数字逻辑课后习题答案

习题二

2.1分别指出变量(A,B,C,D)在何种取值组合时，下列函数值为1。

(1)F=BD+ABC如下真值表中共有6种

(2)尸=(4+后+九8)(4+后/8+0=0如下真值表中共有8种

(3)尸=(A+T6)万+(4+5)€7)=45+6+万如下真值表中除0011、1011,1H1外共有13

ABCDFABCDFABCDFABCDF

0001i00011000011000i

oonioon1000111001i

1001i01011001011010i

ioniom101001nooi

nooi1001101011noii

noiiion1ono1moi

noi1om1

LLU1

(3)

(2)

2.2用逻辑代数公理、定理和规则证明下列表达式：

(1)AB+AC=AB+AC

证明:左边=(彳+万)(4+6)=44+N.[+4后+万元=4万+%.6=右边

•••原等式成立.

(2)AB+AB+AB+AB=1

证明:左边=(AB+A后)+(可5+1万)=4(8+5)+示3+万)=4+彳=1=右边

二原等式成立.

(3)AABC=ABC+ABC+ABC

F如七fA(A+B+C)=AB+AC

证明:左边=____----------------------

=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC

=ABC+ABC+ABC=右边

原等式成立.

(4)ABC+ABC=AB+BC+AC

证明:右边=(Z+B)(万+C)(A+H)=A8C+1»Z=左边

，原等式成立.

(5)ABC+AB+BC=AB+AC

证明:左边=(A8C+A-8)(8+C)=A-B+A-C=右边

...原等式成立.真值表（D真值表⑵

AB左边.右边ABC右边

0011000i1

010000100

2.3用真值表检验下列表达式：1000010i1

1111011i1

100i1

(1)AB+AB=(A+B)(A+B)

101i1

no00

in00

(2)AB+AC=AB+AC

2.4求下列函数的反函数和对偶函数：

(1)F=AC+BC

F=(A+C)(B+C)

尸’=(A+C~)('B+C)

(2)F=AB+BC+A(C+D)

F=(A+B)(B+C)(A+CD)

F'=(A+B)(B+C)(A+CD)

(3)F=A[B+(CD+EF)G]

F=A+B[(C+D)(E+F)+G]

F'=A+B[(C+D)(E+F)+G]

2.5回答下列问题：

(i)已知X+Y=X+Z,那么，y=z«正确吗？为什么？

答：正确。

因为x+y=x+z,故有对偶等式xy=xz。所以

Y=Y+XY=Y+XZ=(X+Y)(Y+Z)=(X+Y)(Y+Z)

Z=Z+XZ=Z+XY=(X+Z)(Y+Z)=(X+Y)(Y+Z)

故Y=Zo

(2)已知xy=xz,那么，y=Zo正确吗？为什么？

答：正确。

因为xy=xz的对偶等式是x+y=x+z,又因为

Y=Y+XY=Y+XZ=(X+Y)(Y+Z)=(X+Y)(Y+Z)

Z=Z+XZ=Z+XY=(X+Z)(Y+Z)=(X+Y)(Y+Z)

故y=z。

⑶已知X+Y=X+Z,且XY=XZ,那么，y=Zo正确吗？为什么？

答：正确。

因为x+y=x+z,且XY=XZ,所以

Y=Y+XY=Y+XZ=(X+Y)(Y+Z)=(X+Z)(Y+Z)=Z+XY=Z+XZ=Z

⑷已知X+Y=XZ,那么，y=Zo正确吗？为什么？

答：正确。

因为X+Y=XZ,所以有相等的对偶式XV=X+Z。

Y=Y+XY=y+(X+Z)=X+Y+Z

Z=Z+XZ=Z+(X+Y)=X+Y+Z

故y=Zo

2.6用代数化简法化简下列函数：

(1)F=AB+B+BCD=AB+B=A+B

(2)F=A+AB+AB+AB=A(1+A)+A(H+B)=A+A=1

(3)F=AB+AD+BD+ACD=A(B+D+CD)+BD=A(B+D+C)+B'D

=A(B+I))+AC+BD=ABD+AC+BD=A+AC+BD=A+lfD

2.7将下列函数表示成“最小项之和”形式和“最大项之积”形式：

(1)F(A,B,C)=4B+AC=Em(0,4,5,6,7)=riM(l,2,3)(如下卡诺图1)

