衡水中学高二(上)期末数学试卷(理科)

衡水中学高二（±）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在

每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求

的.

1.（5分）设命题P:VxGR,x2+2>0.则->为（）

22

A.3x0CR,X0*2>0B.3XO€R,I0*2<0

22

C.3X06R.X0+2<0D-VX£R，X+2^0

2.（5分）等差数列｛aj前n项和为S”公差d=-2,S3=21,

则ai的值为（）

A.10B.9C.6D.5

3.（5分）Zosa者是“aT”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,不充分也不必要条件

4.（5分）已知向成圭（2,1.4）,b=（1.0.2）,且;+E与

k；・E互相垂直，则k的值是（）

A.1B.1C.1D.1^-

5531

5.（5分）在aABC中，若ABEBC=3,ZC=120%则AC=

（）

A.1B.2C.3D,4

6.（5分）若双曲线彳-心1的一条渐近线经过点（3.-4）,

abz

则此双曲线的离心率为（)

A,且B.1C.AD.A

3453

7.（5分）若a.b均为大于1的正数，H.ab=100,则IgaMgb

的最大值是（）

A.0B.1C.2D.

2

8.（5分）己知数列；aj：3i=l,antl=2an+3,（n€N*）»则3n=

（）

A.2n1-3B.2n-IC.2%1D.2n,2-7

9.（5分）若直线2ax+by-2=0（a>0.b>0）平分圆x2+y2

-2x-4y-6=0,则2+L的最小值是（）

ab

A.2-V2B.V2-1C.3+2&D.3-2加

x.y>0

10.（5分）设x,y满足约束条件XD>-I，则z=x-2y的取

x+y<3

值范围为（）

A.（-3,3）B.[-3,3]C,[-3,3）D.[-2,2]

11.（5分）如图过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线依

次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2BF,且AF=3.

则抛物线的方程为（）

y20D.

12.（5分）在锐角^ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,

b,c,若51nA，展，a=2,s△诋W?则b的值为（）

A.V3B.C.2V2D.25/3

二、填空题（每题5分，满分20分，珞答案填在答题纸上）

13.（5分）若AABC中，AC=V3,A=45%C=75°,则BC=.

14.（5分）已知数列伯力满足：iog,ar1=1”d向，（n,心，

且即+24+26=9,则log1（as+a/ag）的值为-

T

15.（5分）设不等式（x-a）（x*a-2）V0的解集为N,若

x£N是旧工专2）的必要条件，则a的取值范围为.

16.（5分）已知椭圆+埠i（a>b>。的左、右焦点分别为Fi，

a-b

F2,过Fl且与X轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF?

与椭圆的另一个交点为C,若苗=2尽.则椭圆的离心率

为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）己知正项数列匕4的前n项的和为Sn，且满足:

2S"+a/（nWND

（1）求ai*a］，a3的值

（2）求数列｛aj的通项公式.

18.（12分）在^ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,且bcosC=（2a-c）cosB.

（1）求角B的值：

（2）若a,b.c成等差数列，且b=3,求AB8ml面积.

19.（12分）已知递增的等比数列国）满足：a2-a3=8,ai+a4=9

（1）求数列瓜力的通项公式：

（2）设数列0卜bn=2（2n・l&（nWN.），求数列｛，｝的前n项

的和T„.

20.（12分）已知点A（・五,0）,B（五，0）,P是平面内

的一个动点，直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是

.1

2

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设直线I：y=kx-l与曲线C交于M、N两点，当线段

MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线I的方程.

21.（12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面

体中，而ABEF为正方形，AF=2FD.ZAFD=90°,且二面角D

-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

（1）证明平而ABEFJ.平面EFDC：

（2）证明：CD/7EF

（3）求二面角E-BC-A的余弦值.

22.（12分）已知0是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y

的焦点，过点F的直线交抛物线丁•A,B两点，茏AB的中点

为M,△OAB的屯心为G.

