七级数学思维探究（16）平面直角坐标系含试卷分析详解

笛卡儿（），法国著名数学家、哲学家、思想家．迪卡儿的最大贡献是，建立以他的名字命名的迪卡儿坐标系，将过去对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来，他在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革，年出版的《方法论》一书成为哲学经典，这本书的个著名附录《几何》、《折光》和《气象》奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位．16．平面直角坐标系解读课标在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，从而坐标平面上的点与有序数对之间建立了一一对应关系，利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意：（1）理解点的坐标意义；（2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称点的坐标特征；（3）善于促成坐标与线段的转化．如果说数轴撞开了数形结合的“一线天”，那么直角坐标系则撞开了一片广阔的天地．问题解决例1（1）已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为________．（2）如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，那么，黑棋的坐标应该分别是________．试一试对于（1），由横纵坐标的联系建立方程．例2如图，一个粒子在第一象限内及、轴上运动，在第一分钟内它从原点运动到，而后它接着按图所示在轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个长度单位，那么，在分钟后这个粒子所处的位置是（）．A．B．C．D．试一试从寻找第一象限特殊点的坐标与运动时间关系入手．例3如果将点绕定点旋转后与点重合，那么称点与点关于点对称，定点叫做对称中心，此时，点是线段的中点，如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，点，，，…中相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，…对称中心分别是，，，，，，…且这些对称中心依次循环，已知的坐标是．试写出点、、的坐标．试一试在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．例4如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：，，，．（1）求此四边形的面积．（2）在坐标轴上，你能否找到一点，使?若能，求出点坐标；若不能，请说明理由．试一试对于（1），通过作辅助线把表示为常规图形面积的和差；对于（2），因点位置不确定，故需分类讨论．例5如图①，已知是一个长方形，其中顶点、的坐标分别为和，点在上，且，点在上，且．点在上，且使的面积为，的面积为，试求的值．解设点坐标为，，，，即．①同理，由，得，即．②解由①②联立的方程组得．棋盘上的数学例6下象棋是很多人喜爱的事，你知道象棋里充满着数学问题吗？如图①，象棋盘上有一只马，它跳七步能回到原来的位置上吗？若能，请给出一种跳法；若不能，请说明理由．分析与解不论怎么跳，马都不能回到原来的位置，理由如下：如图②，我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这只马所在的位置的坐标为．那么，马跳一步后的位置的坐标应为，这里的和只可能是，，，这四个数中的一个（想一想，为什么）．同样，跳第二步后，马所在的位置的坐标应为，这里的和也只可能是，，，．依此类推，跳七步后，马所在的位置的坐标为．如果这时马又回到原来的位置，那么有，．也即，将两式相加，有．由于上式中个数都只能取，，，，而且每一次跳的两个坐标之和不能为，，，和，因此，，，，，，这七个数只能取，，，．但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加的和为奇数，所以这样取出的七个数的和不可能等于．故马跳七步不可能回到原来的位置．数学冲浪知识技能广场1．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的坐标为，则点的坐标为________．2．已知点和关于轴对称，则的值为_______．3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第个点的横坐标为_______．4．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为，当时，点的横坐标的所有可能值是_______；当点的横坐标为（为正整数）时，________（用含的代数式表示）．5．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（）．A．B．C．D．6．如果点在第四象限，那么的取值范围是（）．A．B．C．D．7．线段在直角坐标系中的位置如图所示，线段关于轴对称，则点的对应点的坐标为（）．A．B．C．D．8．甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的个棋子组成轴对称图形，白棋的个棋子也成轴对称图形，则下列下子方法不正确的是（）．[说明：棋子的位置用数对表示，如点在]A．黑；白B．黑；白C．黑；白D．黑；白9．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点、处．（1）如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点的坐标为_______，点的坐标为________．（2）若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．10．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：（______，_______）；（______，______）；（______，______）．（2）写出点的坐标（是正整数）．（3）指出蚂蚁从点到点的移动方向．思维方法天地11．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中的正方形，，，…，每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形四条边上的整点共有________个．12．如图，正方形在坐标系中的位置如图，将正方形绕点顺时针旋转后，点的坐标为_____．13．如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．如的对应点是原点，的对应点是，的对应点是，那么的对应点的坐标是_______．14．若关于、的方程组的解为坐标的点在第二象限，则符合条件的实数的范围是（）．A．B．C．D．15．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：①．如；②．如；③．如．按照以上变换有：，那么，等于（）．A．B．C．D．16．设平面直角坐标系的轴以作为长度单位，的顶点坐标为，，，其中，若该三角形的面积为，则的值是（）．A．B．C．D．E．17．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，求两个物体开始运动后的第次相遇地点的坐标．18．在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连接、．（1）直接写出图中相等的线段、平行的线段；（2）已知、，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点、的坐标；（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由．应用探究乐园19．如图，是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点．点、、的坐标分别为，，，若点在梯形内，且，，求点的坐标．20．操作与研究（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点．点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，．如图①，若点表示的数是，则点表示的数是______；若点表示的数是，则点表示的数是______；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是_________．（2）如图②，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标．16．平面直角坐标系问题解决例1（1）、；（2）、例2D弄清粒子的运动规律，先观察横坐标与纵坐标的相同的点：，粒子运动了分钟；，粒子运动了分钟，将向左运动；粒子运动了分钟，将向下运动；，粒子运动了分钟，将向左运动，粒子运动了分钟，将向下运动，…，于是将有：点处粒子运动了分钟，这时粒子将向下运动，从而在运动了分钟后，粒子所在位置是，故选D．例3点与点重合，个点构成一个循环，，．，点与点坐标相同，为．例4（1）．（2）①当点在轴上，设，则，由，得或，，．②当点在轴上，延长交轴于点，过作轴于，设，，，．又，解得，．设，当点在点上方时，，，解得；当点在点下方时，，，解得，综上，，，满足题意．数学冲浪1．2．3．以最外边的正方形边上的点为准，点的总个数等于该正方形右下角（即轴上）的点的横坐标的平方．4．或；5．B6．D7．D8．C9．（1），，；（2）略10．（1），，；（2），；（3）向上11．提示：每个正方形四条边的整点个数为12．13．所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，且数对应点的坐标为，于是数对应点的坐标为，而，故对应点的坐标为．14．B15．B16．B17．因为长方形的边长为和，所以长方形的周长为．因为物体乙的速度是物体甲的倍，故相同时间内，物体甲与物体乙行的路程比为．（1）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇，此时相遇地点的坐标为；（2）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇．此时相遇地点的坐标为；（3）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在点相遇．此时甲