(2)F(A,B,C,D)=AB+ABCD+BC+BCD=Y,m(4,5,6,7,12,13,14,15)

=nM(0,l,2,3,8,9,10,ll)(如下卡诺图2)

(3)F(A,B,C,D)=(A+BC)(B+CD)=Zm(0,l,2,3,4)

nM(5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)(如下卡诺图3)

2.8用卡诺图化简下列函数，并写出最简“与-或”表达式和最简“或-与”表达式:

(1)F(A,B,C)=(A+B)(AB+C)=AC+BC=C(A+B)

0。,01,11,10,[芍00,01,11,10

0101001100

111110111_1)(T

(2)F(A,B,C,D)=AB+ACD+AC+BC=AB+BC+AC^.=AB+AC+BC

(A+H+C)(A+B+C)011110c^^oo011110

(3)F(A,B,C,D)=BC+D+D(B+C)(AD+B)=B+D=(B+D)

B00D\%0

CD\01u10C011110

00o+noo+mo+mo+no00(11)

011+010i+oni+oni+onoiCT111]

iitz_1J

n1+0101+0011+011i+on11

jj

10o+no1+1011+101o+no10

2.9用卡诺图判断函数尸(A,8,C,O)和G(A,8,C,O)有何关系。

F(A,B,C,D)=

Boo

CD^x.OO011110CD\011110

BD+AD+CD+ACD0011Jj00

0101ri111]

nnli111

101110

G(A,B,C,D)=匕-4

F(A,B,C,D)=DG(A,B,C,D)=D

=BD+CD+ACD+ABD

⑴若白=£,当Q取何值时能得到取简的“与一或”表达式。

从以上两个卡诺图可以看出，当。=1时，能得到取简的“与一或”表达式。

⑵。和6各取何值时能得到取简的“与一或”表达式。

从以上两个卡诺图可以看出，当a=1和方=1时，

能得到取简的“与一或"表达式。

2.11用卡诺图化筒包含无关取小项的函数和多输出函数。

(1)F(A,B,C,D)=Y,m(0,2,7,13,15)+£d(1,3,4,5,6,8,10)

：.F(A,B,C,D)=A+BD

F,(A,B,C,D)=^m(0,2,47,8,10,13,15)

(2)-F2(A,B,C,D)=Y.m(0,1,2,5,6,7,8,10)

F3(A,B,C,D)=^m(2,3,4,7)

F](A,B,C,D)=BD+ABD+ABCD+ABCD

：.F2(A,B,C,D)=BD+ACD+ACD+ABCD

F3(A,B,C,D)=ABC+ABCD+ABCD

习题三

3.1将下列函数简化，并用“与非”门和“或非”门画出逻辑电路。

(1)F(A,B,C)=Zm(o,2,3,7)=AC+BC=ACBC

vF=AC+BC：.F=A+C+B+C

F(A,B,C)=ACBCF(A,B,C)=A+C+B+C

⑵尸(A,5,C)=HM(3,6)=Sm(0,l,2,4,5,7)=B+AC+AC=BAC-AC

犬B()0.01.11.10

1101

1011

F《A,K,C)=BACACF(A,8,C)=A+B+C+A+B+C

=A+B+C+A+5+C

(3)F(A,BfC,O)=AB+ACD+AC+BC=AB^AC+BC=ABBCAC

=A+5+C+A+5+C

\ABCD\%ooinio

C泮0001ii10ClR0001n10

000iii00(1仅

010iii011loj

nii0iiiCT1

10ii0i10]_JLJ

F=AB+AC+BCF=ABC+ABC

F(A,B,C,D)=ABBCACF(A,BrC)=A+B+C+A+B+C

WF(A,B,C,D)=AB+AC+BCD=AB+AC+CD=ABACCD

=8+C+A+C+A+Z)

oooin10

oo1000

011000

n1111

io1100

3.2将下列函数简化，并用“与或非”门画出逻辑电路。

(1)F(AfBfC)=AB+(AB+AB)C=AB+AC+BC

oooinio

00+000+101+000+10

10+01o+n1+01o+n

F(A,B,C)=AB+AC+BC

⑵F(A,B,C,D)=Em(l,2,6,7,8,9,10,13,14,15)=ABC+BCD+ACD+BCD

F(A,B,C,D)

