大学数学一教案140928修订版

北京八维研修学院

《大学数学》教案

初高中部分

2014年9月28日修订

【课程】大学数学（基础部分）

【模块】一、数与式

【单元】D1数与式

【教学目标】

1.通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；

2.借助数轴掌握相反数，绝对值的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系；.

3.掌握倒数的概念与实数的加减乘除、乘方混合运算与其运算律.

4.掌握二进制与十进制的转化。

【教学重点】

数轴的认识与实数的加减乘除、乘方混合运算.

【教学难点】

绝对值的概念与运算.

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法.

本节课由生活中的真实例子导入新课，引入数轴的概念.充分利用数轴讲解其它相关概念。

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

温度计是我们日创设问题情

温度计20：常生活中用来测量温境,激发学生学

度的重要工具，你会习热情，发现生

15-

读温度计吗？请你尝活中的数学.通

试读出温度计所表示过问题，学生感

II

导的温度？受到点与数之间

的关系，从而由

入点表示数的感性

认识上升到理性

i认识.

一、1、由上述两问题得到什么启发？你能用一条直教师板书课题.学生在开放

线上的点表示有理数吗1的环境下，大胆

在讨论的基础上的发表自己的见

归纳：先画一条水平直线，在水平直线上取一点表动手操作，在操作的解.有的学生提

示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，基础上归纳出：可以出用射线上的点

新规定向右的方向为正方向，这就是数轴表示有理数的直线必表示有理数，但

须满足什么条件？有人反驳，射线

课是向一方延伸，

11111114而有理数是无限

-3-2-10123

的，应该采用直

线.同时学生还

2.正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大探索出，为了区

小？分正有理数和负

利用结论练习：比较下列每组数的大小，并说明理有理数，必须在

由.直线上先确定零

一2一点,即原点.同时

2与一一，5与-2

3还需要正方向以

3.2与-2有什么相同点与不相同点？它们在数轴上与像温度计刻度

的位置有什么关系？42与一2*,5与-5呢？一样的单位长

33度.

归纳：只有符号不同的两个数互为相反数

4.绝对值的定义：为了便于研究这个性质，我们规

新定：在数轴上，表示有理数a的点到原点的距离叫使学生通过

观察特例，总结

做数a的绝对值记作：同(几何定义).

出相反数的概

例1.(1)设及一斗与H+1互为相反数，求念，以与互为相

课反数的两数在数

尤+y+3。轴上的位置关

系，从数和形两

个侧面理解相反

(2)如果2一向与互为相反数，

数。

锻炼学生的

求必-2007。

口头表达能力以

二、5.实数的加法规则：与文字语言与数

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；学语言的转化能

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用力.

较大的绝对值减去较小的绝对值。

实数加法交换律：a+b=b+a

实数加法结合律：(。+〃)+C=。+S+C)

例2.计算

1、+3+8

2、-5+(-8)

3、-4+2

4、-5+6

6.实数的减法规则

减去一个数等于加上这个数的相反数

例2.计算

1>-1-6

2、7-17

7.实数的乘法规则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

实数乘法交换律：ab=ba

实数乘法结合律：①勿0=以历)

实数乘法分配率：(a+")c=ac+"c

例3.计算

1、(-2)X(-1)

4

2、(-1)X(-2)X(-3)

3、(-8.1)xOx|-19.6|

8.实数的除法规则

除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

例4.计算

1、…

24

2、3+(-2)

6

3、-2.5+—

8

三、9.乘方

正数的任何次嘉都是正数，负数的奇次第是负数，

负数的偶次幕是正数.

例5.计算

1,6-(-12)+|-(-3)|

2、3x(-4)+(-28)4-7

23

3、(-3)+(--)；

4

10.二进制与十进制的转化

基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，

然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相

加"法。

整数采用"除2取余，逆序排列"法

课堂练习：

1.将十进制数89转换成二进制

2.将十进制73转换成二进制

3.将二进制110000转换成十进制

4.将二进制转换成十进制

学生回答问题，

1.+3,-4,-1.5,0分别在数轴的什么位置

4动手训练

2.写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出

来，并比较其中三个负数的大小。

练

3.

