奥数讲义-函数-第4龙班学生版

第四讲函数

本讲纲要

@§1.1平面直角坐标系@§1.4反比例函数及其图像

1.特殊点1.概念

2.对称点及图像旋转变化2.图像

3.最值点3.性质

4.整数点4.解析式

5.2点距离公式5.k的几何意义

@§1.2函数及其图像6.对称图像

7.与一次函数综合题目

1.直观函数图像

@§1.5其他函数

2.判断函数关系

3.定义域1.高斯函数

4.函数值@§1.6函数图像的平移

5.解析式

1.一次函数

6.相同函数

2.反比例函数

7.奇偶性

@§1.7函数的最值

@§1,3一次函数及其图像

1.一次函数

1.一次函数和正比例函数

2.反比例函数

2.一次函数和正比例函数图像和性质

3.绝对值函数

3.直线y=kx+b的位置与k,b的符号关系

4.无理函数(利用距离公式)

4.解析式

5.多元函数

5.对称图像

6.最值应用问题

6.位置关系

7.整数点

8.三点共线

§1.1平面直角坐标系

@考试要点剖析

平面直角坐标系及函数的概念

(1)数轴上的点与实数是一一对应的；在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一有序实数对是一一

对应的.

(2)点P(z,y)的坐标的几何意义是表示该点到x轴的距离是到y轴的距离是国.

(3)点A(工1,»1)与点B6，》2)之间的距离是IABI=x/(X2--ri)2+(>2->i)2-

1.特殊点

例1.

1)(★★2002年江苏省常州市中考试题)若点P(T+m,,”在第二象限，则下列关系式中正确的是

A.0<m<lB.m<0C.m>0D.m>l

2)(★★2002年天津市中考题)已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,

则点P的坐标为

3)(★★)点P(a、b)到x轴的距离为-a,则y轴的距离为b,到原点的距离为近，则P点的坐

标为.

4)(★★★2003•贵州贵阳)对任意实数x,点P(%,-2丁+6工)一定不在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5)(★★★)无论实数m为何值时，直线y=m(x-L)+2一定经过一个象限，它是第几象限?

6)(★★★2004济南)如图，在平面直角坐标系中，0'与两坐标轴分别交

于A、B、C、D四点.已知：A(6,0),B(0,-3),C(-2,0),则点D的坐标是.

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

7)(★★★)在直角坐标系xoy中，已知点A(-2,0),C(0)-诉,在坐标平面xOy内是否存在

点M,使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30；如果存在，请说明理由.

8)(★★★中考)图1-48是中国象棋的棋盘，请你根据图中建立的直角坐标系，写出图中的棋子

“马”的下一步所有可能走到的位置(“马”在中国象棋中，走"日"字形)：

2.对称点及图像旋转变化

例2.

1)(★★★)已知点A(a,2),B(-3,b),根据以下要求确定a,b的值:

(DA,B两点关于y轴对称；

(2)A,B两点关于原点对称；

⑶AB〃y轴；

(4)A,B两点在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上.

2)(★★2001年北京大兴中考题)已知P(a,-2)和Q(3,b),如果P,Q关于原点对称，则

A.a=-3,b=2B.a=3,b=-2C.a=3,b=2D.a=-3,b=-2

3)(★★★2003.济南)如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标分别为A(0,丛)、B(-1,0)、

c(1,0),若4DEF各顶点的坐标分别为D(J5,0)、E(0,1)、F(0,-1),则下列判断正确的是

A.4DEF由AABC绕0点顺时针旋转90得B.ZkDEF由AABC绕0点逆时针旋转90度得

C.ZJ)EF由AABC绕0点顺时针旋转60得DaDEF由△ABC绕0点顺时针旋转120度得

4)(★★★2001年全国初中数学竞赛试题)已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),0为坐标原点,

ZQPO=150°,且P到Q的距离为2,则Q点的坐标为：.

