对数的概念（人教A版）

【新教材】4.3.1对数的概念（人教A版）

教材分析

对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性

质和恒等式解决一些与对数有关的问题.

教学目标与被心素养

课程目标

1、理解对数的概念以及对数的基本性质；

2、掌握对数式与指数式的相互转化；

数学学科素养

1.数学抽象：对数的概念；

2.逻辑推理：推导对数性质；

3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；

4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

教学重速息

重点：对数式与指数式的互化以及对数性质;

难点：推导对数性质.

课前发备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

敢学过程

一、情景导入

已知中国的人口数y和年头x满足关系y=13xL01，中，若知年头数则能算出相应的人口总数。反之,

如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿.....”，该如何解决？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本122-123页，思考并完成以下问题

1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？

2.什么是常用对数和自然对数？

3.如何进行对数式和指数式的互化？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.对数的概念

如果a'=Ma>0,且a#l),那么数x叫做以a为底儿的对数,记作x=log/其中a叫做对数的底数,

人叫做真数.

［点睛］log"是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写.

2.常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数称为自然对数,logiW可简记为地/logc#

简记为InN.

3.对数与指数的关系

若a>0,且a#l,则

对数恒等式：alog/=7V；logaa'=^(a>0,且a#l).

4.对数的性质

(1)1的对数为雯；

(2)底的对数为L

(3)零和负数没有对数.

四、典例分析、举一反三

题型一对数式与指数式的互化

例1将下列指数式与对数式互化：

(l)logi27=-3;(2)43=64;(3)e-1^;(4)10^4).001.

3e

【答案】(1吗)3之7.(2)log464^.(3)lni-1.(4)lg0.001=3

解题技巧：(对数式与指数式的互化)

1.log“N=6与/=N(a〉0,且a#1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图：

fTa>0,Xa^lJ,斯

---------------b=\ogaN

I+N>0s,

2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幕作为真数,指数作为对数,底

数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幕,对数作为指数,底数不变.

跟踪训练一

1.将下列指数式与对数式互化：

1

(1)2一2=±(2)102=100;(3)efl=16;

4

111

⑷log64『-§；(5)10gxy=z(x>0,且x#lj>0).

【答案】(l)log2i=-2.(2)logiolOO=2,Fp1g100=2.(3)logel6=a,?PIn16=a.

11

(4)64-3=(5)xz=y(x>0,且xW1,y>0).

题型二利用对数式与指数式的关系求值

例2求下列各式中x的值：

XX

(1)4=5•3;(2)log7(x+2)=2;

2

(3)Ine=x;(4)logx27=|;(5)1g0.01=x.

【答案】(1)x=log45(2)x=47(3)x=2(4)x=9(5)x=-2

3

【解析】⑴v4x=5-3x,・4=5,=5,Ax=log45.

3\o/3

(2)Vlog7(x+2)=2,Ax+2=49,Ax=47.

(3)VIne2—x,ex=e2,/.x=2.

332

(4),/log27=—,，xZ=27,；.x=27三=32=9.

2

(5)V1g0.01=x,/.10r=0.01=10-2,Ax-2.

解题技巧：(利用对数式与指数式的关系求值)

指数式@乂=^^与对数式x=logaN(a>0,且aWl)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系，因而已知其中两个

时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.

跟踪训练二

1.求下列各式中的x值：

(1)log2X亍⑵log216^¥；(3)logx273

【答案】(1)X=V2(2)x=4(3)x=3

【解析】⑴・・・log2X=|,・..x=25,・・.x二夜.

X4

(2)Vlog216=x,A2=16,.\2=2,Ax=4.

(3),.Togx27=3,；.乂3=27,即x3=31,；.x=3.

题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值

例3求下列各式中x的值：

log3

(1)ln(log2x)=0;(2)log2(lgx)=1;(3)3^=9.

【答案】(1)x=2(2)x=100(3)x=81

【解析】(1)；InQogzX)=0,二1082工=1,，x=2.

(2)Vlog2(lgx)=l,Algx=2,；.x=100.

⑶由3叱3五=9得6=9,解得x=8L

解题技巧：(利用对数的基本性质与对数恒等式求值)

1.在对数的运算中，常用对数的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵logj=0(a>0,aW

1)；(3)logaa=l(a>0,a#1)进行对数的化简与求值.

2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时，应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式

且aWl,N〉0)的结构形式：(1)指数中含有对数式；(2)它们是同底的；⑶其值为对数的真数.

跟踪训练三

1.求下列各式中x的值：

(I)ln(lgx)=l;(2)log2(log5x)=0；⑶32+1吨35r.

【答案】(1)x=lQe(2)x=5(3)x=45

【解析】(1)VIn(lgx)=l,/.1gx=e,/.x=10e；

(2),."Iog2(log5x)=0,log5x=l,

(3)x=32X3i°g35=9X5=45.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计