习

(1)|3|=_____;(2)|1.5|=_____;(3)|-3|=_____;

(4)|-1.5|=_______;(5)|0|=______-

1.认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；共同回顾本节主简洁明了概

要内容，加深理解.括本节课的重要

2.掌握相反数，绝对值的概念，知道互为相反数

知识.

的一对数在数轴上的位置关系；.

小

.倒数的概念与实数的加减乘除、乘方混合运

结3

算与其运算律.

4.二进制与十进制的转化。

2标记作业.针对学生实

1.计算(—48)4-8-(--)X6

3际，对课后书面

作业实施分层设

置，安排基本练

23

2.计算42义(―)+(--)4-0.25习题。

34

3.计算(-2)3+7-(-1)

作

业

4.将十进制数79转换成二进制

5.将二进制数101001转换成十进制

【课程】大学数学(基础部分)

【模块】一、数与式

【单元】D2平方根与多项式

【教学目标】

1.掌握平方根与算术平方根，单项式与多项式的定义与运算.

2.培养学生逆向思考问题的能力.

3.培养学生勤奋、严格的学习习惯.

【教学重点】

平方根与算术平方根，单项式与多项式的运算.

【教学难点】

分母有理化.

【教学方法】

这节课主要采用教师带动小组思考、总结的教学方法.

本节课由编程导入新课，通过求平方的逆向思维引出平方根与算术平方根定义，通过商场购物实例引出

单项式与多项式的定义。然后在理解定义的基础上做运算，小组合作探讨区别与联系，体现教师引导，学生

小组合作思考的教学方法.

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

案例L某同学编程后，写出一个关于实数运算的教师分析解题的以前我们学过求

过程，得到一个数的平方，

导程序，若输入某一个数值后，则屏幕输出的结果现在我们逆向思

(1)32=9

为该数的平方.维来学习哪个数

入的平方是a,引出

(2)62=36

问(1)某同学输入了数字3后，则他的输出结果平方根的概念.

是多少呢？

(2)如果他的输出结果为36,则他输入的这

个数值是多少呢？

探究1教师板书课题.由实例的引

根据老师的引导和举例总结平方根的定义入，进而归纳出

一、平方根平方根的定义.

新如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方

根。0的平方根只有一个是0。负数没有平方根。

课一个正数有两个平方根，并且这两个平方根互为

相反数

.正(算数平方理)认识问题的一般

正数('规律：由特殊到

负〔

一般，学生很容

平方根〈00易接受.

负数无＜锻炼学生的

练习1求下列各数的平方根口头表达能力以

9与文字语言与数

(1)100(2)—(3)0.25

16学语言的转化能

25力.

(4)0.04(5)121(6)一

36通过探究问题，教

二、算术平方根师强调平方根有两个，

正数a的正的平方根叫做算数平方根我们用几它们互为相反数.算术

平方根只有一个，是正

表示，0的算术平方根是0。的.

练习2求下列各数的算术平方根

9

(1)25(2)0.64(3)—

100

149

(4)2-(5)1.44(6)—

481

新

练习3计算

⑴(可⑵⑻

课

⑶G回⑷(M

2J(-9>

(5))-J(-(76)T)”

探究2

给出下列各式，观察计算结果能得出什么结论？

V?xM=74x9=

(1)(2)学生分组合作探

究教师提出的问题.教设置本练习

716x725=716x25=

(3)(4)师在学生分组探究的其目的为了进一

过程中要注意巡视指步强化学生对二

725x736=725x36=

(5)(6)导.次根式运算的掌

三、二次根式的乘法教师引导学生一起握.

