高等数学同济第七版第八章课后习题答案解析

第八章

向量代数与空间解析几何

，习题8-向量及其线性运算

1.Hu=a-b+2c,v--。+3力一c.试用".b.c表刃：2〃一3”.

解2u-3v-2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=5a-1+7c.

一2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向心证明它是平行四边形.

证如图8-I,设四边形A8C7)中,4C‘与8〃交于点V,已知4"二觉・万方=词.

故

AH=MB=MC+DM=DC.

即加DCQ.|Afi=IDC|.因此四边形"C'〃是平行四边形.

图8-1图8-2

43.把△4加；的小；边E等分，设分点依次为〃।•〃、,〃一再把各分点与点A连接•

IA以IH=c,B(：=aK示向h[〃J.〃2盛力1和4.

证如图8-2,根据题就知

/")；=；a,l)il)2=ga/)/八二ga1八I八=/%

故

/>i4=-(AH+〃〃])=一；a-c.

-

D2A=—(4//+lil)2)=-c.

->►——3

/7,4=-(AHf///>,)=-5"一

6一.《高等数学》（第七版）下册习题全解

Z12.求点”(4,-3,5)到各坐标轴的跖离.

解点M到K轴的距离</,=，(-31+-=，声.点1/到>轴的冲离人=

/y

“+5)=沟-，点V到；轴的距离八=v4-+(-3)=v'25=5.

y13.在yOz面上.求与三点.4(3.1.在，8(4.-2.-2)和C(0.5.l)等距离的点.

解所求点在yOz而上,不妨设为/>(0.>.：).点”与：.立1.。年：距离.

|PA|=/3J+(>-1)2+(Z-2)2.IPB|="+(y+2)2+(二+2尸.

iPC।=/(>--5)2+mr*.

由|再J|=I湘I=I元|知

/32+(y-l)2+(z-2)2=J*+(『+2尸+(Z+2)2=y(.r-5)2+(x-I)2.

即

r9+(.r-l)'+(j-2)2=l6+(»+2)2+(:+2)\

(9+(y-I尸+(z-2)?=(>-5)2+(:-1)，.

解匕述方程组.得>=1,z=-2.故所求点坐标为(0.1.-2).

214.试证明以三点4(4.1.9),8(10.-I.6).C(2.4.3)为顶点的:用杉是等腹行的

三角形.

证ill|4B|=/fl(口F+(-I-I尸+(6-9)，=7.

|4C|=7(2-4):+(4-I)2+(3-95'=7,

7:

|HC|=7(2^10)-T(4+I),+(3-6)=vOS=7、？

知|—|=|而I及I应I2=IAllp+I\CI2.AkAW为"reriffifftH

Eal5.设已知两点和1八(3.0二).计。向廿1小/：的乩〃|，，|余以和h

向角.

解向一

W,I/；=(3-4.()-/2.2-I)=(I.、：.11.

10一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

(1)(a•h)c-(a•c)b；(2)(a+b)x(^+c)；(3)(AxA)•c.

解(I)a・b=(2.-3,1)・(I,-1,3)=8,a・c=(2.-3J)-(1,-2.0)=8.

(a-b)c-(a-c)b=8(1.-2.0)-8(lt-l,3)=(0,-8,-24)

=-8J-24k.

(2)a+b=(2.-3,l)+(l,-l,3)=(3.-4.4).

b+c=(l,-1.3)+(l,-2,O)=(2,-3.3).

(a+b)x(6+c)=3-44=(0.-!,-!)=-j-k.

2-33

2-3I

(3)(axh)•c-I-I3=2.

I-20

10.已知山=i+3A,7甫=j+3A,求△OAH的面积.

解由向圻积的几何意义知

5IxOB.

04xO/j=103=(-3.-3」)，

()13

|04|=/(-3)2+(-3)2+1=/19.

故

EaTL已知。=（%,%.，，：）♦=（/>,.A.,//..）,c=（J』.q）,试利用行列式的性质

证明：

{axb)•c=(^xc)•a=(cxa)•b.

