文科高考试题分类08立体几何

08立体几何

一、选择题

1.安徽3）.已知“，〃是两条不同直线，a,是三个不同平面，下列命题中正确的是省

（B）

A.若则J_y,aH（3B.若删mHn

C.若删〃d,ii/a,mnD.若删〃d,信/3,a/3

2.（」原8）如图，动点P在正方体ABC。—HAG，的对角线8,匕过点尸作垂直于

平面8片3。的直线，与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y，贝函数y=/（x）

的图象大致是（B）

3.（福建6）如图，在长方体ABC»A|B|C|D|中，AB=BC=2,AAt=\,则AG与平面A/B/GD

所成角的正弦值为（D）

到儿何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）

R2

5.（宁夏12）已知平面平面an〃=/，点Awa,A^l,直线48〃/,直线

AC，/,直线加〃a"刀夕，则下列四种位置关系中，不二室成立的是（D）

A.AB//mB.AC±mC.AB//pD.AC±/?

6.（湖南5）已知直线m,n和平面a,/?满足〃?_Lm_L/,则（D）

A.B.n//0,或nu/3C.n±aD/2〃a,或〃ua

7.湖南9）长方体ABC。-Aga，的8个顶点在同一个球面上，且AB=2,AD=JJ,

A4i=1，则顶点A、B间的球面距离是（B）

A.叵B.叵C.叵兀D.2叵兀

42

8.（江西9）.设直线机与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是（B）

A.在平面a内有且只有一条直线与直线机垂直

B.过直线加有且只有一个平面与平面a垂直

C.与直线机垂直的直线不可能与平面a平行

D.与直线机平行的平面不可能与平血a垂直

9.（辽宁12）在正方体ABCO—AgGA中，E,尸分别为棱A4「CQ的中点，则在空

间中与三条直线44，EF,CO都相交的直线（D）

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条

10.（全国Ill）已知三棱柱ABC-A/。］的侧棱与底面边长都相等，4在底面ABC内的

射影为△ABC的中心，则AB】与底面ABC所成角的正弦值等于（B）

1V2V32

A.-B.---C.--D.一

3333

11.（全国H8）正四棱锥的侧棱长为2JL侧棱与底面所成的角为60°,则该棱锥的体积

为（B）

A.3B.6C.9D.18

12.（全国n12）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的

公共弦长为2,则两圆的圆心距等于（C）

A.1B.V2C.73D.2

13.（山东6）右图是一个几何体的三视图,根据图中数据，八

斗A

可得该几何体的表面积是（D）

0一F一

俯视图正（主）视图侧（左）视图

A.9TIB.10K

C.1IKD.12兀

14.（上海13）给定空间中的直线/及平面a.条件“直线/与平面a内两条相交直线都垂

直”是“直线/与平面a垂直”的（C）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

15.（四川8）设M是球心。的半径OP的中点，分别过M,。作垂直于OP的平面，截球

血得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（D）

1|23

（A）-（B）-（C）-（D）-

4234

16.（四川10）设直线/u平面a,过平面a外一点A与/,a都成30°角的直线有且只有:

(B)

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

17.（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有•个内角为

60°的菱形，则该棱柱的体积等于（B）

(A)V2(B)272(C)372(D)472

18.（天津5）设a,b是两条直线，a,夕是两个平面，则a匕的一个充分条件是（C）

A.aLa,W,（3aL（3B.aLa,b\L/{5a0

C.QUa,bV/pa°D.aua,切，0al。

19.（浙江9）对两条不相交的空间直线。和。，必定存在平面a,使得（B）

（A）aua,bua（B）a<za.blla

（C）a±a,b±a（D）a<za,b±a

20.（重庆11）如题（11）图，模块①一⑤均由4个校长为1的小正方体构成，模块⑥由15

个棱长为1的小正方体构成.现从模块①一⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一

个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为（A）

模块①模块②模块③

18(")图

（A）模块①，②，⑤（B）模块①，③，⑤

（C）模块②，④，⑥（D）模块③，④，⑤

21.（湖北4）.用与球必距离为1的平面去截面面积为乃，则球的体积为（D）

A*c8不8缶

B.—

33

22.（陕西8）长方体ABC。-的各顶点都在半径为1的球面上，其中

=2:1:Ji,则两A,B点的球面距离为（C）

23.（陕西10）如图，aV/3,。自力弓/AeaBw/3A6至此的距离分别是。和b,

A8与。，，所成的角分别是。和夕,A8在a,，内的射影分别是机和〃，若a>b,则

(D)

