0）2=(bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋……＋b1×21＋b0×20)10例：（1011101）2=（1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20）10

=（64+0+16+8+4+0+1）10=（93）10数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！5/13/20243.3）十六进制

数字符号：0~9、A、B、C、D、E、F计数规则：逢十六进一基数：16权：16的幂例：（5D）16=（5×161+13×160）10=（80+13）10=（93）105/13/20244.4）八进制

数字符号：0~7计数规则：逢八进一基数：8权：8的幂例：（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）105/13/20245.十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F表2-1几种计数进制数的对照表5/13/20246.2.1.2数制转换

1）二进制数转换成十进制数—按权相加法将二进制数按位权展开后相加，即得等值得十进制数。

5/13/20247.2）十进制数转换成二进制

整数部分的转换：除2取余法。例：求（217）10=（）2

解：∵2∣217…………余1b02∣108…………余0b12∣54…………余0b22∣27…………余1b32∣13…………余1b42∣6…………余0b52∣3…………余1b62∣1…………余1b70∴（217）10=（11011001）25/13/20248.例：求（0.3125）10=（）2

解：∵0.3125×2=0.625…………整数为0b-1

0.625×2=1.25…………整数为1b-20.25×2=0.5…………整数为0b-3

0.5×2=1.0…………整数为1b-4说明：有时可能无法得到0的结果，这时应根据转换精度的要求适当取一定位数。小数部分的转换：乘2取整法。∴（0.3125）10=（0.0101）25/13/20249.3）二进制数转换成十六、八进制数（1）二进制与八进制之间的转换三位二进制数对应一位八进制数。（101011100101）2

=（101，011，100，101）2=（5345）8（6574）8=（110，101，111，100）2=（110101111100）25/13/202410.（2）二进制与十六进制之间的转换例如：（9A7E）16=（1001101001111110）2

=（1001101001111110）2四位二进制数对应一位十六进制数。（10111010110）2=（010111010110）2

=（5D6）165/13/202411.4）十六、八进制数转换成二进制数八:二:十六:(011101111.001010100110)2(357.1246)8(EF.2A6)165/13/202412.5）十六、八进制数转换成十进制数采用按权相加法5/13/202413.6）十进制数转换成十六、八进制数方法：先将十进制数转换为二进制数，再由二进制数转换成十六或八进制数。例：（37.25）10=（100101.01）2=（25.4）16=（45.2）85/13/202414.2.1.3二进制数的算术运算2.数制转换三种机器数[N1]原=01001[N2]原=11001[N1]反=01001[N2]反=10110[N1]补=01001[N2]补=10111对正数：[N1]原=[N1]反=[N1]补.对负数：从原码求补码为“变反加1”(数值位).符号位仍是1，右边的数值位按位取反，并在最低有效位加1。5/13/202415.2.数制转换补码的加减运算规则：[N1＋N2]补=[N1]补＋

[N2]补补码之和等于和之补码.[N1－N2]补=[N1＋(－N2)]补=[N1]补+[－N2]补.[[N]补]补=[N]原.补码运算特点:a.变减法运算为加法运算.b.符号位参与运算.5/13/202416.例1：(5)10－(2)10=？举例解:∵(5)10=(＋101)2=[0101]原=[0101]反=[0101]补

(－2)10=(－010)2=[1010]原=[1101]反=[1110]补

∴(5)10＋(－2)10=[0101]补＋[1110]补

＋10011=[0011]补=(＋011)2

=(＋3)10符号为正被丢弃(溢出)注:a.补码加补码等于补码.b.位数可任意,但同一计算过程中须位数相等.5/13/202417.二进制数的计算：加法：①0＋0=0②0＋1=1＋0=1③1＋1=10（有进位）④1＋1＋1=11减法：①0－0=0②1－1=0③1－0=1④0－1=1（有借位）乘法：①0×0=0②0×1=0③1×0=0④1×1=15/13/202418.2.1.4定点制与浮点制

1）定点制一个二进制数N：N＝2j×SS：N的尾数；J：阶码；2：阶码的基数定点制：阶码为固定数格式：小数点固定在数值的最高位之前：符号位小数点位置数值位小数点固定在数值的最低位之后：符号位数值位小数点位置5/13/202419.2）浮点制浮点制：阶码为可变数值格式：阶符阶码尾符尾数5/13/202420.2.1.5常用BCD码和ASCⅡ码

二进制代码：具有特定意义的二进制数码。编码：代码的编制过程。BCD码：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。1.二—十进制编码（BCD码）5/13/202421.几种常用的BCD码

十进制数8421码5421码余3码00000000000111000100010100200100010010130011001101104010001000111501011000100060110100110017011110101010810001011101191001110011005/13/202422.（1）8421码选取0000~1001表示十进制数0~9。按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。是有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，故称为8421码。1010~1111等六种状态是不用的，称为禁用码。例：（1985）10

=（0001100110000101）8421BCD5/13/202423.（2）5421码（3）余3码选取0000~0100和1000~1100这十种状态。0101~0111和1101~1111等六种状态为禁用码。是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。