1%%%,IAh

证因为(axb)・c=h、，,b：,(bxc)•a-Jjr..

|%c,%%〃J

而由"列式的性质知"h、h=J<\<•..="、明”.卜故

J”,叫“h、4A

(axb)・c=(〃xr)•a(rxn)•h.

第八章向量代数与空间解析几何13

(2.-2,1)・(1.0.0)二2

cos协=cosa=

l〃ll“3­II,

〃・j(2.-2.1)•(0J,0)2

COSOy=COSP=

〃;DT=J

*6一平面过点(l・0°-I)且平行于向号:a=(2.l,l)和b=(l,-1,0),试求这平面

方程.

解所求平面平行于向址。和以可取平面的法向盘

iJk

naxb=211=(1.1,-3),

I-10

故所求平面为I-(x-l)+i-(»-0)-3・(z+1)=0,即

x+y-3z-4=0.

47.求三平面一3,+2=1,247-2=0,7+2》+2?=3的交点.

解联立三平面方程

X+3y+z=1.

,2x-y-z=0,

-x+2y+2z=3.

解此方程组得x=l,>=-l.z=3.故所求交点为(1.-L3).

28.分别按下列条件求平面方程:

(1)平行于x1面且经过点(2,-5,3)；

(2)通过二轴和点(-3,1,-2)；

(3)平行于,轴且经过两点(4,0.-2)和(5.1.7).

解(I)所求平面平行于“)z面,故设所求平面方程为为+〃=0.将点

(2.-5.3)代人，得

-5//+D=0,即D=5B.

因此，所求平面方程为

By+5B=0.即y+5=0.

(2)所求平而过？轴,故设所求平面方程为1+为二。.将点(-3.1,-2)代

人，得

-34+3=0,即8=34.

闪此,所求平而方程为

Ax+3Ay=0,即x4-3y=0.

(3)所求平面fJrF«轴,故设所求平皿方程为">+Cz+"=o.将点(4,

().-2)及(5,1,7)分别代人方程得

-2C+〃=0及+7C+I)=0.

D9

从而解得《：=>«=--D.

第八章向量代数与空间解析几何17

,,।12•I+4-(-1)+(-2)-(-I)I八

川“二I<•(>«(n,s)|=~~r：—p=-一:”■=0,

n222222

Is/2+4+(-2)/|+(-I)+(-I)

即p=0.

,10.试确定卜列各组中的fl线和平面间的关系：

,、、x+3y+43a.、­.

(1)——=——=—ftl4x-2y-2z=3；

-2-73

(2)-=彳和3,r-2y+7z=8；

5-Z/

(3)

解设直线的方向向盘为s.平面的法向所为”.江线与平面的夹角为小且

-Vl«T

(1)s=(-2.-1.3).n=(4.-2,-2),

|(-2)-4+(-7)•(-2)+3-(-2)|„

Mil(f>='"'.....................''''=U,

/(_2尸+(-7)2+32./42+(_2尸+(-2尸

即9=().故江线平行于平面或在平面上，现将在线上的点A(-3,-4,0)代人平面方

程.方程不成立.故点4不在平而上.，因此立线不在平面L,宜线与平面平行.

(2)s=(3.-2,7).”=(3,-2,7),由于s="或

|3•3+(-2)-(-2)+7-7|,

sin(p---------------------------------‘‘—=I,

732+(-2)2+72-/32+(-2)2+72

知故在线与平面垂直.

(3)s=(3,1,-4)刖=(1//),由于…=0或

|3•1+1•I+(-4)•I；„

sin中=——-------------------------=U,

/32+12+(-4)2-yp+12+12

知.=0,将。线上的点4(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即点4在平面上.故.

线在平面上.

%11.求过点(1,2.1)而与两宜线

fx+2y-z+!=0,和r2x-y=0,

1x-y+z-l=0[x-)+z=0

平行的平面的方程.

解两直线的方向向址为

/jkijk

$i=I2-I=(1,-2,-3),s2-2-II=((),-!,-!).

20一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

以1.一球面过原点及.4(4,0,0),8(I,3,0)和C(0.0,-4)三点.求球面的方程及球心

的坐标和半径.