A.0>(p,m>nB.0>(p,m<n

C.0<(p,m<nD.0<(p,m>n

二、填空题_

1.（安徽16）已知点A,S,C,。在同一个球面匕平面BCD,若48=6,

AC=2岳，AD=8,则B,C两点间的球面距离是—

3

2.（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为73.则其外接球的表面

积是,9兀

3.（广东15）（几何证明选讲选做题）已知P4是圆。的切点，切点为4,P4=2.AC是圆

。的直径，PC与圆。交于2点，PB=l,则圆。的半径/?=忑

4.（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.己知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上,且该六棱柱的高为V3,底面周长为3,则这个球的体积为____________.-Tt

3

5.（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦43、CO的长度

分别等于2近、46，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值

为.5

6.（辽宁14）在体积为4G兀的球的表面上有A、B,C三点，AB=\,BC=41,A,C两点

的球面距离为且兀，则球心到平面A8C的距离为.-

32

7.（全国I16）已知菱形A8CO中，A6=2,44=120°,沿对角线8。将△48。折起,

使二面角A—8。—。为120°,则点4到△8CO所在平面的距离等于.—

2

8.（全国n16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行,

类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①_________________________________________________:

充要条件②.

（写出你认为正确的两个充要条件）

两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形.

注：上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案，同样给分.

9.（浙江15）已知球O的面上四点A、B、C、D,DA_L平面ABC,AB1BC,DA=AB=BC=73,

9兀

则球O点体积等于o——

2

10.（天津13）若一个球的体积为46兀，则它的表面积为.12TT

三、解答题

［（安徽19）.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥。—A8CO中，底面A8CO四边长为1的

JT_

菱形，=—,OA_L底面ABC。，OA=2,M为OA

4

的中点。

（I）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（II）求点B到平面OCD的距离。

方法一（综合法）

(1)•：CDHAB,

...NMOC为异面直线AB与朋。所成的角(或其补角)

作AP1于P,连接MP

VOAZLCpjil-MIBCD,1

MD=VMA2+AD2=V2

/.cosNMDP="=NMDC=NMDP=-

MD23

TT

所以A8与〃。所成角的大小为一

3

(2)•.."〃冽点A和点B到平面OCD的距离相等,

连接OP,过点A作4。，。尸于点Q,

A.P1CD,OA1CD,CD1平面。AP,

A.Qu平面。"，AQ1CD

又A.Q1OP,A。_L平面。CO,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

OP=ylOD1-DP'=y/OA2+AD2-DP2=^4+l-1=,AP=DP=]

2农

.OAAP/22b,……g3田上心2

..AQ=-----------=—2=一，所以点B到平面OCD的距离为一

OP37233

士

方法二(向量法)

作AP1CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A(0,0,0),B(l,0,0),P(0,g,0),O(—,，乌,0),0(0,0,2),M(0,0,1),

222

Z

⑴设48与〃。所成的角为仇A

•.•丽=(1,0,0)诟=(一冬冬一1)*7\\

..，画国T…/,M\\

…”画画W""\\

I.A8与所成角的大小为?/\

⑵：丽=(。,*,-2),而=(—冬冬—2)~~

二设平面OCD的法向量为〃=(x,y,z),则“丽=0,"丽=0

—y-2z=0

即\23

V2V2

XHy-2z=()

2--2

取2=血，解得〃=(0,4,后)

设点B到平面0CD的距离为d，则d为0B在向量"=(0,4,72)上的投影的绝对值,

一\0B-n\2

V=(1,0,-2),：.d='..

同3

2

所以点B到平面OCD的距离为一

3

2.比京16)(本小题共14分)

如图，在三棱锥P—A8C中，AC=8C=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,PC1AC.

(I)求证：PCIAB；

(II)求二面角8—4P—C的大小.

解法一：

(I)取A6中点O,连结P。，CD.

VAP=BP,

PDA.AB.

•：AC=BC,

CDVAB.

•••PDC\CD=D,

.•.A3,平面PCO.

,/PCu平面PCD,

PCVAB.

(II)vAC=BC,AP=BP,

BPC.

又PCLAC,

PCIBC.

又ZAG5=90°,即ACJ.8C,且ACnPC=C，

BC,平面PAC.

取AP中点E.连结BE,CE.