3.整数点

例3.2002年北京市海淀区中考题)在平面直角坐标系内，已知点(l-2a,a-2)在第三象限，且a

为整数，求a的值.

4.2点距离公式

例4.

1)(★★)已知点A(-2,2),B(2,—1),C(0,y),NAC6=90.当y<0时，则(1+y1=.

2)(★★★)若a、b、c为互不相等的实数，且三点的坐标分别为A(a+b,c),B(b+c,a),C(c+a,b),

则这三点的位置关系是().

A,在同一条直线上B.组成直角三角形

C.组成钝角三角形D.组成等边三角形

3)(★★)一个正方形的对角线长为2及，且两条对角线与坐标轴重合,则原点到这个正方形一边的距

离是.

§1.2函数及其图像

@考试要点剖析

1.常量与变量.在某一变化过程中保持不变的量叫做常量，变化的量叫做变量.

2.函数的意义.一般地，设在某一变化过程中有两个变量x、y,对于x的每一个值，y都有唯一的

值和它对应，那么x是自变量，y是x的函数.

3.函数的解析式.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数的解析式.

4.函数自变量的取值范围.(1)函数自变量的取值必须使函数中含自变量的代数式都有意义；(2)当

函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

5.函数值.函数值的意义是对于自变量在取值范围内的一个确定值，如x=n时，函数有唯一确定的

对应值，这个对应值就叫做函数当x=n时的函数值.

1.直观函数图像

例5.

1)(★★)有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中

的任何时刻，有一个容器的水面高度(如图所示)，图中PQ为一线段，这个容器的形状是图中的.

2)(★★2003•河北)甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度

匕与％(匕〈为)，甲用一半的路程使用速度匕，另一半的路程使用速度丫2；乙用一半的时间使用速度匕，

另一半的时间使用速度彩。关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图像及关系，有图2—3

中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，其中正确的图示分析为

3)(★★2000年全国初中数学竞赛题)某人骑车沿直线旅行，先前进了akm,休息了一段时间，又原路

返回bkm(b<a),再前进ckm,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是图中的.

2.判断函数关系

例6.

1)在下列各式中，能表示y是x的函数的有

个

①3x-2y=0；②y=疯③d+/=1=lyl=x；

⑥y=Ixl.

2)(★★)如图所示各图像中，能表示y是x函数的有

__________个.

3.定义域

明确函数自变量的取值范围的确定方法：首先应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.

①整式函数：自变量的取值范围是全体实数；

②分式函数：自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

③偶次根式下含有自变量：自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；

④函数解析式中含有零指数塞：自变量的取值范围是使零指数幕中的底数不为零的实数；

⑤某些函数的自变量的取值范围可以是有限的，甚至是几个数或一个数，如函数y=/二了中x的取值范

围只有x=0一个数；

⑥一个函数关系式中，同时含有分式，偶次根式等，则自变量的取值范围应同时使这些式子有意义；

⑦两个函数相同时，其解析式、自变量的取值范围均相同.

⑧其次函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

例7.

1)(★★★)求下列函数自变量的取值范围:

②尸与;

①+2;®y—JC-3+J3二二;

①+2

⑤)二，N-3;⑥y=

尤2+2久+3

—|N+4|

y=,..-..

(7)y=，x+2+(z-5)。(8)(9)(R+8—，5Z+20+2

【解】：

2)(★★★)如图所示，在RtAABC中,NC=90°,AC=5,BC=12,设M为

BC边匕任意一点，M点不与B,C重合，且=z，若》=$4诉，

(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围.

3)(★★)A,B两地相距120千米，汽车以每时40千米的速度从A地开往B地，求f小时后汽车距离

B地的距离s(千米)与时间t(时)的关系式是.

4)(★★★)设函数f(u)的定义域为0<u<l.求下列函数的定义域：

①F|(x)=/(x2-1)

②52(x)=/(%+a)

③尸3(*)=八子)，这里［x］表示不超过实数x的最大整数.