解设所求球面的方程为(工-。)2+(丫-/,)2+(2-。)2=废，将已知点的坐标

代人上式.得

a2+b1+c2=R2,(1)

(a-4)2+62+c2=/?2,(2)

(a-1)2+(6-3)2+c2=/?',(3)

a2+A2+(4+r)2=R2.(4)

联立(1)(2)得"=2,联立(1)(4)得e=-2.将"=2代人(2)(3)并联立得6=

I,故K=3.因此所求球面方程为(x-2尸+(,-1"+("2)2=9.其中球心坐标为

(2,1.-2),半径为3.

邑2.建立以点(1.3,-2)为球心,旦通过坐标原点的球面方程.

解设以点(I,3.-2)为球心.K为半径的球面方程为

(x-1)3+(V-3)2+(工+2尸=K\

球面过原点,故

«2=(0-1)2+(0-3)2+(0+2):=14,

从而所求球血方程为(x-l)?+(”3)2+(：+2尸=14.

历i3.)1程*2+y2+/_2x+4y+2z=0表示什么曲面?

解籽已知方程整理成

(x-I)2+(y+2)2+(3+I)2=(#)\

所以此〃件衣加以(I,-2.-I)为球心,以yb'Ai'lif-的跳Ifii.

24求与坐标原点()及点(2,3.4)的印肉之比为I：2的点的个住所不成的曲面的h

第八章向量代数与空间解析几何27

*8.求旋转抛物面「二』+」(0这zW4)在三坐标加上的投影.

z=x2+V2,..

得X2+/=4.故旋转抛物面在xOy面上的投影为

{2=4

f.v2+y2W4,

|z=0.

如图8-17.

图8-17

22

联立「二’'得2=/，故旋转抛物面在面上的投影为由z=y2及z=4

[x=0

所围成的区域.

同理,联立「='+''得故旋转抛物面在％3面上的投影为由z=/及

1>=0

z=4所用成的区域.

总习题八

cal填空：

(1)设在坐标系中点4和点M的坐标依次为(%，%.%)和(3

y,z),则在"；i/A坐标系中，点M的坐标为,向W漏的坐标

为________；

(2)设数八।,A2.As不哈为0,使人।a+A?/>+A遥=0,则a,。.c三个向H是

______的；

(3)设a=(2,1,2),6=(4.-I,10),c=B-Aa」I.al.c.则A=_；

(4)设|a|=3.|ft|=4.|c|=5.IU^h!a+b+c=0MI|a*6+&xc+cxa|=

蒯⑴点”的坐标为->o，z-zo)，向依漏的坐标为(，f>+

34一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

所求直线平行于平面3x-41+.10=0.故仃

3m-4n+p=0.(I)

乂所求宜线与宜线相交.故行

-I-(-I)3-00-4

1I2=0.

mnp

即10/n-4/i-3p=0.(2)

联立(1)(2)式可得

一16=—19=一28.

mnp

因此所求H线方程为

x+I_y_z-4

16=19=2«'

X-X.V-V.Z-2[X-X->\-V,3-J

注若两在线，：——!■==>!■=-Lj——U--=-ftlz.W')/,'j/.

m\n\P\叱〃2P2

必共面,故

%%•(%X$?)=0.

卜-A)2-->l灯—I]

即有叫n,/),=0.

m2n2Pi

Sa19已知点4(1.0.0)及点8(0.2.1).试在：轴上求-点C.使△\BC的面积最小.

解所求点位T:轴，设其坐标为c(o,0.).由向hi的几何♦义.

设/（?）=5/-2:+5,则由/'（力=10--2=0*；.因/[；）=I。＞O.Ak-i

:={时，△”"：的1（11枳取得极小俏.IIILJI点呻.故"i；=；.即（：的t标为

第八章

向量代数与空间解析几何

，习题8-向量及其线性运算

1.Hu=a-b+2c,v--。+3力一c.试用".b.c表刃：2〃一3”.

解2u-3v-2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=5a-1+7c.

一2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向心证明它是平行四边形.

证如图8-I,设四边形A8C7)中,4C‘与8〃交于点V,已知4"二觉・万方=词.

故

AH=MB=MC+DM=DC.