把二次根式的乘、除法

x

^^=4ab公式总结出来。

探究3学生体会数与字

给出下列各式，观察计算结果能得出什么结论？母转化思想.

师：我们怎么用字增加本例为

母来表示我们分析出学生顺利解答课

-x/44-V9=

(1)来的结论呢？后相关练习与习

题做基础.

V364-V25-

(2)方法：1.先给出一组能

V164-725=

直接开方（目的：引入

(3)

7100^-716=课堂回顾上部分知识）

(4)

2.再给出一组不能直接

V94-Y/TG=开方的（目的：与①比

(5)

较，引出问题）

四、二次根式的除法

石[a“套装等价连体衣”

忑%J1

练习44ala

V34-VsVs"?V6lb\b

(1)(2)

V24-V6V3V12

(3)(4)

练习5化简请同学分组完成

练习4,教师巡查指导.

学生完成题目后，

老师针对共性问题再

31

课（1）79（2）耳讲解.

1师：让学生思考练习5

（3）（4）V8

的分母根号怎样去掉.

教师引导学生做

案例1一种笔记本单价为a元，钢笔为b元，小一个题，然后让学生举

红买这种笔记本3本，钢笔2枝，问小红共花费一反三.

多少元？

五、单项式

由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式（单学生分组，采用小

个字母或者数字也是单项式）。组合作形式完成.

六、单项式系数

单项式中的数字因数

探究4

回顾因数

如：IX2=2式子中1；2都是这式子的因数

那同理：3Xa=3a式子中3；a也都是这式子的因

数

则3a它是一个单项式（单项式的系数是数字因数）

它的系数是3

七、单项式次数

单项式中所有字母的指数和

指数：〃'指L

练习6

判断下列各代数式是否是单项式。如果是，请指

出它的系数和次数。

①X+1；

新②一；

X

③储.

全体学生一起回

课④。答.

八、多项式

几个单项式的和

对比单项式与多

九、多项式的项项式（对比法）

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。一个

多项式含有几项，就叫几项式。（单独的数字是常

数项）

十、多项式次数先判定每个单项

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式式的次数。比较大小，

的次数。次数最高的为多项式

练习7的次数。

指出下列多项式的项与次数：

(1)3x-l+3x2(2)4x3+2x-2y2

(3)x3—x+1

(4)10X4+5-3X2老师找反应慢的

学生回答.

，1

(5)-9X2--X+7

3

(6)-5+612.5x

练习8

多项式-广工注V7厂用干口.

三次项二次项一次项常4长项

项的系数系数系数系数

多项式一2-507

多项式二031-8

多项式三2037

(1)分别写出上面三个多项式；

(2)写出多项式一的项与次数；

(3)写出多项式二的最高次项的系数。

1.平方根与算术平方根的定义与运算.师生共同回顾本简洁明了概

小2.单项式与多项式的定义与运算.节主要内容，加深理括本节课的重要

3.简单的分母有理化解.知识，学生易于

结理解记忆.

针对学生实

1.若2%-4与3m-1是同一个数的平方根，则求标记作业.际，对课后书面

作业实施必做、

m的值。选做设置，让学

生根据自身情况

适当选择.

作

2,计算64的平方根和算术平方根。

业

计算169的算术平方根。

4・计算256的算术平方根。

【课程】大学数学（基础部分）

【模块】一、数与式

【第3单元】D3整式的运算

【教学目标】

1.经历探索同底数幕乘、除法、幕的乘方与积的乘方运算性质的过程，进一步体会幕的意义，发展推理

能力和

有条理的表达能力。

2、了解同底数幕乘、除法、幕的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。。

【教学重点】

1、理解同底数幕乘、除法法则、哥的乘方与积的乘方运算性质与其推理过程、会用其进行计算。

【教学难点】

同底数嘉的乘法、幕的乘方、积的乘方的综合运算。

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法.