选取0011~1100这十种状态。与8421码相比，对应相同十进制数均要多3（0011），故称余3码。5/13/202424.2、奇偶校验码具有检错能力，能发现奇数个代码位同时出错的情况。

构成：信息位(可以是任一种二进制代码)及一位校验位。校验位数码的编码方式：

“奇校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有奇数个1；“偶校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有偶数个1。5/13/202425.奇偶校验码（以8421BCD码为例）5/13/202426.3、字符码

字符码：专门用来处理数字、字母及各种符号的二进制代码。最常用的：美国标准信息交换码ASCII码。用7位二进制数码来表示字符。可以表示27＝128个字符。5/13/202427.表1-5美国标准信息交换码（ASCII码）5/13/202428.2.2逻辑代数基础

2.2.1逻辑变量与基本逻辑运算2.2.2逻辑代数的基本规则和定理2.2.3逻辑函数的表示方法及转换2.2.4逻辑函数的化简5/13/202429.2.2.1逻辑变量与基本逻辑运算1）逻辑变量和逻辑函数数字电路是研究逻辑的，即数字电路的输入、输出的因果关系，也就是研究输入和输出之间的逻辑关系。5/13/202430.如图所示，其输出和输入之间的逻辑关系可表示为：F=f（A1，A2，…，An）A1A2•••AnFF=f(A1,A2,…,An)A1，A2，…，An：逻辑自变量F：逻辑因变量。当A1，A2，…，An的逻辑取值确定后，F的逻辑值就被唯一地确定下来，则称F是A1，A2，…，An的逻辑函数。逻辑变量和逻辑函数的逻辑取值只有“0”和“1”。5/13/202431.2）基本逻辑关系和逻辑运算（1）与运算

当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111与逻辑的真值表A、B全1，Y才为1。串联开关电路功能表图串联开关电路5/13/202432.与逻辑的逻辑符号逻辑表达式：

Y＝A·B＝AB符号“·”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图所示，符号“&”表示与逻辑运算。5/13/202433.若开关数量增加，则逻辑变量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才为1。Y＝A

·

B·C＝ABC5/13/202434.（2）或运算

当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系，简称或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111或逻辑的真值表A、B有1，Y就为1。并联开关电路功能表图并联开关电路5/13/202435.图或逻辑的逻辑符号逻辑表达式：

Y＝A＋B符号“＋”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图所示，符号“≥1”表示或逻辑运算。5/13/202436.（3）非运算

当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。非逻辑的真值表A与Y相反开关与灯并联电路功能表开关与灯并联电路开关A灯Y断开亮闭合灭AY01105/13/202437.非逻辑的逻辑符号实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图所示。逻辑符号中用小圆圈“。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。逻辑表达式：

Y＝A符号“—”读作“非”。5/13/202438.（4）复合逻辑运算

在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。

①与非运算“与”和“非”的复合运算称为与非运算。

逻辑表达式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110表与非逻辑的真值表

“有0必1，全1才0”5/13/202439.

②或非运算“或”和“非”的复合运算称为或非运算。

逻辑表达式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110或非逻辑的真值表

“有1必0，全0才1”或非逻辑的逻辑符号5/13/202440.

③与或非运算“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。

逻辑表达式：Y＝AB+CD与或非逻辑的逻辑符号5/13/202441.

④异或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。

异或逻辑的真值表

“相同为0，相异为1”异或逻辑的逻辑符号逻辑表达式：Y=A⊕B=AB+AB式中符号“⊕”表示异或运算。

ABY0000111011105/13/202442.⑤同或运算所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。

同或逻辑的真值表

“相同为1，相异为0”同或逻辑的逻辑符号ABY001010100111逻辑表达式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B

式中符号“⊙”表示同或运算。

5/13/202443.2.2.2逻辑代数的基本规则和定理（1）对偶规则如果两个逻辑表达式相等，那么其对偶式也相等1）重要规则运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。对偶变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”5/13/202444.利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。互为对偶式对偶定理：若等式Y=W成立，则等式Yˊ=Wˊ也成立。

5/13/202445.在任何一个逻辑等式（如F＝W）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。（2）代入规则推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。

理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。5/13/202446.（3）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或），必要时可加或减扩号。对任何一个逻辑表达式Y作反演变换，可得Y的反函数Y。这个规则叫做反演规则。

反演变换：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原变量→反变量反变量→原变量5/13/202447.2）基本公式和定理（1）常量之间的关系这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。0·

0=00+0=00·

1=00+1=11·

0=01+0=11·

1=11+1=10=11=0请特别注意与普通代数不同之处与或5/13/202448.（2）常量与变量之间的关系普通代数结果如何？（3）与普通代数相似的定理交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+(BC)=(A+B)(A+C)5/13/202449.（4）特殊的定理De·morgen定理表1-16反演律(摩根定理)真值表5/13/202450.逻辑代数的基本公式5/13/202451.2.常用公式B：互补A：公因子A是AB的因子5/13/202452.A的反函数是因子与互补变量A相与的B、C是第三项添加项5/13/202453.常用公式需记忆5/13/202454.2.2.3逻辑函数及其表示法

表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。5/13/202455.

