高考数学高分秘籍平面向量含解析

平面向量1．向量e1→=（1，2），e2→=（3，4），且x，y∈R，xe1→+ye2→ A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】：向量e1→=（1，2），e2→=（且x，y∈R，xe1→+ye2→则（x+3y，2x+4y）=（5，6），∴&x+3y=5解得&x=-1∴x﹣y=﹣3．故选：B．2．已知向量a→=（λ，﹣2），b→=（1，3），若a→⊥（a→+ A．1 B．﹣2 C．l或﹣2 D．1或2【答案】C【解答】：∵向量a→=（λ，﹣2），b→=（1，∴a→+b→=（λ+∵a→⊥（a→+∴a→•（a→+b→）=λ（λ解得λ=1或λ=﹣2．故选：C．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.3．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.注：（1）共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.（2）若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．4．平面向量垂直的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则3．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→=a→，AD→=b→ A．13a→+23b→ C．﹣13a→+23b→【答案】C【解答】：如图所示，∵点E为CD的中点，CD∥AB，∴BFEF=ABEC∴BF→=23BE→，BE→=BC∴BF→=23(b→-故选：C．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．1．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.4．设向量a→与b→的夹角为θ，且a→ A．-35 B．35C．55【答案】A【解答】：∵向量a→与b→的夹角为θ，且∴b→=a→+2b→-则cosθ=a→⋅b→|a故选：A．5．若|a→|=|b→|=1，（a→+2b→）⊥a→ A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解答】：|a→|=|b→|=1，（a→+2b→可得a→2+2a→⋅b→=0，即：1故选：C．【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是夹角公式；二是坐标公式，主要应用有以下几个方面：（1）求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得；（2）求投影：向量在上的投影是；（3）若向量垂直，则；（4）求向量的模（平方后需求）.设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角：.注：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.1．已知是所在平面内一点，且，，则A．2 B．1C． D．【答案】C【解析】由题意得∴，∴，∴，故选C.【名师点睛】本题考查了平面向量的加减及数乘运算，解题的关键把多个向量的关系转化为两个变量的关系即可，类似“减元”思想.2．已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10)，若AP=AB+λAC(λ∈R)A．23 B．-C．32 D．【答案】B【解析】设点P的坐标为（x，y），所以AP→=(x-2，由AP→=AB→+λAC→，所以有（x﹣2，y﹣3）＝(2，2)+λ(5，7)，得：x=4+5λy=5+7λ，由点用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.3．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为A． B．1C． D．【答案】C【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，∵为边长为的正三角形，，∴，，∴.故选C．【名师点睛】本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算主要有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则；（2）三角形法则；二是坐标运算，通过建立坐标系转化为解析几何问题解答.向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．【注】求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答.②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→= A．34AB→﹣14AC→ C．34AB→+14AC→2．已知两个单位向量a→和b→夹角为60°，则向量a→ A．﹣1 B．1C．-12 D3．已知平面向量a→=（1，1），b→=（x，﹣3），且a→⊥b→，则|2a→ A．26 B．32C．35 D4．已知两个非零向量a→，b→互相垂直，若向量m→=4a A．5 B．3C． D．25．若向量AB→=(12，3 A．12 B．32C．1 D6．设a→，b→是单位向量，则“a→•b→＞0”是“a→ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°，则 A．23 B．22C．4 D．28．已知点G是△ABC内一点，满足GA→+GB→+GC→=0→，若∠BAC=π3，AB→•AC A．33 B．22C．63 9．在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=3，D是△ABC所在平面上的一点．若BC→=3DC→，则DB→• A．﹣1 B．﹣2C．5 D．910．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA A．﹣15 B．﹣9C．﹣6 D．011．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD→+AE→=x A．