F(A,B,C,D)=ABC+BCD+ACD+BCD

F=ABC+BCD+ACD+BCD

3.3分析下图3.48所示逻辑电路图，并求出简化逻辑电路。

去1

-

B

e

N

C

解：如上图所示，在各个门的输出端标上输出函数符号。则

Zj=B+C,Z2=B+C,Z3=ZjZ2=(B+C)(B+C)=BC+BC,

Z4=AC,Z5='Z]=BC+BC,Z6=A+Z5=A+BC+BC,Z7=Z3+Z4=BC+BC+AC,

F=Z6Z7=(A+BC+BC)(BC+BC+AC)=ABC+ABC+ABC

=A(BQC)+C(AQB)

真值表和简化逻辑电路图如下，逻辑功能为：依照输入变量A5C的顺序，若A或C为1,

其余两个信号相同，则电路输出为1，否则输出为0。

ABC

3.4当输入变量取何值时，图3.49中各逻辑电路图等效。

...当4和3的取值相同（即都取0或1）时，这三个逻辑电路图等效。

3.5假定X=45代表一个两位二进制正整数，用“与非”门设计满足如下要求的逻辑电路:

（1）y=x2；（y也用二进制数表示）

因为一个两位二进制正整数的平方的二进制数最多有四位，故输入端用4、B两个变量,

输出端用人、匕、匕、%四个变量。

⑴真值表：⑵真值表:

ABY

ABYa%Y1丫0匕玲Y2匕o

0000000000000

0100010100001

1001001001000

1111011

111001

：.Y3=AB,Y2=AB,匕=0,+逻辑电路为:

（2）y=x,，（y也用二进制数表示）

因为一个两位二进制正整数的立方的二进制数最多有五位，故输入端用4、8两个变量，

输出端用匕'Y3,匕、匕、%五个变量。可列出真值表⑵

/.Y4=AB,Y3=AB+AB=A,y2=0,力=43,匕尸独+48=瓦逻辑电路如上图。

3.6设计一个一位十进制数（8421BCD码）乘以5的组合逻辑电路，电路的输出为十进制数

（8421BCD码）。实现该逻辑功能的逻辑电路图是否不需要任何逻辑门？

解：因为一个一位十进制数（8421BCD码）乘以5所得的的十进制数（8421BCD码）最多

有八位，故输入端用A、B、C、。四个变量，输出端用匕、为、匕、匕、匕、匕、匕八个

变量。

真值表:

丫2丫4丫2

ABCDY6Ys巧Y3YiYoABCDY6Ys玲玲Yo

000000000001010XXXXXXX

00010000101ionXXXXXXX

00100010000nooXXXXXXX

00U0010101noiXXXXXXX

01000100000moXXXXXXX

01010100101LLUXXXXXXX

0U00110000

01110110101

10001000000

10011000101

用卡诺图化简：匕=0，Y6=A,Y5=B,Y4=C,n=0，Y2=D,匕=0,Y0=D。

P^OO01nwp^oo01n10c^oooinio

俨1}(1父X

X11XX

XX1XXfliXX]

1>L2d_>d

XiX

居=4YS=BH=c

P^OOoiuiop^oooinio

00X00X

0111X1101(11X11

2d

11II.1X士Jnl,l_1X

10XX10XX

匕

Y2=D=D

逻辑电路如下图所示，在化简时由于利用了无关项，本逻辑电路不需要任何逻辑门。

3.7设计一个能接收两位二进制y=yueX=X/X。拼有输出Z=z出的逻辑电路，当Y=X时,Z=〃，当

y>x时2=10,当y<x时,Z=O1。用“与非”门实现该逻辑电路。

解：根据题目要求的功能，可列出真值表如下：

yiyt必刈Z1Z2nyt必必Z1Z29必刈Z1Z2

0100100001010000n

1000100010010101ii

n001000n011010n

100110011001n11n

n011001n01

n101010n01

用卡诺图化简:zryox()+yix()+yly()^y1-y()-xl-x()+yly()xlxl)