教学过程中，要让学生体会代数运算性质的发现与运用大多都是先特殊到一般，

再从一般到特殊的。教师要鼓励学生自己发现积的乘方和幕的乘方的运算性质，并要求他们会用自己的

语言进行描述，如：积的乘方等于每一个因数乘方的积。培养学生的语言转换能力。

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

细胞分裂图：

导时间（秒）个数

01=2°

入

12=2'

22

4=2由细胞分裂

引出幕的定义

38=2)

n2"

axaxaxaxa..二优（哥的定义）

n个

募的定义：N个相同因数a的乘积叫做乘方，

乘方的结果

案例导入：中国空军的新歼十战斗机近日试飞

成功，它每秒可以飞行1()3米，假如它飞行了

让学生演算详细的

1()6秒，问：它飞行了多少米？

计算过程，并引导

新学生说出每一步骤

103X106

的计算依据。

课=(10X10X10)X(10X10X10X10X10X10)引导学生归纳规

(乘方意义)律：底数不变，指

=10X10X10X10X10X10X10X10X数相加。

10(乘法结合律)

=109

知识1:同底数幕的乘法：

a"'»an=ani+n

课堂练习：

推导：屋."

1.38X39

-a-a......a-a-a........a

KY-'

----Y-----''----------2.45x47

n个

-a-a......a-a-a.......a

/

(m+n)个

=a，n+n(m,n为正整数)

同底数幕的乘法：底数不变，指数相加。

课堂练习：

1.计算3139

新

2.计算45、4'

这是和数学有密切

课3.计算(-2)打(-2)4联系的现实世界中

的一个问题，下面

请同学们根据幕的

4.计算3?X3-2

意义和除法的意

义，得出这个问题

案例导入的结果.

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验

某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发老师提问，

现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌.要将这是什么样的运算

1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀呢？

菌剂多少滴？你是怎样计算的？(通过上面的问

题，我们会发现同

12个10.底数塞的除法运算

而101・109="10xl0x-xlO

=和现实世界有密切

]0910xlO.…xlO

9不10的联系，因此我们

=iox10X10=1000（个）

有必要了解同底数

塞除法的运算性

根据题意，可得需要这种杀雨剂10^+109个.质.）

知识2：同底数幕的除法：（乘法的逆运算）

am^an=am-n

ni.tl课堂练习：

推导：a

2.3匕39

3.474-45

___V___J

a-a...脸a-a.......a

V-----V----->K-----Y----'

_K—'（m-n）个

课

a•施•…。

V------y------）

n个

、________

Vj

（m-n）个

=*'（m,n为正整数m>n）

同底数幕的除法：底数不变，指数相减。

课堂练习：

1.计算3-9

2.计算47-43

3.计算

4.计算（-5）、（-5-

师生共同完成

案例导入：

1、一个正方体的棱长是10cm,则它的体积是

多少？这就是说，暴

的乘方，底数不变，

2、一个正方体的棱长是102cm,则它的体积是指数相乘。注意：

(1)不要把哥的乘

多少？方性质与同底数塞

4的乘法性质混淆，

思考：100个10相乘怎么表示？又该怎么计暴的乘方运算，是

算呢？转化为指数的乘法

运算(底数不变)；

同底数幕的乘法，

师生共同总结规律，引出塞的乘方的定义是转化为指数的加

知识3：塞的乘方：法运算(底数不

变)。

(am)"=a'm

推导：

•d".....:a"

於

_.+jn

—a'""

师生总结：

累的乘方：底数不变，指数相乘。这就是说，积

课堂练习：的乘方，等于把积

的每一个因式分别

1.计算

乘方，再把所得的

幕相乘。

2.计算(3「)4

3.计算(55)7

引导学生用自己的

4.计算(63)3语言叙述所发现的

规律，允许学生之

探究：

间互相补充，教师

下列运算过程中用到了哪些运算律？运算结果

不急于概括

有什么规律？

1、(ab)2=(ab)(ab)=(aea)(b9b)=a2b2

(ab)三__________________________(根据乘方的意义)