即加DCQ.|Afi=IDC|.因此四边形"C'〃是平行四边形.

图8-1图8-2

43.把△4加；的小；边E等分，设分点依次为〃।•〃、,〃一再把各分点与点A连接•

IA以IH=c,B(：=aK示向h[〃J.〃2盛力1和4.

证如图8-2,根据题就知

/")；=；a,l)il)2=ga/)/八二ga1八I八=/%

故

/>i4=-(AH+〃〃])=一；a-c.

-

D2A=—(4//+lil)2)=-c.

->►——3

/7,4=-(AHf///>,)=-5"一

第八章向量代数与空间解析几何7

片模T7,V；=--1尸+(=z其方向余弦分别为

।a在।

cosa=——,cosp--不,cosy~

L22

力向ffj分别为a=q~iT，B=,y=:.

16.设向工；的方响余弦分别］满足(I)<,osa=0;(2)<,os口=1；(3)cosa=cosp=0,问这

蚱向危与坐标轴或坐标面的关系如何？

匚(1)ill">、a=0知a=*，故向属与x轴垂直，平行于y()z面.

(2)由cus0=I知S=。,故向一与)轴同向.垂直于x()z面.

(3)由eosa=<-<»万=()知a=3=：,故向；”庭I*［于x轴和,轴，即与z轴平行,

币H于面.

17.设向献，的模是4.它与"轴的夹角是个•求r在u轴上的投影.

解已知r=4,Prjur=r|<<>s(f=4•cos^-=4x=2.

I«响/的终点作点8(2,-1,7),它在*釉、)轴和二轴I：的投影依次为4,-4和

7.求这向何的起点4的坐标.

解设4点坐标为(x,J.z),则

诵=(2-x,-l_yj_z),

由题意知

2-x=4.-I-y=-4,7-z=7.

故x=-2,1=3.z=0•因此,4点坐标为(-2.3,0).

19.设m:3i+5j+XA.〃-2i-4j-1k和p=5i+J-4A.求向1/a=4m+3〃-pftx

轴I的投影及在y轴上的分向ht.

a=4m+3w〃=4(3i+5/+8A)+3(2i-V-〃)-(5i+j-4A)

=13；+7；+I5A.

a作t轴的投影为13,/Ey轴I的分向.为7j.

数量积向量积*混合积

设a=3i-j-2A,6=i+2/-4,求

(I)«­/>/iaXA；(2)(-2a)-及"x2Z»；(3)”/的夹角的余弦.

献(I)a-A=(3.-1.-2)•(1.2.-I)

=3xl+(-l)x2+(-2)x(-l)=3,

10一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

(1)(a•h)c-(a•c)b；(2)(a+b)x(^+c)；(3)(AxA)•c.

解(I)a・b=(2.-3,1)・(I,-1,3)=8,a・c=(2.-3J)-(1,-2.0)=8.

(a-b)c-(a-c)b=8(1.-2.0)-8(lt-l,3)=(0,-8,-24)

=-8J-24k.

(2)a+b=(2.-3,l)+(l,-l,3)=(3.-4.4).

b+c=(l,-1.3)+(l,-2,O)=(2,-3.3).

(a+b)x(6+c)=3-44=(0.-!,-!)=-j-k.

2-33

2-3I

(3)(axh)•c-I-I3=2.

I-20

10.已知山=i+3A,7甫=j+3A,求△OAH的面积.

解由向圻积的几何意义知

5IxOB.

04xO/j=103=(-3.-3」)，

()13

|04|=/(-3)2+(-3)2+1=/19.

故

EaTL已知。=（%,%.，，：）♦=（/>,.A.,//..）,c=（J』.q）,试利用行列式的性质

证明：

{axb)•c=(^xc)•a=(cxa)•b.

1%%%,IAh

证因为(axb)・c=h、，,b：,(bxc)•a-Jjr..

|%c,%%〃J

而由"列式的性质知"h、h=J<\<•..="、明”.卜故

J”,叫“h、4A

(axb)・c=(〃xr)•a(rxn)•h.

14一、《高等数学》（第七版）下册习题全集

因此，所求平面方程为

9I)

-+-z+〃=0.

