高等数学例题

高等数学（下）例题

《高等数学》教学大纲

英文名称：HigherMathematics

一、课程目标

1、课程性质

《高等数学》是工科各专业的核心课程。在工程、化学、物理、机械、经

济等专业的众多课程都需要以数学为基础，因此，掌握《高等数学》的有关知

识，把握微积分的基本思想和基本方法，对顺利完成后继课程的学习是非常必

要的。本课程也是培养学生获取知识能力、应用知识能力及创新能力，提高学

生抽象能力、逻辑思维能力与数学素质的一个重要的教学环节。

2、教学方法

以课堂讲授为主，习题课及课堂练习为辅。应用多媒体辅助教学。

3、课程学习目标和基本要求

（1）通过学习学生要掌握微积分的基本思想和基本方法,掌握数列的极限、

函数的极限与连续，一元函数的微分学，一元函数的不定积分与定积分的计算。

线性微分方程的解法。向量代数、直线、平面、及空间曲线与曲面方程。多元

函数的连续与极限，偏导数及微分，复合函数的求导法则，隐函数的求导公式。

重积分、曲线积分与曲面积分的计算。幕级数与傅里叶级数。

（2）通过学习，培养学生具有抽象思维、逻辑推理的理性思维能力，综合

运用所学的数学知识分析问题、解决问题的能力，为学习后继课程奠定必要的

数学基础。

4、课程学时：180学时

5、课程学分：10学分

6、课程类型：必修课

7、先修课程：初等数学

8、考试（考核）方式：考试

9、适用专业：全院理工类各专业

二、课程结构

1、极限与连续（20学时）

知识点：极限，两个重要极限，无穷小的比较，连续性与间断点，闭区间上

连续函数的最大（小）值定理与介值定理，函数的概念与复合函数。无穷大与无穷

小，极限的运算，初等函数，映射，基本初等函数，初等函数。

重点：数列极限与函数极限的概念，极限存在准则与两个重要极限，无

穷小的比较，函数连续性与间断点，闭区间上连续函数的最大（小）值定理与介

值定理，函数的概念与复合函数。

难点：极限存在准则，闭区间上连续函数的性质。

2、一元函数微分学（24学时）

知识点：导数的定义，相关变化率，复合函数求导，隐函数、参数方程求

导，相关变化率，函数微分，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性与

凹凸判定法，函数极值与最值问题。函数的可微性与连续性的关系，函数的线

性组合、积、商的求导法则，反函数的导数，高阶导数，微分中值定理，函数

极值与最值问题，曲线的曲率。

重点：相关变化率定义，复合函数求导，隐函数、参数方程求导，相关变

化率，函数微分，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性与凹凸判定法,

函数极值与最值问题。

难点：导数定义，复合函数求导，隐函数求导，相关变化率，微分中值定

理，函数极值与最值问题。

3、一元函数积分学（24学时）

知识点：本章的重点是积分的概念，积分学中值定理，微积分基本定理，

换元积分法与分部积分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。几种特殊类

型函数的积分，反常积分，平均值。

重点：本章的重点是积分的概念，积分学中值定理，微积分基本定理，换

元积分法与分部积分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。

难点：定积分的应用。

4、微分方程（20学时）

知识点：微分方程基本概念，可分离变量微分方程，•阶线性方程，线

性微分方程解的结构，二阶常系数线性微分方程，可用变量代换法求解的一阶

微分方程，可降阶的二阶微分方程。

重点：微分方程基本概念，可分离变量微分方程，一阶线性方程，线性微

分方程解的结构,二阶常系数线性微分方程。

难点：二阶常系数微分方程，微分方程的应用。

5、向量代数与空间解析几何（18学时）

知识点：向量的概念，向量的加、减法，向量与数量的乘法，向量的数量

积、向量积与混合积，两个向量的垂直与平行的条件，平面的点法式方程，直

线的对称式方程与直线的一般式方程，曲面与曲线方程的概念，空间直角坐标

系，常见曲面方程与图形。两点间的距离，向量的分解与向量的坐标，向量的模,

单位向量，方向余弦与方向角，向量间的夹角，平面的一般方程，直线的参数

方程，母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线的参数方程。

重点：平面的方程，直线的参数方程。

难点：平面的方程，直线的参数方程。

6、多元函数微分学（20学时）

知识点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导

法则；隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线

的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值

求法。区域，多元函数的连续性、方向导数与梯度。全微分在近似计算中的应

用；隐函数求导公式：方程组的情形是选讲内容。

重点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法则；

隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切线