5)(★★★)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=7,P是BC边上与B不重合的动点，过点P的直线交CD

的延长线于R,交AD于Q(Q与D不重合)，且NRPC=45.设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之

间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

_-/x+2x+I

6)函数丫二一/不+屋忑中的自变量x的取值范围是x>-2,且xrL则a等于

A.-1B.1C.-2D.2

4.函数值

理解函数值与函数解析式的关系.

①求代数式的值：当函数是用一个解析式表示时，求函数值，就是求代数式的值；

②解方程：函数值是唯一确定的，但对应的自变量可以是多个.已知函数值求自变量的值也就是解一个

以自变量为未知数的方程；

③解不等式(组)：当给定函数值的一个取值范围，要求相应的自变量的取值范围时，也就是解一个不等

式(组).

例8.

1)(★★)当x取什么值时，下列函数的函数值为0?

(l)y=x2—4x~21(x>0)；

2)(★★)x为何值时，函数y=2^c与函数y=x+2有相同的函数值.

5.解析式

待定系数法是求函数解析式的最常用方法，对于恒等式而言，用特殊值代入而得方程十分常用.

例9.

1)(★★2004年，南昌)如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知该

图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x、y表示小矩形的两边长(x>y),请观察图案，指出以下关

系式中不正确的是

A.x+y=7B.x-y=2

C.4xy+4=49

D.+y~=25

2)(★★★)已知一次函数f(x)=3x+2,一次函数g(x)=ax+b,且f[g(x)]=12x+lL求a+b的值.

3)(★★★)已知人工)="+"不，求f(x)的解析式.

4)(★★★)若f(x)是一次函数，且/VUU)]]=8x+7,则函数f(x)的解析式是

5)(★★★1984•上海市青少年数学爱好者协会招生题)

已知函数/(，)=2'•(0?+及+。)，满足等式/(彳+1)-/(»)=2'•/，求a+b+c之值.

6)(★★★★美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式函数，对所有的实数x有

/(X2+1)=X4+5X2+3,求/(一一1)

7)(★★★)已知函数f(x)对一切函数a、b均有f(a・b)=f(a)+f(b),求证:

⑴/⑴=0；(2)/(l)=-/(a)；⑶/目=/S)—/(a).

6.相同函数

判断两个函数是否是同一个函数，应从自变量的取值范围、对应法则和因变量取值范围三方面来判断,

若有一处或一处以上不同的，就可断定这两个函数不是同一个函数.

例10.

1)(★★)判断y=z-l与＞=N-1°是否是同一个函数？y=3z-L与x=3y-L是否是同一个函数?

2)(★★)下列各组函数中，不是同一函数的是

A.y=y=1工1y=x-］与y=«^(x-l)3

11，D.，=(废/与，=Ixl

c.厂7"与y="

7.奇偶性

例11.(★★★)阅读下面的材料，再回答问题：一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意

X,都有f(-x)=-f(x),那么尸f(x)就叫做奇函数；如果函数尸f(x)对于自变量取值范围内的任意X,都

有f(-X)=f(x),那么y=f(x)就叫做偶函数例如/1(*)—+工，当x取任意实数时，

/(-«)=(-X)3+(-«)=-Xs-XF-(X3+X)=-fix')所以人工)=炉+吮奇函数.又如/(工)=|XI,当x取

任意实数时，/(-X)=I-XI=IXI=/6)所以/(彳)=IX是偶奇数.

问题⑴：给出下列函数：鲂2+1；⑨=3勘=中劭=工+十.

其中，所有奇函数是,所有偶函数是(只填序号).

问题(2)：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.

§1.3一次函数及其图像

©考试要点剖析

1.一次函数和正比例函数

例12.

1)(★★★)已知函数y=(2/n-l)产2-2一(〃+2),

⑴当m=,n=时，图象是过原点的直线，

⑵当m=,n=时，直线在y轴上截距为4；

⑶当m=，n=时，图象是直线且y随x增大而减小.