即9>-z-2=0.

的9.求点(1.2,1)到平面x+2)+2?-10=0的距离.

解利用点如(*04().%)到平面加+向+G+"=0的距离公式

d_I-4xn+By0+Cz0+I)|

J*+h

|1+2-2+2T-10|_I-3|_

"+2?+2『=3

空间直线及其方程

&L求过点（4,-1.3）且平行于宜线三=十=?的宜线方程.

解所求直线与已知在线平行.故所求1*1线的方向向hts=（2.1,5）,江线方程

即为

x-4_1+11-3

亍=!"T-=~5~'

la2.求过两点多(3,-2,1)和%(-1,0,2)的直线方程.

解取所求有线的方向向盘

s=j=(-I-3,0-(-2).2-1)=(-4,2,1).

因此所求在线方程为

x-3_y+2:-1

-42=~1~

a3.用对称式方程及参数方程表示直线

AC-y+z=1.

)2x+)+z=4.

解根据题意可知已知直线的方向向以

iJA

s=I-II=(-2.1.3).

2II

取、=0.代入在线方程得［斛用।=:•二:：.这打就用利线”过

Iy+z=4.~-

的点卜）囚此H线的对称式方程为

第八章向量代数与空间解析几何17

,,।12•I+4-(-1)+(-2)-(-I)I八

川“二I<•(>«(n,s)|=~~r：—p=-一:”■=0,

n222222

Is/2+4+(-2)/|+(-I)+(-I)

即p=0.

,10.试确定卜列各组中的fl线和平面间的关系：

,、、x+3y+43a.、­.

(1)——=——=—ftl4x-2y-2z=3；

-2-73

(2)-=彳和3,r-2y+7z=8；

5-Z/

(3)

解设直线的方向向盘为s.平面的法向所为”.江线与平面的夹角为小且

-Vl«T

(1)s=(-2.-1.3).n=(4.-2,-2),

|(-2)-4+(-7)•(-2)+3-(-2)|„

Mil(f>='"'.....................''''=U,

/(_2尸+(-7)2+32./42+(_2尸+(-2尸

即9=().故江线平行于平面或在平面上，现将在线上的点A(-3,-4,0)代人平面方

程.方程不成立.故点4不在平而上.，因此立线不在平面L,宜线与平面平行.

(2)s=(3.-2,7).”=(3,-2,7),由于s="或

|3•3+(-2)-(-2)+7-7|,

sin(p---------------------------------‘‘—=I,

732+(-2)2+72-/32+(-2)2+72

知故在线与平面垂直.

(3)s=(3,1,-4)刖=(1//),由于…=0或

|3•1+1•I+(-4)•I；„

sin中=——-------------------------=U,

/32+12+(-4)2-yp+12+12

知.=0,将。线上的点4(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即点4在平面上.故.

线在平面上.

%11.求过点(1,2.1)而与两宜线

fx+2y-z+!=0,和r2x-y=0,

1x-y+z-l=0[x-)+z=0

平行的平面的方程.

解两直线的方向向址为

/jkijk

$i=I2-I=(1,-2,-3),s2-2-II=((),-!,-!).

第八章向量代数与空间解析几何

程，它表示怎样的曲面？

解设动点坐标为(*,).:),根据题意有

/(一0)2+"0)2+(z-0)2二］

+(>-3产+(Z-4)22，

化简整理得

卜+,)'+(>+1”+卜+&『=信制：

它表示以(-I,-寺)为球心，以q■网为半径的球面.

&5.将x()：坐标面上的抛物线/=5x绕X轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

解以代替抛物线方程J=5x中的z,得

(±y/y2+!2)2=5x,

即/+?=5x.

注x〃z面上的曲线广(x.z)=0绕X轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

F(x.±分+J)=0

-6.将x()z坐标面上的/X2+/=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

ft?以士/rrJ-代替圆方程/+/=9中的x,得

(土，/+y2)2+J=9,

即x2+y2+z2=9.

47.将箱〉坐标面上的双曲线4/-9/=36分别绕x轴及>轴旋转一周，求所生成

的旋转曲面的方程.