•：AB=BP,BEA.AP.

•••EC是BE在平面PAC内的射影，

CELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

BE=立AB二娓,

在△BCE中，NBCE=90",BC=2,

2

sinNBEC=—=—

BE3

二面角8-AP-C的大小为arcsin——.

3

解法二：

(I)­：AC=BC,AP=BP,

:.△窿&BPC.

又PCJ.AC,

PCVBC.

•••ACfW=C，

.•.PC,平面ABC.

•••ABu平面ABC,

PCVAB.

(ID如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-盯Z.

则C(0,00),A(02Q)B(200).

设尸(0,0,f).

•/\PB\=IM=2V2,

:.t=2,P(0,02).

取4P中点E,连结BE,CE.

---\AC\=\PC\,|AB|=|BP|,

CELAP,BELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

v£(0,1L),EC=(0,-J-1),而=(2,—J—l),

\EC\\EB\V2V63

二二面角B-AP-C的大小为arccos

3.(福建19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—4BCC中，侧面底面

ABCD,侧棱以=尸。=后，底面ABCD为直角梯

形，其中BC//ADABA.AD,AD^2AB^2BC=2,O

为AD中点.

(1)求证:POJ•平面ABC。；

(II)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(III)求点A到平面PCD的距离.B

解法一：

(I)证明：在△力。卡中心=PO,。为4。中点，所以

又侧面B4O_L底面ABCD,平面B4OC平面ABCD^AD,POu平面PAD,

所以POJ_平面ABCD

(II)连结30,在直角梯形ABCQ中，BC//ADAD=2AB=2BC,

有OO〃BC且OO=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB//DC.

由(I)知POJ_OB,NPBO为锐角,

所以NPB。是异面直线PB与CD所成的角.

因为AC=2A8=28C=2,在Rtz^AOB中，AB=\,AO=\,所以。8=血,

在RtaPOA中，因为AP=JI,AO=\,所以OP=1,

在Rt△尸8。中，PB=y/OP2+OB2=V3,

,八0B6展

cosNPBO=—=-=^=—

PB63

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为—.

3

(IH)由(II)得CD=OB=V2,

在Rt^POC中，PC=y]0C2+OP2=V2,

所以PC=a)=QP,5APCD=-

4

又SZ\=LAZ)・AB=1,

2

设点A到平面PCD的距离力，

由VP-ACD-VA-PCD>

得—S&ACD*0P=-SAPCD,h,

33

nr,11V3

即一XIX1=-X二Xh,

332

解得/2=述.

3

解法二：

（I）同解法一,

（H）以。为坐标原点，。。、。。、。产的方向分

别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐

标系O-xyz.

则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),

D(0,1,0),P(0,0,1).

所以C£>=(-1,1,0),PB—(f,-1,-1),

8〈丽、3)=画①=浮=_"

PBCDJ3・423

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为—,

3

（III）设平面PC。的法向量为〃=（xo,yo/o），

由（II）知方=（-1,0,1）,CD=（-1,1,0）,

则Cn,CP=0,所以r-x0+x（）=0,

、〃•CD=0,1-x（）+）'o=O,

即xo=yo=x（）,

取xo=l,得平面的一个法向量为

又就=（1],0）.

AC•n

从而点A到平面PC。的距离d=-—=亍=-

nH733

4.（广东18）（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接

四边形，其中BD是圆的直径，ZABD=60°,ZBDC=45°

BAD.

⑴求线段尸。的长：

⑵若PC=JITR求三棱锥/M8C的体积.

解：（1）：8。是圆的直径

ZBAD=90°又ADP-BAD,

4GX3

ADDPDpAD^_一（孙in60。丫

:——^=3R;

BA~AD-BA—（BDsin30°）一

2Rx-

2

（2）在MBCD中,CD=BDcos45°=6R

PD2+CD2=9R2+2R2=1R2Tpe2

PDLCD又ZPDA=90°

PO_L底面ABC。

S^-AB8Csin（60"+451=。

ABBCC2''2（222214

三棱锥P-ABC的体积为

23

ABC=-^ASCPD=-^^-R3R=^^-R.

PABC

-3ABe344

5.（宁夏18）（本小题满分12分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视

图在下面画出（单位：cm）

（I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（II）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（HI）在所给直观图中连结BC',证明：BC'〃面EFG.