【解】：

2)(★★★)已知函数y=(2mT)x+l-3m,m为何值时：

(1)这个函数为正比例函数？

(2)这个函数是一次函数？

(3)函数值y随x的增大而减小？

(4)这个函数的图象与函数y=x+l的图象交点在x轴上(不是原点)？

【解】：

3)(★★★)已知函数y=(m+3"2g"+4%-5(xro)是一次函数，求m的值及一次函数的解析式.

【解】：

2.一次函数和正比例函数图像和性质

例13.

1)(★★2000年江苏扬州市中考题同时也是2002江苏中考第4题)已知一次函数y=kx-k,若y随

X的增大而增大，则它的图像经过.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

2)(★★★)如果一次函数尸kx+b的自变量x的取值范围是-24xW6,相应函数值的范围是-UWy<9,

求此函数的解析式.

3.直线y=kx+b的位置与k,b的符号关系

例14.

1)(★★★1998年全国初中数学赛题)已知Q6C#0,并且

a+b_b+c_c+a_

ca6-2那么直线y=px+p一定通过.

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

,_a+6—c_a—6+c_—abc

2）（★★★2002•黄冈•题3）已知认=-c—=-b—=a,且

^—5+n2+9=6n.则关于自变量x的一次函数y=丘+九+*

4.解析式

例15.

1)(★★★)在直角坐标系中，一次函数y=■^•r+'^的图像与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C

的坐标是(1,0),点D在x轴上，且么BCD和么ABD是两个相等的钝角.求图像经过B、D两点的一次函

数的解析式.

2)(★★★2001年，北京海淀)如图13—2—11,在△ABC中，乙C90。,P为AB上一点，且点P不与点

A重合，过点P作PE'JlAB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10,AC=8,设AP的长为x,四边形

PECB的周长为y,求y与x之间的函数关系式.

5.对称图像

给定直线丫=1«+1)&。0),(-x,y),(-x,一y),(y,x)分别替代原式中的(x,y),我们将得出原直线

关于x轴、y轴、原点及第1,3像限角平分线对称的直线函数式.

正比例函数y=kx的图象上的点是关于原点0成中心对称.

例16.(★★★)已知：直线9=—+匕(卜牛0)求与1

(i)关于x轴对称的直线L1的函数式，

(ii)关于V轴对称的直线L2的函数式；

(iii)关于原点对称的直线L3的函数式；

(iv)关于1,3像限角平分线对称的直线L4的函数式.

6.位置关系

例17.(★★★)已知两直线方程ax+2y=6,x+by=-3.

(Da、b为何值时，两直线重合？

(2)两直线相交于点(一4,1),a=?b=?

(3)当两直线方程系数有关系丁一万片一2,两直线有何关系？

(4)根据两直线的各种可能的位置关系，求这两直线系数之间的关系.

7.整数点

595

例18.(★★★2000•全国初中数学竞赛•题4)一个一次函数的图像与直线)=7"十7

平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25).则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵

坐标都是整数的点有

A.4个B.5个C.6个D.7个

8.三点共线

应考策略：本题的两种解法都依据函数图象上的点与函数解析式之间的关系.除了本题的两种方法外,

还有一种常用的判断三点共线的方法：分别计算三条线段AB，BC,CA的长度，如果最长线段的长度等

于另两条线段的长度之和，则三点共线.

例19.

1)(★★★)判断直角坐标系内的三点A(-6,9),B(-3,7),C(6,1)是否在同一条直线上•

2)(★★★)已知月(3'(:)，满足b+c3>a+c2则A,B,C二点的

位置关系为.