与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求法。

难点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法

则；隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的

切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求

法。

7、重积分（18学时）

知识点：二、三重积分的概念与性质、二重积分的计算法（二重积分的换

元法可不讲）。利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分。利用二重积分，三重积

分计算曲面的面积，平薄片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。能利用直角

坐标计算三重积分，利用二重积分、三重积分计算平面薄片或空间物体对一质

点的引力。

重点：二重积分的概念与性质、二重积分的计算法。利用直角坐标、柱面

坐标与球面坐标计算三重积分。利用二重积分，三重积分计算曲面的面积，平

面薄片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。

难点：二重积分的概念与性质、二重积分的计算法。利用柱面坐标与球面

坐标计算三重积分。利用二重积分、三重积分计算曲面的面积，平薄片和空间

物体的重心坐标心及转动惯量等。

8、曲线积分与曲面积分（20学时）

知识点：质量问题提出的第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及计算，

功问题提出第二型曲线积分和流量问题提出的第二型曲面积分概念，格林公式,

线积分与路径无关的条件，高斯公式。梯度'、散度、旋度的概念与计算，斯托

克公式及计算。

重点：第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及计算，第二型曲线积分和

第二型曲面积分概念，计算，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，格林公

式，高斯公式。

难点：第一型曲线积分与第一型面积概念及计算，第二型曲线积分和第二

型曲面积分概念及计算，格林公式及积分与路径无关的条件，高斯公式。

9、无穷级数（16学时）

知识点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级

数的绝对收敛与条件收敛，幕级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展

开成塞级数。常数项级数的概念，无穷级数的性质，傅里叶级数，傅里级数的

收敛定理，正弦级数与余弦级数，以2L为周期的函数的傅里叶级数。

重点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的

绝对收敛与条件收敛，基级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成

察级数。

难点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的

绝对收敛与条件收敛，基级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成

幕级数。

三、课程资料

教材：

同济大学应用数学系编.《微积分》（上、卜.册）第二版.北京:高等教育出版社，

2002年

参考书：

1、同济大学应用数学系和武汉科技学院数理系编.

《微积分》学习指导书.北京:高等教育出版社,2001年7月

2、工科教学指导委员会编•《高等数学释疑解难》.北京：高等教育出版社,1992

年8月

3、钱本昌著.《高等数学解题过程的分析和研究》.北京：科学出版社,1999年5

月

4、同济大学.《高等数学》（上、卜）（第四版）.北京：高等教育出版社,1999年

5、北京大学数学科学学院..《高等数学辅导》（修订本）.上海：科学技术文献出版社2000

年

6、北京大学数学科学学院.《高等数学习题集》.上海：科学技术文献出版社,1999

年

（注：为了排版方便，这里的课程资料用的是半角符号。若书名特别长的，建议可以在“字

体”选项卡中“字符间距”下的“间距”修改磅值。）

编制：吴海辉审核：

徐荣聪

2009年8月

第一章多元函数微分法及其应用

一、多元函数的极限

221

例।设f(x,y)=(x+y)sin

x+y

求证：limf(x,y)=o

(x,y)->(0,0)

证明：因为1

\f(x,y)-Q\=(x2+>-2)sin-0<x2+/

~x2+y2

可见，对应任意的正数e,总存在正数3,取b=，则当

0<7(-^-0)2+(^-0)2<8

即P(x,y)GDnu(o,6)时，总有

\f(x,y)-0\<£

成立，所以]im/(%，y)=。

(x,y)f(0,0)

例2求sin(xy)

J%丁

解:

sin(xy)—。

lim—=------y)=l*2=2

(x,y)f(0,2)XXX

(x,y)->(0,2)