&=加80力门为"力ygX]xyjygXjXo

，转化为“与非与非”式为:g

才必

z=8町"X产0"为XjXO为九盯q

逻辑电路为:

Z1Z2

3.8设计一个检测电路,检测四位二进制码中1的个数是否为奇数，若为偶数个1,则输出为1,否则

为0。

解：用4、8、C、O代表输入的四个二进制码，厂为输出变量，依题意可得真值表：

Koo卡

ABCDFABCDFABCDFABCDFc^\01n10

诺

000010100010000nooi001i

图

000100101110011noi0011i

不

00100ono110101mo0n1i

能

oon1om0ion0nn1101i

化

简:

F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

用“与非”门实现的逻辑电路为:

用

异

或

门

实

现

的

电

路

为

3.9判断下列函数是否存在冒险，并消除可能出现的冒险。

(1)Fl=AB+ACD+BC

(2)F2=ACD+ABC+ACD+ABC

(3)F3=(A+B)(A+C)

rx6oooiniorx6oooinio

a

CQ__Q)lol(o)_o)

解:⑴不存在冒险；

⑵存在冒险，消除冒险的办法是添加-冗余项BD;

即：F2=ACD+ABC+ACD+ABC+BD

⑶也存在冒险，消除冒险的办法也是添加一冗余因子项(B+C).

习题四

4.1图4.55所示为一个同步时序逻辑

电路，试写出该电路的激励函数和输出

函数表达式。

解：输出函数：巧

Z=xlx2yly3；

04.55票同步时序逡辑也珞

匕=盯+力；Y2=xl；

激励函数：

T=Z=x,x2yIy3；

J=匕=xi+yi<

K=丫2=X/㊉72；

D=Y/=xJ+j；0

4.2已知状态表如表4.45所示，作出相应的状态图。

解：状态图为：

11/0

表4.45给定的状态表

次态/输出

现态

必必=00x/Xj=01X/Xj=llX/Xj=10

AA/0B/0C/1D4)

BB/0C/1A/0D/l

CC/0B/DDZODm

DD/0A/1C/0C/0

1170

4.3已知状态图如图4.56所示，作出相应的状态表。

解：相应的状态表为:

次态/输出

现态

X/Xj=00x/Xj=01X/Xj=llX/Xj=10

01/004)0/10/1

11/00/10/01/0

图4.57所示状态图表示一个同步时序逻辑电路处于其

中某一个未知状态,。为了确定这个初始状态，可加入一00/0

个输入序列，并观察输出序列。如果输入序列和相应的10/0

输出序列为00/0、01/1,00/0、10/0,11/1,试确定该同

步时序电路的初始状态。

解：为分析问题的方便，下面写出状态表：

00/0

翅4_4状态表

次态/输出10/1

现态

X/Xj=00X/Xj=llX/Xj=1011/1

AA/0C/DB/0ATO图4.57给文的状感图

BB/0B/lB/lA/0

CC/0C/1C/1D/0

DD/OB/0C/1D/l当输入序列和相应的输出序列为00/0

时,A.B.C.D都符合条件,但当序列为01/1

时要转为8态或C态，就排除了A、。态；下一个序列为00/0时，B、C保持原态，接着序列

为10/0时，B态转为A态，C态转为。态，但当最后一个序列为11/1时，只有。态才有可能

输出1,这就排除了8态。故确定该同步时序电路的初始状态为C态。

即C(初态)一(00/0)-Cf(01/1)一。一(00/0)-C-(10/0)-0f(11/1)-C

4.5分析图4.58所示同步电路，作出状态图和状态表，并说明该电路的逻辑功能。

解：激励方程：

J1=Q1Q2'K1=xQz+Q]Q2；J2=X。2；K2=Q2；

输出方程：Z,=QI；Z2=Q2.