(A)在同一直线上(B)组成锐角三角形

(C)组成直角三角形(D)组成钝角三角形

§1.4反比例函数及其图像

@考试要点剖析

1.概念

例20.(★★★)

(D函数，=一2的图象是，其中为=，图象位于象限内，

在同一象限内,y随］的增大而；

(2)双曲线,=跄手在一、三象限内，则m的取值范围是，若双曲线的每个

分支在各自的象限内,y随z增大而增大，则加的取值范围是;

(3)已知双曲线经过点(一2痣，遍)，则&=，此双曲线还经过纵坐标为第，

横坐标为的点；

⑷已知函数y=(/+2m)/+i是反比例函数，则它的图象在第象限；

(5)若，与工成反比例，且工=3时,y=l,则y与h之间的函数关系是;

(6)若在正比例函数y=&z中随z的增大而减小，那么，在反比例函数，=?中，

?随工的增大而;

(7)若工与y成正比例,Iy与z成反比例，则工与z成比例；

(8)在同一坐标系中,y=2z与,=!的交点坐标是.

2.图像

例21.

_k\_

1)(★★)图是三个反比例函数y-T5y~

二号在X轴上方的图象，蝉观察得到后帆后的大小关系为

y

B.k>k>k\c.k>ki>kiD.>ki>hi

A.ki>h>k23

2)(★★)已知(a-1)〃是反比例函数，则它的图象在.

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限

3.性质

例22.

1)(★★★1999年江苏省常州市中考题)若点(-1,%),(-2,%)，(2,g法反比例函数

1

，=一丁的图像上，则下列结论中正确的是

A.B.》2＞》1＞了3C.丫3＞11＞'2D.力＞，2＞?1

2)(★★)

设A(m，》),8(年,")是反比例函数图象上的两点，若0＜必＜@，则g与北的大小关系是;

例23.(★★★)如图，在IABCD中，AB=4,AD=3,E是AB上一动点，DE的延长线交CB的延长线于F,

设AE=x,CF=y.(1)求y与x的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围.

5.k的几何意义

反比例函数产!中k的绝对值的几何意义是图中所示的三角形aAOM的面积的2倍.

例24.

1)1992年全国初中数学联赛)如图,正比例函数尸*和丫=a*匕>0)的图像与反比例函数〉'=/(k>0)

的图像分别相交于A点和C点.若

Rt^AOB和RtAGOD的面积分别为Si和S?,则Si与S2的关系是

A.Si>S2B.St-S2C.S,<S2D.不确定

2)(★★)如图，A、B是函数7=》的图象上关于原点0的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行

于x轴，ABC的面积为S,则()(若连结BD问ABD的面积呢？)

B.S=2C.1<S<2D.S>2

反比例函数y=?的图象上的点是关于原点。成中心对称.在

k>0时函数的图象关于直线y=1轴对称；在归V0时函数的图象

关于直线y="上轴对称.

=

例25.反比例函数？一E无的图像是轴对称图形，它的一条对称轴是下列哪个正比例函数的图

像？

A.丁=—kxB.y=\k\x_kD.y=kx

c.y=k

7.与一次函数综合题目

例26.

1)(★★)如果y是x的正比例函数，z是y的反比例函数，那么z是x的__________函数.

A.正比例函数B.反比例函数

C.既不是正比例函数，也不是反比例函数.23丁“匕，3

D.z是一的正比例函数

8

2)(★★★)已知直线y-kx+b经过反比例函数图像上两点

A(2,第)与5(x2，2),则hk=

3)(★★★浙江省初中数学竞赛试题)已知》=力+送其中yl与x成正比例，y2与x成反比例,

且当x=2和x=3时，y的值都为19,求y与变量x的函数关系式.

§1.5其他函数

1.高斯函数

对于实数X,它的不大于X的最大整数记为［x］,令｛x｝=x-［x］,则称［x］与｛x｝为高斯函数.

y=［x］=n(其中nWx〈n+r,O^r<l,n为整数)定义域为全体实数，值域为全体整数.

尸｛x｝定义域为全体实数，值域为OWy〈l.