（I）求动点G的凯迹方程；

（口）设（I）中的轨迹与y轴的交点为D,力百线AB与x

轴相交时，令交点为E,求四边形DEMG的面积最小时直线

AB的方程.

2016・2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试

卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分60分.在

每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求

的.

1.（5分）设命题p：vxeR,x2+2>0.则~P为（）

2

A.3x0€R.xg-^2^0B.3XQ€K,x（）f2^0

2

C・3X0€R.X0*2<0D,VxGR,x2+2W0

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

2

即「P：3x06R,I0*2<0*

故选：B

2.（5分）等差数列｛aj前n项和为Sn，公差d=-2,Sj=21,

则31的值为（）

A.10B.9c.6D・5

【解答】解：公差d=-2,S3=21,

可得3a吗X3X2X（-2）=21,

解得ai=9,

故选:B.

3.5（分）.ga4是七辛的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.不充分也不必要条件

【解答】解:当a+2kn时，满足88a=1但a4不一定成

立，即充分性不成立,

当a《时，cosa］成立，即必要性成立,

则“但a岁是“a的必要不充分条件，

故选：C

4.(5分)已知向量装(2.1.4),b=(1.0.2),且与

kW-E互相垂直，则k的值是()

A.1B.1C.1D.1^.

5531

［解答］解：a+b=(3,1,6).ka-b=(2k-l»k»4k-2)»

k；-E互相垂直，.'.3(2k-1)+k+6(4k-2)=0»

解得T，

JI

故选：D.

5.(5分)在AABC中，若AB的,BC=3,ZC=120\则AC=

()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：在△ABC中，若AB孙BC=3,ZC=120\

AB2=BC2+AC2-2AJBCC0SC,

可得：13=9+AC2^3AC,

解得AC=1或AC=-4（舍去）.

故选：A.

6.（5分）若双曲线二-七1的一条渐近线经过点（3.-4）,

ab

则此双曲线的离心率为（）

A.近B.1C.AD.-5.

3453

【解答】解：双曲线的一条渐近线经过点（3.・4）,

ab

可得3b=4a,即9（c2-a2）=16a2»

解得

a3

故选：D.

7.（5分）若a,b均为大于1的正数，且ab=100,则lga・lgb

的最大值是（）

A.0B.1C.2D.1

2

【解答］解：Va>l,b>l,Alga>0,lgb>0

/.lga»lgb^（组产_）2=（号D2=1

当且仅当a=b=10时等号成立

即Iga-lgb的最大值是1

故选B.

8.（5分）已知数列｛aj：31=1.%”=24+3,（n€N*）»则3n=

（）

A.2n1-3B.2n.ic•2n+lD.2n-2-7

【解答】解：由&]=2中,（nd），

得an.1+3=2（an+3）!

Vai+3=4^0.

・•・数列佰广3）是以4为首项,以2为公比的等比数外,

则%+3=4X2n■£叫

tt+1

：•an=2-3-

故选:A.

9.（5分）若直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）平分圆x2+y2

-2x-4y-6=0,则2+1的最小值是（）

ab

A.2-V2B.V2-1C.3+2V2D.3-2A/2

【解答】解：由题意可得直线2ax*by-2=0（a>0,b>0）

经过圆乂2+.・2乂・4丫・6=0的圆心（1,2）.

故有2a+2b=2,即a+b=l.

再根据2+J3ZL+空3+2,瓯1=2+2小当且仅当

abababYab

与咿r,取等号，

故24的最小值是3」2b，

ab

故选：C.

y>0

10.(5分)设X,Y满足约束条件则Z=x-2丫的取

x+《3

值范围为()

A.(-3,3)B.[-3,3]C.[-3,3)D.[-2,2

【解答】解：由z=x-2y得y?咔.

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分具

平移宜线区.，

由图象可知当直线产/牛过点C(3,0)时，直线收"肯

的截距最小，此时Z最大，

代入目标函数z=x-2y,得z=3,

，目标函数z=x-2丫的最大值是3.

