2023-2024学年湖南省衡阳高二（上）期末数学试卷

衡阳市2022级高二期末试题数学命题人：审题人：请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.已知为虚数单位，且，则（）A. B. C. D.3.在等差数列中，若，则（

）A．12 B．18 C．6 D．94.在的展开式中，的系数为（

）A．8 B．10 C．80 D．1605．已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．96．有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是()A．960 B．720 C．480 D．2407．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方程表示的图形是圆 B.椭圆的离心率C.抛物线的准线方程是 D.双曲线的渐近线方程是10.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是()A.q＝2B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列11.如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.B.当时，点到平面的距离为1C.是定值D.与所成的角可能是12．已知函数，则（

）A．当时，在处的切线方程为B．当时，单调递增C．当时，有两个极值点D．若有三个不相等的实根，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的横线上）13.已知，则．14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则.15．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是．(用分数表示)16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为..四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。）17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，则△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c．18．已知等差数列和正项等比数列满足：，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求．19.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．20.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.21．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.22.已知函数.(1)若有两个极值点，求实数的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：.衡阳市八中2022级高二期末试题数学命题人：李瑶刘容审题人：刘慧英请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求出集合，然后利用集合的交集运算即可求解.【详解】由题意得，因为，所以，故D项正确.故选:D2.已知为虚数单位，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按复数的除法进行运算即可.【详解】由题意：.故选：B.3.在等差数列中，若，则（

）A．12 B．18 C．6 D．9【答案】D【解析】因为等差数列中，所以，所以.故选：D.4.在的展开式中，的系数为（

）A．8 B．10 C．80 D．160【答案】C5．已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.【详解】∵，，，∴（当且仅当即，时取“=”）.故选：C6．有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是A．960 B．720 C．480 D．240【答案】A【解析】先把丙,丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲,乙两人插空，由分步计算原理计算出结果．【详解】第一步，先把丙,丁两人绑定，有种方法；第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空；第三步，把甲,乙两人，插入5个空中，有种方法，由分步计算原理可知：有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A．【点睛】本题考查了分步计算原理、排列有关知识．本题涉及到绑定法、插空法．7．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知，设，则，可得，即，所以，则，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：D.

8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.【详解】设，，所以函数在上为增函数．由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以，即故选：B．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方程表示的图形是圆 B.椭圆的离心率C.抛物线的准线方程是 D.双曲线的渐近线方程是【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；对于D选项，，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.故选：BC10.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是()A.q＝2B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列答案ABC解析因为{an}为等比数列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2).))又公比q为整数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))即an＝2n，Sn＝eq\f(2×（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，故A正确；对于B，因为Sn＋2＝2n＋1，所以eq\f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq\f(2n＋2,2n＋1)＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，lgan＋1－lgan＝lg2，即数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故D错误.故选ABC.11.如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.B.当时，点到平面的距离为1C.是定值D.与所成的角可能是【答案】ABC【解析】【分析】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，，计算，可判断A；假设与所成的角是，则，求解可判断B；计算，可判断C；当时，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D.【详解】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，则，，所以，则，故A正确；因为，，所以，若与所成的角是，则，即，整理得，得，与矛盾，故D错误；，，所以为定值，故C正确；当时，，，，，设平面的法向量为，由令，则，，，点到平面的距离，故B正确.故选：ABC.12．已知函数，则（

）A．当时，在处的切线方程为B．当时，单调递增C．当时，有两个极值点D．若有三个不相等的实根，，，则【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判断A；当时，即可判断B选项；当时，有两个不同的零点，即可判断C选项；由得到是的一个根，当时，由得，然后根据的奇偶性可得，即可判断D选项.【详解】，当时，，，，所以切线方程为，故A正确；令，可得，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，则，即当时，，单调递增，故B正确；当时，，当时，，，所以当时，与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的变号零点，所以时，有两个极值点，故C正确；因为，所以是的一个实根，当时，由，可得，则直线与函数的交点的横坐标为，，设，又，所以为偶函数，图象关于轴对称，所以，所以，故D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：已知函数单调性求参数范围：①若单调递增，则；②若单调递减，则.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的横线上）13..已知，则．【答案】3【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果.【详解】，所以，故答案为：314．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.【详解】已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则，.故答案为：.15．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)记事件A：甲答对，事件B：乙答对，则有：P(A)＝P(B)＝0．7，P(AB)＝0．5，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.5,0.7)＝eq\f(5,7)．16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：因为为等腰梯形，，，所以，，可得，由余弦定理得，即，易知，所以，易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：此时，平面，易知，，记为外接球球心，半径为，由于平面，，因此到平面的距离，又的外接圆半径，因此外接球半径，即可得球的表面积为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。）17．17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，则△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，可得.即，所以整理得,即由故.18．已知等差数列和正项等比数列满足：，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求．【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则，消元得或（舍去），故，故.（2）由，则①②①②得：故.19.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见详解；（2）2.【分析】（1）利用空间向量证明即可；（2）利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则因为，分别是，的中点，所以，，所以，平面的一个法向量为，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离为，故点到平面的距离为2.20.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.【答案】(1)，甲、乙同时答对的概率为(2)【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程可解得，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．【详解】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得，则，，所以，每题甲、乙同时答对的概率为；（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.由题意得，，，，.设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.21．已知椭圆的