二、偏导数

2

例1求z=工2+3xy+y在点。,2)处的偏导数

解：因0Z

—=2x+3y

上一3丫

dx—J人+2y

dz

故父2*1+3*2=8

dx

dz

X=1=3*1+2*2=7

注:dyy=2

n-i

二nx(sinx)=cosx

八X'1

(cosx)=-sinJC(log“x)—

Xxma

fM=1

(p(y)

y

例2求z=(1+xy)的偏导数

解：由于2=(1+乂疗=/(1+岁)=/ln(l+W)

包>ln(l+盯),

故&e,i+孙>

2

="P—(l+xy)'=y2(l+xy)--|

l+xy

dzyln(1+u1

=e-*[ln(l+孙)+y*-------*y]

1+xy

y2

=(1+xy)y[ln(l+xy)+-------]

22"孙

_4+广

例3求z-----------的偏导数

"V

2,2

解由于U+V

z=-=--—-----(-/Z2+V2)

JHV"V

故

dz=("2+y2)(-11V

H-----*24=-2

+"*2『V"

dv"-v"V

14

"v2

22

例4曲线।x+V

z=-----

<4

)=4

在点(2,4,5)处的切线对于x倾角是多少？

dz1

解：由于x=2—X1

y=4

dxz=52

故tana=1,a=45°

例5设z=x\n(xy)求

解：由j包=]n(xy)+x**y=]n(xy)

dxxy

d2zddz.11

----------------------I--------j----------

2y=一

dxdxdxxyX

2

故_e5z

--9=--(T)=U

dx^dydydx2

三、全微分22

例i计算函数z=x~y+y的全微分

&

二

由

于2

移

一

一

M-:一

6&%

22

一X+y

¥一

故

3z私

公

dZ+办

=一-¥

。X

=2xydx+(x2+2y)dy

例2计算(1.04)2m的近似值

解：设f(x,y)=xy

对于二元函数f(x,y)在点(x(),yo)附近有：

F(x0+/x,%+/y)«f(x0,y0)+,fx(x0,yo)/x+fy(x0,y0)/y

取(x0,y0)=(l,2),Zlx=0.04,Zy=0.02

因f(xo,y())=l

f”与小)=产*义57

OXX)

fv=g(e>E')=£*in%-%'in%

ydy

fx(l,2)==x=i=2

y=2

fv(l,2)==炉InxX=1=0

y=2

(1.O4)202-1+2*0.04+0«1.08

四、多元复合函数导数包和生

例i设z=e"sinu而/n=xyu=x+y求

/dz&d/ddzdudxdy

dxdpidxdudx

=e"sinu*y+e"cosu*1

=eAV[ysin(x+y)+cos(x+y)]

-d-z-=dz*—朋-——I---&--*du

dydjudydudy

=e"sinu*x+e"cosu*1

=e"[xsin(x+y)+cos(x+y)]

2

辿dco

例2设@=f(x+y+z,x"),f具有二阶连续偏导,求菽及与莅

解：设/J=x+y+zU=X"则/=f(//,u)

故dco_dfQJLIdfdu

--------***+-----*—

dxdjudxdudx

二31+工,*)z

：f哈+温。、

d?djFd

-----------(----)ZZ旦--+RM)

dxdzdzdxd(707.

工加dfdudfdudfd]n

ty*a+：y*/)+"

即&du&dr)ozo/idz

=九,*1+/〃。*外+”(九。*3)十九*D+小y

=九+(孙+y玲心口+孙2式小+WL

dz

例3设z-"u+sint而4=d0=cot求帮

之

解：-d-z-=-S--z--*d—u——1--d--z-*-d-o----1-c-

dtd/ndtdudt(力

=u*e'+4*(-sin。+cosf

=e,(cost-sin。+cost

五、隐函数的导数

三

例1设J?+>2+z2一=0求:

222

解：设F(x,y,z)=x+y+z--4z

Fx=lx£=2z—4

由于

dz_Fx_x

dxF.2-z

FF2-2FFF+FF2

dx2F；

_2(2z-43-0+2(2x>

~8(2-z)3

二(2-汀+了

~(2-»

d/udpidodu

Xy/Z+=0

例2设^fx2f-yS=O水&dydxdy

出于〈・

[y/z+xu=0

给方程组两边对X求导并移项得：

diidu

x------y—=-U

<dxdx

d/ndu

y-----Fx—=-u

、dxdx

从而有

7x-y

J==x+y2

yx

zx-A-y

J7")=--XjLl-yu

-UX

X-JU

J(u)==-xu+yju

y-u

dju_J(/z)_xju+yv

2

故dxJx+y2

du_J(L>)_y/j-xu

dxJx+y

将所给方程两边对y求导并移项得:

du

A0------------y——=u

dy

<

djudu

y+x—=—//

dydy

从而有

X-y2,2

=%+y

yX

-y

=xu-yjLi

x''

V

J(u)=--x/j-yv

y-4

故d/2_J(//)_xu-y/a

dyJx2+

du_J(L>)_X/J+yv

dyJx1+y2

六、应用

例i设空间曲线「的向量方程为：

「=/。）=（产+1,小一3,2产—6。，teR

求曲线r在与t0=2相应的点处的单位切向量。

解：由于＜0)=(2344—6)

工(2)=(4,4,2)

222

|f,(2)|=74+4+2=6

故曲线r在与to=2相应的点处的单位切向量为:

其P：“+”表示切向量与t的增长方向一致；表示切向量与t的增长方向相反。

例2求曲线x2+y2+z2=6，x+y+z=°在点(1,一2,1)处的

切线及法平面方程。

解：由于

jx2+j2+z2=6

[x+y+z=0

将方程平边对X求导并移项得：

dydz

y---1-z——=-x

<dxdx

dydz

---1---=

、dxdx

故yz

=y-z

i1

zJ(z)=；-X

J(y)==­x+z=_y+x

1-1

dy二J(y)二z一xdz_J(z)%-y

dxJy-z

因%Jy-^dz--i

dx(1,-2,1)-,(L-2,1)-1

dx

从而得曲线在在点(1,-2,1)处的切向量为T=(1,O,-1)

所求切线方程为x-1_y(2)_zT

~r~6-k

法平面方程为1*(%-1)+0*[y-(-2)]+(-1)*[z-(-1)]二。

即x-z=0

例3求旋转抛物面z=X2+y2-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程

解：设F(x,y,z)=x2+y2-z-i

法向量为〃=(工,工,尺)=(2羽2%-1)

即n⑵⑷=(4,2,-1)

故在点(2,1,4)处的切平面方程为

4*(x—2)+2*(y—1)+(―1)*(z—4)=()

即

4x+2y—z—6=0

在点(2,1,4)处的法线方程为

x-2y—1z—4

-1

七方向导数与梯度

例1求函数f(xy%)=xy+yz+Z］在点P(IJ'2)处沿从方向L的

方向导数，其中L粉方向着芬M为60%5。,6d。

解：与L同向的单位向量为：

e(cos60°,cos45°,cos6

由于函数可微分，且

力(1,1,2)=(y+z)(1,1,2)-03

故-3

4(1,1,2)=(x+z)(1,1,2)-3

-?

力(U,2)=(y+/(1,1,2)乙

方向导数为：

(1,1,2)=，(/，加Zo)COSa+4(x0，加Zo)COSp

+/)，(%,yo，Zo)COS/

=-(5+372)

1

grad

例2求x+y

解;设f(%,y)=、1、

x+y

因更—2x

dx(V+y2)2力(/+y2)2

grad

故厂7喂吗，

2x.2y

(-X2+)2(一+/2J

求曲面X2+>2+z=9在点P(l,2,4)的切平面和法线方程。

例3

设=X2+)2+z

解:

_/f.