当直线V=1L1,过点B时，直线丫=分号的截距最大，

此时z最小，

由卜VT，得卜咒即B(1,2)

(x+y=3\y=2

代入目标函数z=x・2y,得z=l・2X2=・3

・••目标函数z=x-2y的最小值是・3.

故・3WzW3,

故选：B

11.（5分）如图过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的出线依

次交抛物线及准线于点A,B.C,若|BC=2BF，且AF=3,

则抛物线的方程为（）

【解答】解：如图分别过点A,B作准线的垂线，分别交准

线于点E,D.

设|BF：=a,则由已知得：BC=2a.

由定义得：BD|=a,

故NBCD=30°,

在直角三角形ACE中，

VAF=3.AC|=3+3a.

.*.2AE=AC

・・・37a=6,从而得a=L

VBDZ^FG.

•12

,TV

求得p=1.

因此抛物线方程为y2=3x.

12.（5分）在锐角4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,

b.c.若£[.=挈，a=2,SAAI<.^/2»则b的值为（）

A.V3B.呼C.272D.2V3

【解答】解：•・•在锐角^ABC中，sinA邛，S..ABC=V2.

/.bc=3.①

又a=2,A是锐角，

**COsA='/l-sin2A=J,

:,由余弦定理得：a2=b?+c?-2bccosA,

即(b+c)2=a2+2bc<1+cosA)=4+6(1+工)=12,

3

.\b+c=2V3@

由①©得：e32e

lbc=3

解得b=c=V3-

故选A.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）若/\ABC中，AC=V§，A=45%C=75\则BC=_V2__.

【解答】解：・.・AC=/，A=45\C=75°,8=180°-A-C=60\

，由正弦定理合告，可得：BC二AOsinA

sinBsinAsi.nB7T^

2

故答案为：V2.

+

14.(5分)己,如数列：a/；曲足：hg3an+l=log3anfpGi€N)»

且a2+a/a6=9,则log[3小/叼)的值为-5.

T

11

【解答】解：由】。町3n+l=log(n6N*)»得bg33an

=IOg38nl»

••a(vi=3ac，11.品＞。，

，数列｛an｝是公比为3的等比数列，

乂32*34'86=9,••a5+a7*a9=^a2+a4+a6^，Q：^^5"

+a+a=q5=-

••log](a579^^*i35,

TT

故答案为：-5.

15.(5分)设不等式(x-a)(x+a-2)VO的解集为N.若

x£N是2)的必要条件，则a的取值范围为

总或*1—•

【解答】解：若x£N是正乂乂4.2)的必要条件，

则MGN,

若a=l时，不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集N=c,此时

不满足条件.

a<la<l

若aVl,«ijN=(a,2-a),则满足2'^2,得,此时

aW・工,

2

>1a>l

若a>l,则N=(2-a・a),则满足,得*2,此时

2-a<4a>2

a美，

综上KT•或»

故答案为：或a)|

16.(5分)已知椭圆g+ElOb〉。)的左、右焦点分别为Fi，

a，b"

F2,过FL且与X轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF?

与椭圆的另一个交点为C,若丽=2用，则椭圆的离心率为

5-

【解答】解：如图,

_

'・•不=2庭，/.yc=--FlXcC=C»得Xc=2c.

**.C（2c.白，代入椭圆加琮iQ〉b〉O）,

2aa2b2

晔+*1，即5c2=a2,解得。噂.

故答案为：亭.

三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知正项数列伯/的前n项的和为Sn，旦满足:

2S"+an，（nGN，）

（1）求anaz，as的值

（2）求数列｛aj的通项公式.

【解答】解：（1）由2Sn=a/+an'取n=l,得2si=2ai=a[2,a/

Van>0,ai=l,

2

取n=2,^2（1+»2）=02*02*解得*=2,

取n=3,得ZGS%"","，解廿3；

（2）V2①

2Sn=n+ant

TSirHf5日

②-①得（+）（），

anianani-an_1=0

•3n-->0»••a<vl+an->0,则3n*l-3n=l»

・•・{aJ是首项为1,公差为1的等差数列，

（）

an=l+n-1Xl=n.