以高斯函数出现的竞赛题，近阶段较少，一般都是形如上例的高斯方程.一般根据其定义、性质求解

即可.

例27.

1)(★★)若［x］表示不大于x的最大整数，｛x｝=x-［x］,则方程x+2｛x｝=3［x］的解为.

2)(★★)如果a为任意实数，用［a］表示不大于a的最大整数.设x、y满足方程组

2〔z〕一y=-2,

3〔工一2〕+»=16则［x十y］是多少?.

§1.6函数图像的平移

@考试要点剖析

1.一次函数

一次函数之间的平移

_/>>0时，向上平移6个单位

y=kx(k^O)言词，向下平移个单位’y~kx+6(4#0);

./二八、c>0时，向左平移,个单位.

日G六°)不戚而云平移｛cl个单位’y=k(x+c)(6#0).

图像向上或向下平移是针对变量y而言的(上+下-),图像向右或向左平移是针对变量x而言的(左+

右一).

例28.

1)(★★)把函数y=x的图像如何平移可得到函数y=x-3?

2.反比例函数

反比例函数之间的平移

人,八、〃>0时，向左平移"个单位k，，」,、、一>°时，向上平移办个单位一

y工(卜」)n<0时，向右平移个单位"nm<0时，向下平移।mI个单位

图像向上或向下平移是针对变量y而言的(上+下-),图像向右或向左平移是针对变量X而言的(左+

右一).

2)(★★)

__6_6.九

把函数y-3的图像如何平移可得到函数、二》-s的图像？

—立6

把函数》一丁的图像如何平移可得到函数)'=力的图像？

_A6

把函数尸工的图像如何平移可得到函数》二R-3的图像?

3.绝对值函数

3)(★★)将函数.y=li的图像平移后，可得到函数y=院-4的图像，则函数图像

A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位

C.向下平移4个单位D.向上平移4个单位

4)(★★★)将函数才的图像平移后，可得到函数>=1川-4的图像，则函数图像

A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位

C.向下平移4个单位D.向上平移4个单位

§1.7函数最值

@考试要点剖析

1.一次函数

一次函数丫=1«+15仇#()的常数)，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.在其

整个定义域(全体实数)内，函数图像是一条直线，这时是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x

的取值范围有所限制时，此时函数图像是直线的一部分，这时的函数就可能有最大值和最小值了.

例29.

1)(★★)

已知(1)、=51+3(-2«工<3),(2)y=-5.r+3(-2<x<3)，求y的最大值和最小值.

2)(★★★)

设a是大于零的常数，且a#l,y=ox+十(17(0«1),求y的最大值和最小值.

3)(★★★★)已知x,y,z是非负实数，且满足条件x+y+z=30,3x+y-z=50,求u=5x+4y+2z最大值

和最小值.

4)(★★★1996年上海市初中数学竞赛题)已知函数尸(a-2)x-3a-l,当自变量a的取值范围为

3<a<5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围为.

2.反比例函数

反比例函数，=^(kW0的常数)，当k>0时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，在每一个象

限内y随x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内y

随x的增大而增大.在其整个定义域(除奸0外的全体实数)内，反函数图像是双曲线，这时两个分支都无

限接近但永远不能到达x轴和y轴，所以是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有

所限制时，此时函数图像是双曲线的一部分，这时的函数就可能有最大值和最小值.

5)(★★★)已知(1)?=+(2(工&3),(2)'=-』(2或了43),求》的最大值和最小值.

1-4

6)(★★★)求函数，=巾在一3WxW-2上的最大值与最小值.

3.绝对值函数

7)(★★★)求函数丫=|工一1|+|2+4|-5的最值.

8)(★★★)若a<b<c,试求函数y=|2-a|+|z-6|+|z-cI的最小值.

4.无理函数(利用两点间距离公式)

9)(★★★)求y=Vx2+\+，(4-工)2+4的最小值__________.