解（I）如图

....................................................................................................3分

（II）所求多面体体积

V=丫长方体态呈锥

=4x4x6——x—x2x2x2

3(2J

=等(cn?).......................................................

(Ill)证明：在长方体ABC。—AB'C'D'中,

连结AO',WiJAD'//BC'.

因为E,G分别为AA',A'。'中点，

所以4。'〃EG,

从而EG〃BC'.又BC'<X平面EFG,

所以BC'〃面EfG.12分

6.（江苏16）（14分）

在四面体ABC。中，CB=CD,ADLBD,且E、F分别是AB、BD的中点,

求证：(1)直线EF//面ACD

(2)面EFC±[fi|BCD

【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，

考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）,:E、F分别是AB、BD的中点，EF是4ABD的中位线，EF//AD

又EF<Z面ACD,ADu血ACDA直线EF//面ACD

EF//AD

(2)1BD

AD1BD

CB=CD

^=>CF1BD

F为西点

=BDL面CEF

>=>面肺C!BCD

BDu面BCD

CFC\EF=F

7.（江西20）如图，正三棱锥。-ABC的三条侧棱。A、OB、OC两两垂直，且长度均

为2.E、尸分别是48、AC的中点，”是的中点，过EP的平面与侧棱04、OB、

3

oc或其延长线分别相交于4、与、G，已知=万.

（1）求证:B£_L面。AH；

（2）求二面角。一4氏—G的大小.

解：（1）证明：依题设，EF是A4BC的中

位线，所以EF〃BC,

则EF〃平面OBC,所以EF〃B£。

又“是EF的中点，所以

则AH14G。

因为0AL08,OA±OC,

所以04上面08C,则04,用G，

因此81G_1_面0AHo

（2）作ONLA4于N,连GN。

因为。。1_1_平面。4/],

根据三垂线定理知，C}N±AtBt,

NONG就是二面角O-AB]-G的平面角。

作而，。隹于〃，则EM//0A,则

M是。8的中点，则EM=OM=1。

OB,x_3

设0月=x,由f一L得,解得x=3,

MB、EMx-l2

3

在RtAOA片中，Ag=dOA；+OB；=」指,则，ONJ\"

2A[Bi

所以tan/ONG=煞=下，故二面角。一为arctanJ5。

解法二：（1）以直线04、OC0B分别为x、yz轴，建立空间直角坐标系，。-盯z

则

4(2,0,0),8(0,0,2),C(0,2,0),E(l,0,1),尸(L1,0),〃(U

22

——11—■11—•

所以A"=(—1,5,-),OH=(1,万,万),8C=(0,2,-2)

所以而标=0,而.前=0

所以8c_L平面OA”

由E尸〃得8ci〃BC，故：•平面。A”

3

⑵由已知4(5,0,0)设国(0,0,Z)

则m=(—g,0,l),函=(—l,0,z-1)

由AE与EB｝共线得:存在aeR有4E=/IE4得

,2

・・.5.(0,0,3)

同理:G(0,3,0)

——­33——3

.・.A4=(一1,0,3)，4G=(-5,3,0)

设〃1=（占,％,Z1）是平面4B£的一个法向量,

一二x+3z=0

则《2令1=2得y=x=l

一*|x+3y=0

=(2,1,1).

又n=（0,1,0）是平面。4片的一个法量

1V6

COS<〃],%>=

J4+1+16

所以二面角的大小为arccos如

6

8.（江苏选修）记动点P是棱长为1的正方体ABC3-A4G2的对角线上一点，记

^=/l.当NAPC为钝角时，求力的取值范围.

D】B

解：由题设可知，以方、DC＞西为单位正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则有

41,0,0),6(1,1,0),C(0,l,0),D(0,0,l)

由丽=(1,1,一1),得麻=2而=(九儿—几)，所以

=+5^4=(-2,-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1)

斤=西+麻=(-2,-2,2)+(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1)

显然N4PC不是平角，所以N4PC为钝角等价于

PAFC

cosZAPC-cos<PA,PC＜0,则等价于西定＜0

即(1-2)(-2)+(-2)(1-2)+(2-1)2=(2-1)(32-1)<0,得g</l<]

因此，/l的取值范围是(；/)

9.湖南18)(本小题满分12分)

如图所示，四棱锥P-ABC。的底面积A8CO是边长为1的菱形，ZBCD=60°,E是

CZ)的中点，以J_底面积ABC。，PA=6.