18.（12分）在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,且bcosC=（2a-c）cosB.

（1）求角B的值；

（2）若a,b,c成等差数列，且b=3,求ABBiAi面枳.

【解答】《本题满分为12分）

解：（1）*.*bcosC=（2a-c）cosB,

:,由正弦定理sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB*

/.sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,...（2分）

/.sin（B+C）=2sinAcosB....（3分）

又A+B+C=n.

.'.sinA=2sinAcosB....（4分）

•i

,•cosB''

又B为三角形内角...（5分）

B=；.“（6分）

（2）由题意得2b=a+c=6,...（7分）

又B=y>

■『壮2-卜2二Q+c)2_2ac-9

••cosB^（9分）

2ac2ac

...ac=9“.(10分)

A

SAABC4acSinB=-^...(12分)

19.(12分)己知递增的等比数列｛aj满足：a2*a3=8,ai+a4=9

(1)求数列｛aj的通项公式:

(2)设数列0)，bn=2(2n・l凡(n£N»求数列®｝的前n项

的和Tn.

【解答】解：(1)由题意，得a2a3=aE4=8.又a】-a4=9.

所以8i=lra&=8,或a产8,34=1,

由⑸｝是递增的等比数列，知q>l所以a】=La4=8,且q=2,

11-1n1n:L

**,an=ajq=1X2=2,即an=2":

n

(2)由(1)得bn=2(2n-l)an=(2n-l)2»

123n

^fWTn=l-2*3-2*5-2+-+(2n-l)-2

所以2Tn=l・22+3・23*5・2°+”r(2nT)・2"。

两式相减，得

・Tn=l，2"2(22+23♦…+2,・(2n・l)2i

nH

得1n=(2n-3”2+6.

20.（12分）已知点A（・e,0）,B（依，0）,P是平面内

的一个动点，直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是

,1

2'

（1）求动点P的轨迹c的方程;

（2）设直线I：y=kx*l与曲线C交于M、N两点，当线段

MN的中点在直线x+2y=0上时，求百线I的方程.

【解答】解：（1）设PG,y）Q声士&）,

由Q・k丽后•志=£

整理得＜+y2=l,x/土正

（2）设MN的中点坐标为（xo.y0）,

联立T+y=1得（2k2-l）xz+4kx=0.

y=kx+l

所以x（）4^-，y0=kx0+l=一^―

°2k2.1002k?+l

由Xo+2y0=O,得k=l,

所以直线的方程为：y=x+l

21.（12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面

体中，而ABEF为正方形，AF=2FD.ZAFD=90°,且二面角D

-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

（1）证明平而ABEFJ.平面EFDC：

（2）证明：CD〃EF

（3）求二面角E-BC-A的余弦值.

【解答】证明：（1）YABEF为正方形，・・・AF_LEF.

VZAFD=90\AAF-LDF,

'."DFnEF=F,

，AF_L平而EFDC,

VAFC平面ABEF,

・•・平而ABEF1平面EFDC.

(2)由AF±DF,AF1EF.

可得/DFE为二面角D-AF-E的平面角，

由CE±BE,BEXEF,

可得/CEF为二面角C-BE-F的平面角.

可得/DFE=NCEF=6CT.

・・・AB〃EF,ABC平面EFDC,EFu平面EFDG

，AB〃平面EFDC,

V平面EFDCn平面ABCD=CD,ABC平面ABCD,

.*.AB/7CD,；.CD/7EF.

解：(3)以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a,

则E(0,0,0),B(0.2a.0),C(乌,0.^la),A(2a.

22

2a,0),

EB=<0»2a.0),BC=(亘,-2a.XB=(-2a，0.0)，