Vf(x,y,z)df.df-

(124)=(----1-----J-----k)(1,2,4)

Q24)Fdydz

—2i+4j+左

而梯度的方向就是等在面f(x,y,z)=9在点p的法线方向。

故p点的切平面方程是：

2(x-l)+4(y—2)+(z—4)=0

即2x+4y+z=14

在点p的法线方向是：fx=1+2r

<y=2+4t

z=4+1

32

例4设f(X,＞，Z)=》一町-Zp(l/,O)，问f(x,y,z)zp处沿什么方向变

化最快，在这个方向上的变化率是多少？

解：由于

Vf(x,y,z)=生i+或j+亚k

dxdydz

=(3x2-y2)i-2xyj-k

即Vf(x,y,z)(1(10)=2i-2j-k

故f(x,y,z)在p处

沿梯度的方向增加最快，即Vf(x,y,z)(i』,o)=2i-2j-攵增加最快。

沿负梯度的方向减少最快，即-Vf(x,y,z)h1,o)=-2i+2j+k减少最

快。’’

在这两个方向的变化率分别为

|Vf(l,l,O)|=次+(—2>+(—I]=3

-|Vf(l,l,0)|=-3

八、多元函数的极值

例1求函数f(x,y,z)=工3—y3+3x~+3y~-9x的极值。

解：由于：

2

Ifx(x,y)=3%+6x-9=0

故得xi=l,x|>=-3;yi=O,y?=2

驻点为(1,0),(i炉),&缈X合2A3y2+6y=0

设A=fxx(x,y)=6x+6B=fxy(x,y)=0

c=fyy（x,y）=-6y+6

2

在点（1,0）处，由于AC-B=12*6>0又A>O,

故函数在点1,0）处有极小值，且f（l,0）=-5

2

在点（1,2）处,由于AC-B=12*（-6）<0故点（1,2）无极值。

2

在点（-3,0）处，由于AC-B=-12*6<0故点（-3,0）无极值。

2

在点（-3,2）处，由于AC-B=-12*（-6）>0又A<0,

故函数在点-3,2）处有极大值，且f（-3,2）=31

例2求表面积为a而面积最大的长方体的体积

解：设长方体的棱长分别为x,y,z,则表面积为

2xy+2yz+2xz=a2

2

设（p（x,y,z）=2xy+2yz+2xz-a=0

由于长方体的体积为

V=xyz(x>0,y>0,z>0)

作拉格朗日函数：，

LCx,y,z)=xyz+^(2xy+2yz+2xz-a2)

y+经+24=0

由Lx=yz+22y+22z=0

z

<Ly=xz+2Ax+22z=0即

2Ax仁°八

L.=xy+2Ay+2Ax=0XH-------F22-0

z

cc2Ax八

x+2XH-------0

y

得x=y=z

代人(p(x,y,z)=0得

V6

x=y=z=---a

6

这是唯一可能的极值点。由问题本身知最大值一定存在，故得表面积为a2的长方体，棱

长V6

x=y=z=---a

为-6时体积最大，且丫=【£43

U36

第二章重积分

二重积分的计算

其中D是由直线y=l,x=2及y=x所围成的闭区域。

解：先画出积分区域如下:

由于积分区域D是x型的（可用夕［（X）W>V02（1）表示），D上点的x

坐标变动范围是区域：［1.2］。在此区间上任意取定一个x值，则Dty坐标y=l到y=x

变化。故:

jjxydcr=J[Jxydy}dx

D”.

—J[—xy^dx—『_(/_x)dx

2

9

8

由于积分区域D是y型的,D上点的y坐标变动区域是：［-1,2］,x坐标变动区域是:

2

Xi=y,x2=y+2

故:jjxydcr=J,xydx]dy

D*

:j[J+4/+4y-y5)dy

2J

45

~8

例3计算JJe''dxdy,其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成

的闭区域。D

因x=psin9y=pcosO

P

攵JJe''dxdy=JJcpdpdO

DD

=PdP

l^e'^P=[[pee^dp

a2

=2乃[—；『"储d(—夕2)==乃(1—e-)

—•、三重积分

例1计算三重积分ff\xdxdydz，其中。为三个坐标平面及平面x+2y+z=1

Q

所围成的闭区域。

解：作闭区域如图所示

Q投影到xoy平面上，得到投影区域D、y为三角形闭区域，边界方程分别为:

X=0,y=0及x+2y=1

P,=|(IJ)|0<)'<^,0<X<1

故9

J

\-x

于是有x-2y

^^xdxdydz=fxdxdyfdz

Q"