(I)证明：平面尸8E，平面以8；

(II)求二面角A-BE-P的大小.

解解法-(I)如图年示，连结8£),由48c3是菱形且N8CQ=60°

知，A8CO是等边三角形.因为E是C£＞的中点，所以BELCD,又

AB//CD,所以BE_LA8.又因为巩_L平面ABC。，8仁平面ABC。，所以出_L8E.而朋CA8

=A,因此BE_L平面力比

又8£U平面尸8E,所以平面平面以8.

(H)由(I)知，BE_L平面以8,尸仁平面所以尸8_L8E.

5LABVBE,所以/尸54是二面角A—BE-P的平面角.

PAL

在RSB4B中，tan/P84=—=43,ZPBA=60°.

AB

故二面角4-3E-P的大小是60°.

解法二如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各

3-751J3

点的坐标分别是A(0,0,0),8(1,0,0),C(—,---,0),£)(—,---,0),

2222

P(0,0,向,夙1,£,0).

2

(I)因为BE=(0,—,0),平面PAB的一个法向量是鼠=(0,1,0),

2

所以8E和〃()共线.从而8EJ"平面以8.又因为8£C平面BEF,所以平面PBEJ_平面PAB.

(H)易知丽=(1,0,-6),B£=(0,-—,0),

22

/4-Oxy,=0,

设％=(X|,y1,zi)是平面PBE的一个法向量，则有，0x%+乎y+0xZ1=0.

所以y=0内=Zi.故可取％=(

而平面ABE的一个法向量是万2二(0,。，1).

于是,

故二面角A-BE-P的大小是60°

10.(辽宁19)(本小题满分12分)

如图，在棱长为1的正方体ABC。—AB'C'。中，AP=8Q=h(0<6<l),顺PQEF//A'D,

截面PQGH//AD'.

(I)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(II)证明：截面P0EF和截面PQGH面积之和是定值,

并求出这个值；

(ni)若。=’,求O'E与平面PQE尸所成角的正弦值

2

解法一：

(I)证明：在正方体中，AD'1A'D,AD'IAB,

又由已知可得

PF//A'D,PH//AD',PQ//AB,

所以PHJ.PF,PH1PQ,

所以尸”，平面PQEF.

所以平面PQE/和平面PQG”互相垂直....................................4分

(II)证明：由(I)知

PF=yflAP,PH=41PA',又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面

PQEF和截面PQGH面积之和是

(y[2AP+V2PA,)xPQ=V2,是定值..........................................8分

(III)M：设交PF于点N,连结EN,

因为A。'，平面PQEF,

所以ND'EN为D'E与平面PQEF所成的角.

因为/>=；,所以尸，Q,E尸分别为44',BB',BC,AO的中点.

可知。加=逑，D'E=~.

42

372

所以sinNO'EN=-^-=也................................................12分

32

2

解法二：

以。为原点，射线D4,DC,分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系

D-xyz.由已知得Z)/7=l-b,故

A(LO0),A(l,01),0(0,00),Df(0,01),

F(l,0,b),2(L1,b),£(1-WO),

尸(1—6,00),G(b,\1),4(6,01).

(I)证明：在所建立的坐标系中，可得

x

7Q=(0,10)PF,=,(-/>0-b),

丽=3-1,01-6),

彷=(-1,0l)X^^(-10-1).

因为初而=0,而即=0,所以正是平面PQEF的法向量.

因为了万丽=0,而丽=0,所以H万是平面PQGH的法向量.

因为访为5=0,所以松，彷，

所以平面PQE尸和平面PQGH互相垂直.........................................4分

(H)证明：因为而=(0,—,10),所以即〃丽|司忸@,又而J.而，所以PQEF

为矩形，同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得两=血(1->)，\PF\=yflb,

所以两+忸同=血，又忸0=1,

所以截面PQEF和截面PQG”面积之和为0,是定值...........................8分

(III)解：由(I)知彷=(一1,01)是平面PQE尸的法向量.

由P为AA'中点可知，Q,E尸分别为85',BC,AO的中点.

所以方%=因此O'E与平面尸QEF所成角的正弦值等于

Icos<AD',WE>1=—.12分

2

11.(全国I18)(本小题满分12分)

四棱锥A-BCDE由底面BCDE为矩形，侧面ABC±底面BCDE,BC=2,CD=C，

AB=AC.