32 B．2C．52 D12已知平面向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=13.已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|=2，|b→|=1，则|a14.与向量a→15．已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足AG→=xAM→+yAN→，其中x+y=1，若AM→=3416.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知a→=(cosA，cosB)，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积S△ABC=317.已知向量a→=(2（1）若角α的终边过点（3，4），求a→•b（2）若a→∥b18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c=52（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若AB→⋅AC→=a→=（cosx，﹣1），b→=（3sinx，﹣12（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点(A，12)，b、a、c成等差数列，且1.【答案】A【解答】：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→﹣AE→=AB→﹣12AD→=AB→﹣12×12故选：A．2.【答案】D【解答】：两个单位向量a→和b→夹角为可得a→•b→=1×1×12（a→﹣b→）•a→=a→2﹣a→•b→向量a→-b→在向量a→方向上的投影为(故选：D．3.【答案】A【解答】：∵平面向量a→=（1，1），b→=（x，﹣3），且a→∴a→⋅b→=x﹣2a→+b→=（5，﹣1），|2a→+b故选：A．4.【答案】C【解答】：∵a→∴4a→+5b∵m→，n→共线即2a∴&2=4μ&λ=5μ故选：C．5.【答案】A【解答】：∵AB→=（12，∴BA→=（﹣1∴cos＜BA→，BC→＞=BA∴sin＜BA→，BC→＞=∴S△ABC=12×|BA→|×|故选：A．6.【答案】B【解答】：设a→与b→的夹角是因为a→，b→是单位向量，所以a→•b→＞0等价于由0≤θ≤π得，0≤θ＜π2，所以“a→•b→＞0”推不出“a→和反之，a→和b→的夹角为锐角得cosθ＞0，即得a→•b→＞0，所以“a→和b→的夹角为锐角”推出“综上可得，“a→•b→＞0”是“a→和b故选：B．7.【答案】D【解答】：向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，a→可得a→•b→=|a→|•|b→|•cos60°=1×2则|2a→-b→|=(2a→故选：D．8.【答案】C【解答】：∵点G是△ABC内一点，满足GA→+GB→+GC→=0→，∴G∴AG→=13（AB→+AC→），∴AC→2=19（AB→2+AC→2+2AB→•AC→）=19（∵AB→•AC→=12|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，∴AG→2≥∴|AG→|≥6故选：C．9.【答案】A【解答】：由题意建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（32，3设D（x，y），则BC→=(-3由BC→=3DC→，得(-32，332)=(92-3x，则DB→=(1，∴DB→•AD→=故选：A．10.【答案】C【解答】：由题意，BM→=2MA→，CN→=2NA→，∴BMMA=CNNA=2，∴又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，∴MN=7∴BC=37，∴cos∠OMN=OM2+MN2-ON2∴BC→•OM→=|BC→|×|OM→|cos（π﹣∠OMN）=37×1×（﹣27故选：C．11.【答案】D【解答】：设AD→=mAB∵B，D，E，C共线，∴m+n=1，λ+μ=1．∵AD→+AE→=xAB→∴1x+4y=12（1x+4y）（x+y）=则1x+4故选：D．12.【答案】12【解答】：∵|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=3，∴|a→|2+|b→|2﹣2a→•b∴a→在b→方向上的投影是a→故答案为：113.【答案】23【解答】：向量a→，b→的夹角为60°，且|a→|=2，|∴(a→+2b→)2==22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|a→+2b→|=214.【答案】(35，【解答】：与向量a→=(3，4)共线的一个单位向量=±a→|故答案为：(35，15.【答案】20【解答】：设BC的中点为D，则AG→=23AD又AM→=34AB→，即AB→=4∴x=49，又x+y=1，∴y=5∴59AN→=13AC∴S△ABCS△AMN=12AB故答案为：20916.【解答】：（Ⅰ）∵a→∥b→，∴（2c﹣b）•cosA﹣∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=sin（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即cosA=12又0＜A＜π∴（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴A=π3，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴a=1317.【解答】：（1）角α的终边过点（3，4），∴r=32+4∴sinα=yr=45，cosα=xr∴a→•b→=2sinα+sin（α+=2sinα+sinαcosπ4+cosαsin=2×45+45×22+=32（2）若a→∥b→，则即2sin∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1﹣sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角α=18.【解答】：（1）因为c=52b，则由正弦定理，得sinC=又C=2B，所以sin2B=