解以代杵双曲线方程4/-9/=36中的y,得该双曲线绕K轴旋转

一周而生成的旋转曲面方程为

4/-9(士——+J-=36.

即4x2-9(y2+?)=36.

以代科双曲线力•程4x2-9/=36中的x,得该双曲线绕，轴旋转一周

而生成的旋转曲面方程为

4(-9/=36,

即4(x2+z1)-9y2=36.

8.1岫出F列各方程所收小的曲曲：

⑴卜-］『+/=(罪；⑵一:+「1;

r22

(3)—+—=I；(4)y2-z=0；(5)z=2-x'.

94

28一、《高等数学》(第七版)下册习题全解

*0->0+>0，飞+飞)=(f，z)•

(2)由(入I。++入3c)Xb]•C=0得(。Xb)・C=0,即a.b,cJtjfl].

(3)c=£F-Aa=(4,-IJ0)-A(2.l.2)=(4-2A.-l-Aj0-2A).

aJ.c,故。•c=(2,1,2)•(4-2人.一I-入.1。-2人)=27-9入=0.从而八二3

(4)由(a+b+c)xb=0知axb+cxb=0,即ax/>=bxc；

由(a+b+c)xa=0)31/>xa+cxa=0.l!|laxb=cxa.

又,由|o|2+|b|J|c|2知以向为边的三角形为在角鹏彬.目

alb.故

axb+bxc+cx"'=3；axb=3absin(a,b)

=3x3x4xI=36.

&2.下列两题中给出了四个结论,从中选出一个正确的结论：

x-1+Z=1.

(1)设红线/.的方程为则A的参数方程为();

2x+、+2=4.

X=I-2/.,A=I-2i,x=I-2/

(A)y=1+/.(B)y=-1+，.(C)(0)

z=1+3/z=I+3/z=1+3/;=I+3/

(2)卜列结论中.错误的是().

(A)工+2/+/=0衣示饰阿地物面

(B)/+2/=1+3z2表示双叶双曲面

(C)/+y2-(1-1尸=0表示圆锥面

(D)y2=5x表示抛物柱面

解(I)应选(A).直线Z.的方向向W为s=(-2.1.3).过点(1.1.1).

(2)应选(B).『+2/=I+3/衣示单叶双曲面.

&3在)轴上求与点4(1.-3.7)和点8(5.7,-5)等距离的点.

解根据题意，设所求点为W(0.>.0).由

1’+(y+3)2+7)=5?+(,-7)2+(-5尸.

得y=2.故所求点为W(0,2.0).

后4巳知△HBC的顶点为A(3.2.-I).8(5.-4.7)和C(-I.I.2).求从顶点，所用

中线的尺度.

解设48中点的坐标为(v0

3+52-47-I

2

从而顶点(：所用中线的K度

</=/(4+I)2\(-I-I尸♦(3-2)'=、30.

£5.没△AIM：的..边H(：=a,(：\=机市=r.边中点依次为〃.乩儿试用向Ha.b.c

第八条向量代数与空间解析几何35

/)・。・；)时.5乙.最小.

2//

一2”求曲线「二"-''，在三个坐标面上的投影曲线的方程.

b=(x-1)2+(y-l)2

解在「二2-'二、'，中消去z,得2-/=(x-l)2+(y-l)2,即

U=(.r-l)2+(y-l)2

v"+i*-x-y=0.

为曲线在xOy面上的投影曲线方程.

{2=0

在「二2-''，中一去，，得2=(X-1-+(±/2-/-z-l)2,即

U=(X-1)2+()-1)2

r2x2+2xz+z2-4x-3z+2=0,

2J+2x:+J-4x-3z+2=0,故为曲线在x()z面上

ly=o

的投影曲线方程.

同理.可得，~~".一-'它就是曲线在yOz面上的投影曲线

方程.

21求/面二=〃2+>2与柱与Z?=2］所围立体在三个坐标面上的投影.

斛在「“丁+丁’中消去Z.得2.3/♦/即(一］)2+>2=］,故立体在期.

2

\：=2x

r(x-l)2+y2^l,,,

面上的投杉为(如图8-2。)・

［z=0