(I)证明：ADICE；

(II)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C—AO—E的大小.4

解(1)取3C中点/，连接。/交CE于点。，

•/AB=AC,//人弋二》E

AF±BC,Z

又面ABC±面BCDE,D

/.AQ上面8cOE,

AFICE.

tanZCED=tanZFDC=—，

2

NOED+NODE=90°,

:.ZDOE=90°,即CE_LD尸,

••.CEJL面AZ)F,

CEVAD.

(2)在面ACO内过。点做AO的垂线，垂足为G.

CGVAD,CEYAD,

：.ADimCEG,

EGVAD,

则/CGE即为所求二面角.

rrACCD273”V6

AD33

EG=y/DE2-DG2=—,

3

CE=布,

CG2+GE2-CE2

则cos/CGE=

2CGGE10

NCGE-Ttafccos

12.（全国n20）（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCO—AgG，中，=2A8=4,点E在CG上且GE=3EC.

（I）证明：4。_1_平面5£。；

（II）求二面角4一OE—6的大小.

解法一：

依题设，A8=2,CE=1.

（I）连结AC交8。于点F,则BOLAC.

由三垂线定理知，BDLA.C........................3分

在平面内，连结E尸交4。于点G,

,AA.AC人rr

由于一L=——=2j2，

FCCE

故Rt△碑ATRtFCE,AAA}C=ZCFE,

ZCFE与ZFCAt互余.

于是.

4c与平面5E0内两条相交直线80,EE都垂直,

所以4。_L平面BED....................................................6分

(II)作垂足为H,连结4”.由三垂线定理知4〃LOE,

故NAi”G是二面角4—DE—6的平面角.......................................8分

EF=YICF2+CE2=V3,

rrCExCFV2ICF2CC2

CG=------=—}=,乜G=7C乜—CG=・

EFy/33

EG11EFxFDV2

EF33£)£715

又4c=7AA；+AC?=2遥,4G=4。—CG=¥

tanZA.HG=，4G-=5«I-.

HG

所以二面角4一OE-8的大小为arctan5指...................................12分

解法二：

以D为坐标原点，射线D4为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系。-xyz.

依题设，B(2,20>C(02,0)£(021)4,(204).

诙=(0,21)丽弓(220),而=(-2,2.4)班=(204)...................3分

(I)因为4COB=0,A.CDE=0,

故A}C±DE.

又DBCDE=D,

所以A。，平面QBE....................................................6分

(ID设向量〃=(x,yz)是平面ORE的法向量，则

n_LDE,nJ_DA1.

故2y+z=0,2x+4z=0.

令y=l,则z=-2,x=4,n=(4,1T-2)..................................9分

<n^C>等于二面角A-DE-B的平面角，

nACV14

cos>=X

HM

V14

所以二面角A1—OE—B的大小为arccos^—...............................12分

'42

13.(山东19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸—A8CO中，平面PAO_L平面ABC。，AB//DC,△24。是等边三

角形，已知8O=2AO=8,AB=2OC=4百.

(I)设M是PC上的一点，证明：平面〃80,平面尸A0；

(II)求四棱锥P-4BC。的体积.

(I)证明：在△ABO中，

由于AO=4,80=8,AB=475,

所以4£>2+8。2=AB2.

故AOO

又平面尸4。_L平面A5CO,平面/MOD平面=，

BDu平面ABCD,

所以60_L平面PAO,

又BDu平面MBD,

故平面MBD±平面PAD.

(H)解：过尸作尸。J.A£>交于0,

由于平面PADJ_平面ABCD,

所以P。J•平面ABC。.

因此P。为四棱锥P—ABCO的高，

又△PAO是边长为4的等边三角形.

因此p。

在底面四边形ABC。中，AB//DC,AB=2DC,

4x8Xx/s

所以四边形A6CO是梯形，在RtZVIOB中，斜边48边上的高为一U=

4755

此即为梯形ABC。的高,

所以四边形ABCD的面积为S=2亚+4亚里L=24.

25

故也2*4x26=16"

14.（上海16）（本题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体ABCD-4中，E是BG的中点.求直线DE与平面ABCD

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【解】过E作E尸上BC,交BC于F,连接。E

,/EF_L平面ABCD,

?./EOF是直线DE与平面ABCD所成的角..4分

由题意，得EF=；CG=L

•••CF=-CB=1,：.DF=4^............8分

2

EFJ5

,/EFLDF,：.tanZ.EDF=——=—10分

DF5

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan或….12分