各触发器的状态方程为：

+IIX

Q1=JtQt+KQI=Q,Q2Q,+Q2+QIQ2QI

=XQJQ2；

图票同步时序电珞

+74.58

C?2=J2Q2+^2Q2=XQ2Q2+Q2Q2=^

题4_5状态转移真值表

现为民财函数次为

输入见态次态er,。产

X心&Q2Q1

Q2Q1hx=0x=1

000000000000000

001001100010000

010110000100000

U0100

011110001

100000000状态表

101001100

110010100

111010100

由图可见，该电路的逻辑功能为：在时钟脉冲作用下，输入任意序列x均使电路返回00状

全加器

4.59某中行加法器迂牌框留

4.7作1010序列检测器的状态图，已知输入、输出序列为输入：00101001010101011

0输出：000001000010101000

解:1010序列检测器

的状态图如右。

4.8设计一个代码检

测器，电路串行输入

余3码，当输入非法

数字时电路输出为0,

否则输出为1,试作出状态图。题4_8余三玛代码检测器状态图

解：余3码的非法数字有六个，即0000,0001,0010,1101,1110,1111o

故其原始状态图为:

4.9简化表4.46所示的完全确定状态表。

解：表4.46所示的完全确定状态表的隐含表为:

考察给定的状态表，比较状态C和尸。不论输入x是1还是0,它们所产生的输出都相同。

当x=0时，所建立的次态也相同；但当x=l时，它们的次态不相同:

N(C,1)=A表4.46给定.的状态;表

X

次态/茹出

N(F,1)=D现这

cXXx=0X-1

AE/DD/D

BEXX

于是状态C,F能否合并，取决于状:BAZLF/U

AD

XXX

CFCC/0A/1

态4,。目匕否口并。F

XXADXXDB/UA/0

对于状态A和。。不论轴入》是1GED/1C/0

XXXXXX

FCZOD/1

还是0,它们所产生的输出都分别相H

XXXXXXGH/1G/1

向。当X=1时，它们的次态为现态ABCDEFGHCFAlIE

题4_9的隐含表\

的交错，但当x=0时，它们的次态T

却不相同:

N(A,0)=EN(D,0)=B

因此，状态A,。能否合并，取决于状态8,E能否合并。

对于状态B和E。不论输入x是1还是0,它们所产生的输出都分

题4_9最小化状态表

别相同。但当x=0时，它们的次态不同：

次态/输出

N(B,0)=AN(E,0)=D现态

当x=l时，它们所建立的次态也不相同：x=0X=1

N(B,1)=FN(E,1)=CAB/0A/0

BC/0

可以发现：状态CF、AO和5E能否各自合并，出现如上循环关系：A/1

CC/DA/1

DE/lD/1

显然，由于这个循环中的各对状态，在不同的现输入下所产生

EC/lB/l

的输出是分别相同的，因而从循环中的某•状态时出发，都能保证

所有的输入序列下所产生的输出序列都相同。所以，循环中各对状态分别可以合并。令

A={A,D},B={B,E}C={C,F}

代入原始状态表中简化后，再令

给定的不完全确定状态双

E代替G、H,可得最小化状态表。隐含表

次志/揄出

现为

x=0X=1BCE

4.10简化表4.47所示的不完全确定

AD/dC/0CXV

状态表。BD/1E/d

DXCE

解：山给定的不完全确定状态表画Cd/dE/lV

DA/0C/dBD

出隐含表，可以得出全部相容状态EX联Vx

EB/lC/d

ABCD

对有五个，为：表4.47

(A,B),

闭覆或表

(C,D),(C,

被盖闭合

E),(A,O)、量大相容类

ABcDEx=0X=1

ABVVDCE

从这五个相

ADVVADC

容状态对可BCVVDE

以看出它们CDVVACE

本身就是最CEVVBCE

大相容类。

作出闭覆盖表寻找最小闭覆盖。

从闭覆盖表可以得出两种最小化方案及对应的最小化状态表:

从这两个方案可以看出，方案一相容类数目最少，是最佳方案。

量小化方案一方案一

覆>闭合最小化状态表

量天相容美次态/输出

ABCDEx=OX=1现态

x=OX=1

ABVDCE

VAB/lC/0

CDVVACEBA/OC/l

CEVVBCECA/lC/l