=_________________________(根据乘法交换律、结合律)师生总结

=________________________(根据同底数幕相乘的法则)

两数和乘两数差，

等于两数平方差；

积化和，差变两项，

知识4：积的乘方：完全平方不是它。

(ab)n=a"b"

推导：(")"

=(a-a…a)•(b•b…b)

n>t*n不—

=anb"

课堂练习：

案例导入：

已知一个长方形的长为(a+b),宽为(a-b);问：

这个长方形的面积？

回顾：多项式的乘法法则(第一个多项式的每

一项与第二个多项式的每一项相乘)

探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的

运算形式与结果有什么规律吗

(1)(x+1)(x-l)=

(2)(m+2)(m_2)=

(3)(2x+l)(2x-l)=

知识点5：平方差公式：练习

(a+b)(a—b)=a2—b2(D(3x+2)(3x-2)

推导：(2)(b+2a)(2a-b)

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2(3)(-x+2y)(~x-2y)

思考：学校有一块边长为14m的正方形场地，

准备在四个角落各建一个边长为2m的正方形

喷水池，问：建完喷水池后场地剩余的面积？

知识点6：完全平方公式：

(a±Z?)2=a2+2ab+lx

推导：(a+加2

=(a+Z?)(a+Z?)

=a2+ab+b2

=a24-2ab+b2

(①首平方，尾平方

记忆口诀4②两倍乘积放中央

(同为正

、③中央符号看前方_

\同为负

知识点7：分母有理化

(将分母化成有理数)

整数C

有理数＜

分数、

课堂练习：对下列算式进行分母有理化

1.计算

2.计算

3.计算

4.计算

课后练习：

一、计算(募的混合运算)

1.33X362.56X54

3.7-2x754.(-2)2x(-

5.(32)3X346.44+甲

7.5-3田8.⑹了田

二、计算(平方差与完全平方)

1.(3tz+2b)x(3a-2b)

2.(括+3)x(6-3)

3.(T+扬x(正+4)

4.(-V7-V3)x(V7-V3)

5.(3a+2b)2

6.4/+8%+4

7.2/一2以+1

1.寨的定义;

小2.掌握同底数塞的乘除法、幕的乘方、积的乘

方的运算法则；

结

1.计算（一2）2*（-2）4

2.计算3?x3-2

3.计算3。+39

作

4.计算4,十4?

业

5.计算⑶）巾

6.计算（633一6一4

7.计算

8.计算

9.计算

【课程】大学数学（基础部分）

【模块】二、方程与等式

【单元】D4一元一次方程与二元一次方程组

【教学目标】

1.掌握一元一次方程的定义、一般形式、判定与其运算步骤.

2.掌握二元一次方程组的概念、解法与运算步骤。

3.培养学生灵活运用公式的能力.

4.培养学生勇于发现问题、勇于探索解决问题的方法、培养归纳总结的能力.

【教学重点】

一元一次方程与二元一次方程组的概念与解法。

【教学难点】

一元一次方程、二元一次方程组的判定与其运算步骤

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组pk的教学方法.

本节课综合一些实际问题讨论：如何根据实际问题列一元一次方程？如何解一元一次方程。

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

通过实例

某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2教师引入，让学生

导倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台分析解题得到一元一次

计算机？的过程，方程，从而有

入得到关于了列方程的思

X的一元路，进而思考

一次方如何解一元一

程.次方程？

一.一元一次方程的定义

只含有一个未知数，未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一

次方程。

新由实例的引

入，让学生记

课通过住一元一次方

二.一元一次方程的一般形式：导入实例，程的形式，

师生互动

ax+b=0(Qw0)观察方程

的特点，在

三.一元一次方程的判定由教师强对于oWO

1）只含有一个未知数调一元一这一点，学生

2）未知数的最高次数为1次方程的容易忽略，通

3）整式方程含义与特过讨论研究，

类型一