.-z-nmil"/1+x2+x4-1

10)(★★★)若了70,则x的最大值是

5.多元函数

11)(★★★)如果多项式/>=2。2-8而+17廿-16。-46+1999,那么P的最小值是多少？

--+———

12)(★★★97湖北黄冈地区初中竞赛)若xy=l,那么代数式—4y4的最小值是

6.最值应用问题

例30.

1)(★★)如图，正方形ABCD的边长为2,且各边和坐标轴平行，又原点0为其中心，点P(x,y)为正

方形边上的动点.求x+y,的最值.

2)(★★★98全国初中数学竞赛)B船在A船的西偏北45处，两船相距100千米，若A船向西航行,

B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么，A、B两船的最近距离是千米.

3)(★★★1993年全国初中数学联赛试题)设x是实数，y=lz-ll+1工+1|下列四个结论：

(Dy没有最小值；

(2)只有一个x使y取到最小值；

(3)有有限多个(不止一个)x使y取到最小值；

(4)有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是.

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

4)(★★★2000年湖北省初中数学选拔赛试题)在直角坐标系中，有四个点A(-8,3),B(-4,5),C(0,

m

n),D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时，刀的值为.

@练习题

1.(★★)四个容量相同的容器形状如图所示.以同一流量的水管分别注水到这四个容器，所需时间都

相同，图中显示注水时，容器水位k与时间t的关系.请把适当的图象序号与相应的容器的字母代号

用线段相连接.

2.(★★★)求下列函数的自变量的取值范围.

①尸心；②片名;励=在钉+斤？;尹;

X—Zx—1

X

/4一2一1

@y=(1-\/2x-1)*11—.

/x+5x2-4

3.如图12-2,在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△。45,第二次将△。48次换成

△。4耳，第三次将△04/次换成△O4名已知

4(1,3),A(2,3),4(4,3),4(8,3)；B(2,0).6(4,0),&(8,0),&(16,0).

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△O/hB及换成△OAI”

则4的坐标是,&的坐标是.

(2)若按第⑴题找到的规律将A0AB进行了”次变换，得到△O4B,”比较每次变换中三角形顶点坐

标有何变化，找出规律，推测4的坐标是,比的坐标是.

4.(★★)已知：点P(x,y)到A(8,0)和B(l.-3)的距离相等，且P点到两坐标轴的距离也相等.求

点P的坐标.

5.(★★)已知：点P(x,y)的坐标满足方程(才-2)2+石石=0,求点P关于原点的对称点的坐标.

6.(★★)写出下列函数关系式.并指出式中的函数与自变量：

(1)轮子每分钟旋转60转，求轮子旋转的转数n与时间t(分)的关系；

(2)油箱中有油50升，求用油时间t(小时)与耗油量q(升/时)的关系；

(3)求等腰三角形的底角的度数y与顶角的度数x的关系；

(4)弹簧原来的长度是10厘米，悬挂的重量每增加1千克。弹簧伸长0.8厘米，但悬

挂的重量不得超过15千克，求弹簧的长度h(厘米)与悬挂的重量w(千克)的关系；

(5)在边长为12厘米的正方形铁皮上剪下一个圆，求剩下铁皮的面积S(厘米2)与圆

半径r(厘米)的关系.

7.(★★)当x取什么值时，下列函数的函数值为0?

,八一⑶一3

(1)y—-—21;

8.

1)(★1996年昆明市中考题)若函数y=(〃-2)z""I是正比例函数，那么n的值是

2)(★1997年山东省中考题)若函数》=左.”+八2的图像是双曲线，且在第二、四象限内的值是

9.（★★★2001•河北•题4）

设直线”工+（w+Dy=戏为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S“（〃=1，

2,…，2000）,则Si+S?+…+S2ooo的值为（

A.1199920002001

B.2000C.2001D.2002

10.(★★★2001•绍兴•题9)

设直线区+(&+Dy=1(%为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为s.a

=1,2,3,…，200