-x-2y)dy

dx

——(・)2]dx

_2314-|l1

34048

例2利用柱面坐标计算三重积分：JJkdxdydz

Q

2,2

i-x+yz=4

其中Q是由曲面与平面所围成的圆形闭区域。

解：把闭区域Q投影到xoy平面，得半径为2的圆形闭区域：

设：x=psin夕y=pcos9

因Dxy=|(p,6»)|0<p<2,0<6»<2^|

川zdxdydz=\\\zpdpd6dz

ATTp2p4,2万d01p^.dp

=1㈣“叫zdz=］p

乙

=|广川fp(16—p^dp=1『［8"—g/］触夕

1「2164

-de=—7i

-233

注：利用球面坐标求三重积分时，x=rcos9sin。y=rsin^cos^?

2

z-rcos。jv_rsin(pdrd(pd6

y,z)dxdydz=cp,6)r2sin(pdrdcpdO

Q

一、对弧长的曲线积分

例1计算|-Jyds，其中L是抛物线y=x2上点0(0,0)与点B(1，D之间的一段

弧。如图所示。

12-

对决+收网](56-1)

JL乙

例2计算曲线积分[(X+y+Z)ds，其中L为螺旋线x=acost,

y=asint,z=kt上相应于t从0到2m的一段弧。

解：22Z22222

£(x+y+)6?5=^(a+kt)ylxt+y]+z^dt

=J{a2+k2t2)^/(-rzsin/)2+(«cosr)2+k2dt

=Jq2+.2,万(〃2+k2t2)dt

=yja2+k2[a2t+/

解：一)化为对X的积分计算。如图所示

由于y=±J7不是单调函数,

故可把L分为A0和OB两部分，在

AO部分y=-\/x*,x从1变到0：在

BO部分y=,x从。变至ij1。

因此fxydx=f-x4xdx+

\xyfxdx=xedx+x2dx

JLOBJ

(i-2-4

=2]x2dx=2[-%2]=—

-)化为对y的积分计算

Y从-1变到1,因此有

4

5

£2xydx+x1dy

例2计算,其中L如图所示:

(1)抛物线y=x2上从O(0,0)至i」B(1,1)的一段弧

(2)抛物线x=y2上从O(0,0)至I」B(1,1)的一段弧

(3)有向折线OAB,这里O,A,B

依次是点(0,0),(1,0),(1,1)

解：(1)化成对x的积分：

2

£2xydx+xdy=f(2x•x2+%2•2x)dx=1

(2)化成对y的积分:

2”・2y+y4)dy=l

2

(3)£2xydx+xdy

=fIxydx+x2dy+[2xydx4-x~dy

北OAJLAB

=0+Idy=1

三、格林公式

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)即Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导

数，则有：

-^~)dxdy=jPdx+Qdy

ndx°/°

其中L是D的取正向的边界曲线(当观察者沿着L的方向行走时，若D内的区域总在它

的左边)。

，其中D是以O(O,O),A(I,D,B(O,I)为顶点的三角形区域。

例1计算Jje'dxdy

如图所示。D

解：令P=0,Q=xey2,则

由格林金K得与dxdy

ffe-vdxdy=\xe~Y'dy=f

JJoA+AB+BO

D

='乎力二-；/丁)二］o=1(l-/)

例2求椭圆x=acos9,y=bsin4所围成的图形的面积A。~

解：由于

而取p=-y,Q=x则

四、全微分方程”_丝

全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O有解的充要条件是：Qy

通解为jLi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=C

,匕0。0)

其中(x0,yo)是在单连通区域G内适当选定的点的坐标。

例1解方程

(5x4+3xy2-y3)dx+©Vy-3%^2+y2)dy=0

解：设尸(x,y)=(5%4+3^2_y3)

Q(x,y)=(3x2y-3xy~+y?)