真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。1个输入变量有0和1两种取值，

n个输入变量就有2n个不同的取值组合。例：逻辑函数Y=AB+BC+AC表1-11逻辑函数的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三个输入变量，八种取值组合1）真值表ABBCAC5/13/202456.ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特点：①唯一性;②按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复）。③n个输入变量就有2n个不同的取值组合。

5/13/202457.例：控制楼梯照明灯的电路。两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下。无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯。设灯为L，L为1表示灯亮，L为0表示灯灭。对于开关A和B，用1表示开关向上扳，用0表示开关向下扳。表1-14控制楼梯照明灯的电路的真值表ABL001010100111图1-9控制楼梯照明灯的电路5/13/202458.2）逻辑表达式按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：①找出使输出为1的输入变量取值组合；②取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；③将乘积项相加即得。ABL001010100111L=AB+ABABAB5/13/202459.最小项及最小项表达式（1）最小项具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。

设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。AB是三变量函数的最小项吗？ABBC是三变量函数的最小项吗？推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此N个变量共有2N个最小项。5/13/202460.最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。表1-17三变量最小项真值表5/13/202461.（2）最小项的性质①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；②任意两个不同的最小项之积恒为0；③变量全部最小项之和恒为1。5/13/202462.最小项也可用“mi”表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。

表1-18三变量最小项的编号表

5/13/202463.（3）最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例1-7将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解：或：5/13/202464.3)逻辑图用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。ABL001010100111L=AB+AB图1-10图1-9电路的逻辑图5/13/202465.1）逻辑表达式的类型和最简与或式例：用非门和与非门实现逻辑函数解：直接将表达式变换成与非－与非式：可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。×2×4×1两次求反反演律2.2.4逻辑函数的化简5/13/202466.若将该函数化简并作变换：可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入端与非门即可。电路很简单。×2×15/13/202467.逻辑函数的多种表达式形式与-或表达式与非-与非表达式或-与非表达式或非-或表达式两次求反并用反演律反演律摩根律5/13/202468.逻辑函数的多种表达式形式（续）或-与表达式或非-或非表达式与-或非表达式与非-与表达式5/13/202469.由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。最简与或表达式为：①与项（乘积项）的个数最少；②每个与项中的变量最少。5/13/202470.2）公式化简法反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称为代数化简法。必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。5/13/202471.最常使用，特别需要熟练记忆！5/13/202472.化简函数解：例化简函数解：代入规则（1）并项法利用公式A+A=1或公式AB+AB=A进行化简，通过合并公因子，消去变量。或：代入规则5/13/202473.（2）吸收法（律）利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。化简函数解：例化简函数解：5/13/202474.化简函数解：化简函数解：（3）消去法利用公式A+AB=A＋B进行化简，消去多余项。5/13/202475.化简函数解：（4）配项法在适当的项配上A+A=1进行化简。5/13/202476.化简函数解2：解1得：问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！5/13/202477.例化简函数解：（5）添加项法利用公式AB+AC+BC=AB＋AC，先添加一项BC，然后再利用BC进行化简，消去多余项。5/13/202478.下面举一个综合运用的例子。解：5/13/202479.公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法。当变量个数超过4时人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。5/13/202480.3)图形化简法

公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。

利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。

5/13/202481.卡诺图及其画法

卡诺图及其构成原则

卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：①N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。5/13/202482.三变量卡诺图的画法

（1）逻辑变量的卡诺图首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块；②几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。相邻相邻5/13/202483.四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。5/13/202484.

①从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。逻辑函数Y的真值表（2）逻辑函数的卡诺图ABCY00000011010101101001101011001111例1-8的卡诺图5/13/202485.

②从最小项表达式画卡诺图

把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。例画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。5/13/202486.

③从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。1111AB＝11例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01115/13/202487.

④从一般形式表达式画卡诺图

先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。5/13/202488.

●卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项，可消去变量。合并两个最小项，可消去一个变量；合并四个最小项，可消去两个变量；合并八个最小项，可消去三个变量。合并2N个最小项，可消去N个变量。卡诺图化简法由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。5/13/202489.两个最小项合并

m3m11BCD5/13/202490.四个最小项合并

5/13/202491.八个最小项合并5/13/202492.

●利用卡诺图化简逻辑函数A．基本步骤：

①画出逻辑函数的卡诺图；②合并相邻最小项（圈组）；③从圈组写出最简与或表达式。

关键是能否正确圈组。

B．正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。5/13/202493.

C．从圈组写最简与或表达式的方法：

①将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量；②将各与项相或，便得到最简与或表达式。5/13/202494.例用卡诺图化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)解：相邻A5/13/202495.相邻BCA5/13/202496.BCABD5/13/202497.例化简图示逻辑函数。解：多余的圈112233445/13/202498.圈组技巧(防止多圈组的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一