高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件1323直线与平面位置关系（3）直线与平面所成角

13.2.3直线与平面位置关系（3）学习目标1.了解直线和平面所成角的概念和范围；2.会求直线和平面所成角；3.了解三垂线定理及其逆定理情景创设DD1C1CAA1BB1直线AA1和平面ABCD是什么关系?直线A1B、A1C、A1D和平面ABCD的位置关系?直线A1B、A1C、A1D与点B、C、D它们又如何命名呢？情景观察：如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1数学概念pO自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。QACB一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。提出问题DD1C1CAA1BB1请指出直线A1B、A1C、A1D在平面ABCD的射影?情景观察：如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1AB、

AC、

AD问题1：直线A1B、A1C、A1D都是平面ABCD的斜线，它们的倾斜程度一样吗?问题2：用什么来刻画倾斜程度？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.直线和平面所成的角问题3：直线A1B、A1C、A1D与平面ABCD所成的角分别是哪些角?∠A1BA、∠A1CA、∠A1DA数学建构说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0°3.直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]aOPQ数学应用例1.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D解:连结BC1,交B1C于O,则在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O则BC1⊥平面A1B1CD,O为垂足.得A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.∠BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△BA1O中,A1B=BC1=2BO,得∠BA1O=30.∴直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角是30.数学建构求线面角的要点:(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含线面角的三角形,通常构造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.数学应用ABCA1B1C1D1D变1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;解:(1)∵A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则∠A1CB1为所求的线面角.在Rt△A1B1C中,即

A1C与平面B1BCC1所成角的正切值为数学应用ABCA1B1C1D1DO变2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1A

与平面A1BD所成角的正切值.解:取

BD的中点O,连结AO,A1O,过点A

作AE⊥A1O,垂足为E.∵AB=AD,A1B=A1D,E∴BD⊥AO,BD⊥A1O,则BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,即

A1A与平面A1BD

所成角的正切值为数学应用例2.已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.证明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.三垂线定理及其逆定理有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论：如果l⊥射影,则l⊥斜线;如果l⊥斜线,则l⊥射影.数学应用例3.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,则∠POA=∠POB=∠POC=90

,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点解:(2)由(1)得OA=OB=OC,到三角形三顶点的距离相等的点是三角形的外心.外数学应用例3.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.ABCPOa中点外解:(3)由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂课堂小结直线与平面所成角

注意线面所成角的范围是[0°,90°]斜线与平面所成角

注意线面所成角的范围是(0°,90°)三垂线定理：三垂线定理的逆定理：alPQA课堂达标1.若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为

.CDABC1D1A1B1答案：30ºE课堂达标3.

如图,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD

满足什么条件