由于BP

J=6xy_3y2刃

dx

取xo=O,yo=O,取积分路径如图所示，则有:A(x,O)

42222

"(x,y)二(5x+3xy-y^)dx+(3xy-3A)'+y)dy

0,0)

322313

+-^yf+-y

于是，方程的通解为；

r5+-3r2y2-IV3+-1y3=c

23

还可以用下列方法求解全微分方程:

由于-=(5x4+3xy2-y3)

dx

故

4(x,y)=j(5f+3个2-炉)dx

=x5+3-x2y2-y3x+(p/(y)\

2

-=C3x2y-3xy2+(p(y)

dy

222

又^L=2xy-3xy+y

dy

2

从而①(y)=y

1R

(p(y)=-y+。

于是，方程的通解为；

r5+-3x2y2-xy3+-1y3=c

23

五、平面上曲线积分与路径无关的条件

设区域G是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线

积分[pdx+Qdy在G内与路径无关(即沿G内任意闭合曲线的曲线积分

为,

零。)的充要条件是:dp_dQ_

五、曲面积分dydx

2222

例1计算曲面积分其中工是球面x+y+z=a被

平面z=h(0</i<Q)截出的顶部。

_l~222

zax

解：由于球面方程为：-v--y

.222，2

£在xoy面上的投影区域D为圆形区域，(x,y)x+y<a-h

由公式y,z)ds=JJ7(x,y,z(x,y)-yjl++Zydxdy

£%’

得：

dxdy

利用极坐标得:

1a

_"y2=・—3/_%2—y2dxdy

de———Qpdp=2sIn—

—ph

例2计算曲面积分［卜dydz+ydzdx+zdxdy

z

其中》是长方体Q的整个表面的外侧，且

Q=(x,y,z)[0<x<a,0<^<b,0<z<c

解：把长方体在xoy,yoz,zox平面投影，得:

+y2dzdx+z1dxdy

=c2ab+a2be+b2ac=(a+b+c)abc

六、高斯公式

+Qdxdz+Rdxdy

或

空+义+第公即

cosa+QcosP+Rcosy)ds

1dxdy

Q°Z2

Cos。，cosB,cosY是2在点（x,y,z）岩的法向量的方向余弦。

例i利用高斯公式计算曲面积分(y—z)xdydz+(x—y)dxdy

£

其中E为柱面x2+y2=l及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域Q的整个曲面的外侧。

解:由于P=(y・z)x,Q=O,R=x・y

apSQ八虫=。

又——=y—z—=0

dxdy&

由高斯公式有

浜y_z)xdydz+(x-y)dxdy

=JfJ(y-z)dydz

Q

=JJJ(psin8-z)pdpd0dz

_9万

一一5

222

例2计算曲面积分jj(xcosa+ycos+zcosy)ds

其中Z为锥面x**+y=z2介于z=0和z=h(h>0)之间的部分的F侧，cosa,cosB,cos

Y是2在点(X,y,z)处的法向量的方向余弦。

解：由于2不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，若设为x?+y2Wh2的上侧，则2

和H一起构成封闭曲面，由高斯公式得：

2

心(x?coscif+y2cos/3+zcosy)ds

X+E]

—2ffi(x+v+7^dv=2fidxdv「(X+V+7、〃7

而

n<x2coscif+y2cos+z2cos/)ds

%

=JJz2ds=^h~dxd=7ih4

jj(x2cosor+y2cosfl+z2cosy)ds

故z

=-7ih4—欣4=——7ih4

22

第三章无穷级数

一、常数项级数

例1证明级数1+2+3+__pn+...是发散的。

00

证明：如果级数£的部分和数列sn有极限s,即

n=l

limsn=s

〃一＞8

00

则称无穷级数收敛，这时极限s叫这级数的和，写成:

n=l

S=1+2+3H------Fn+•••

否则，若无极限，则称发散。

因级数l+2+3+.・・+nH—的前n项和为:

r-cn(n-1)

=l+2+3-i-----Fn=----------

2

而n(n-1)

limsnlim----------------00

n->oo>002

故所给级数是发散的。

例2判断级数的收敛性：

1111

---------F---------F-------------------------------------F…

1・22・33•4n•(〃+1)

解：由于级数的前nJ?和为[

1

S"=------1-----'-H--------------1--------1----------------------

"1*22»33•4n•(w+1)

122334nn+\

1

—I—._____■1

s

从而有:lrmn=lim(i一)二1

nfoo〃一>8n+\

故所给级数收敛。

二、常数项级数的审敛法

oo00

和。”都是正项级数,

设z

n=\

n