2020-2021学年喀什地区喀什二中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年喀什地区喀什二中高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知tan>0,贝！Jsina•cosa的值()

A.恒为正数B.恒为负数C.恒为零D.可能为零

2.多项式/一2»-3)，2分解因式的结果是

A.-(x+y)(x+3力B.(x+y)(x-3y)

C.-(x—y)(x—3y)D.(x+y)(x-3y)

3.在△ABC中，若四出=萼，贝以48。为()

y-zrnD'

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

4./(x)=_%的定义域是()

A.(-oo/O)B.(-oo,-l)C.(-8,1)D.(-oo,l]

5.若叵|,冈，网，贝I]

A.回B.0C.□D.0

6,函数/'(%)=2一x+2的零点所在的一个区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

7.定义在R上的函数y=f(x)满足:对于任意实数均、%2。1**2)，有>3(%+不)成立,

函数g(x)=/(2%)+收匚I—Q2/+y)，则以下说法中正确的是()

A.函数y=/(尤)在[1,+8)上可能单调递减

B.函数y=/(x)在(-8,-1]上不可能单调递增

C.对于任意修，x2£[1,+8)且丰久2,有胆上皿<—3(尤1+久2)成立

%1—％2

D.对于任意%1，%2E[1,+8)且久1H%2，有久2)>一3(%1+%2)成立

8.在ABC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,若cos2B+3cosQ4+C)+2=0且a,b,c成等

比数列，则cos4-cosB=()

i12

B.更c.D.

4423

9.在AaBC中，角a,B,C所对边的长分别为a,b,c.若炉+C2—a2=国儿，贝!]sin(B+C)=()

A.-HB.国C.-HD.回

3

10.若a=En0.4,b=0.2,c=log23,则a,b,c的大小关系正确的是()

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

11.在△ABC中，ZC=90°,点M在边BC上，且满足BC=-CM,若tan/BAM=则sin/MAC=()

38

A,更或也D.在

513C44

12.已知/(%)是奇函数，当x20时，/(%)=2x(1-%),则/(—2)=()

A.4B.2C.—4D.—2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

sin7rx,xE[0,2]

八U0_L现有下列结论：

{-/(X-2),x£(2,+oo)

①任取%i，X2G[2,+oo),都有-/■(久2)I<1；

②函数y=/(%)在[4,5]上先增后减；

③函数y=f(%)-ln(x-1)有3个零点；

④若关于式的方程/(x)=m(m<0)有且只有两个不同的实根石,X2,则+*2=3.

其中，正确结论的序号为.(写出所有正确命题的序号)

14.已知实数a、b满足等式b下列五个关系式:

@0<b<a；(2)a<b<0；@0<a<b；@b<a<0；(5)a=b.

其中所有不可能成立的关系式为.(填序号)

15.对于函数/(尤)，g(x)和区间D,如果存在XoeD,使得|/(%o)-g(%o)lW1,则称x()是函数f(%)与

g(x)在区间D上的“互相接近点”,现给出两个函数：①/(吗=/+2,g(x)=2x；②f(x)=等,

g(x)=2；(3)/(%)=e~x+1,g(x)=(4)f(x)=Inx,g(x)=力厕在区间(0,+8)上存在

唯一“互相接近点”的是.

r5_2,1£

3，2,

16.已知函数/(%)=•3函数g(x)=as讥©%)-2a+2(a>0),若存在%1，x2e

——%+-,%£[0,-16”

\36L①

[0,1],使得/(%。=g(%2)成立，则实数a的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(1)设a。攵兀+](左£Z),直接用任意角的三角比定义证明：sec2a-tan2a=1.

(2)给出两个公式：(i)tana=黑②cos©-a)=sina.

请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan(^-«)=^.

18.如图，矩形4BCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点4在坐标原点。处，

B,。分别在无轴，y轴上，AD=3百米，AB=a百米(3<a<4)观光区中间叶形阴影部分MN是

一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数y=：(lWxW2)的图象的一段.为了便于游客观光,

拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计)，要求其与人工湖左下方边缘曲线段倔相

切(切点记为P),并把该观光区分为两部分，且直线，左下部分建设为花圃.设点P到的40距离

为3f(t)表示花圃的面积.

(1)求花圃面积/«)的表达式;

(2)求/(t)的最小值.

l-r8+这碱双>.

19.(本题满分8分)已知奇函数“锹磁=讨@i0；=颈

E硫碱甯喧噂

(1)求实数爪的值，并在给出的直角坐标系中画出岁=/($)的图象;

(2)若函数¥飞礴:在区间［-1,：硼-2］上单调递增，试确定潮的取值范围.

20.已知向量五=(2s讥2/1),=(1,-1),xeR.

(1)当％=〈时,求下列Z+石的坐标;

(2)若函数/(%)=五不+3，问：久为何值时，/(%)取得最大值？最大值是多少？

21.已知向量磔=卷霞遍,有g»ll磁额=解网跖5EW喊:，函数，燃=嬴耳’

(I)求函数频域:在j-卷/।上的值域；

(n)当您史斛梅时，若彳与后共线，求密的值.

22.已知定义域为R的函数/Q)=舟是奇函数.

(1)求a的值;

(2)用定义证明f(x)在(-8,+8)上为减函数.

(3)若对于任意teR,不等式/'(/一2t)+f(k-2/)>0恒成立，求k的范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：•.，tan>0,

・•・sina>cosa同号，

•••sina•cosa>0.

故选：A.

由tan>0,可得sina、cosa同号，即可得出结论.

本题考查三角函数值的符号，考查学生的计算能力，比较基础.

2.答案：D

解析：解：由题意得：

X?_2XV_3y2=X2—2XV_2y2_y2—工？__2+V)

二(x+歹)(x-y)_2y(x+y)=(x+y)(x-3y)

故选。.

3.答案:C

解析：解：在△ABC中，若虫=萼，

tanBsmzB

sin/.

可坦cosA_sin'

J付史史-sijB，

cosB

可得：sinBcosB=sinAcosA,

即sin2A=sin2B.

可得24=2B,或24+2B=7T,

即A=B或4+B=p

故选：C.

利用切化弦以及二倍角公式化简求解即可.

本题考查三角形的判断，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.

4.答案:D

解析：

本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题.

根据偶次根式的性质，从而列出不等关系1-久NO,解不等式后，即得答案.

解：根据偶次根式的性质，从而列出不等关系1-x20,

即x<1,

故函数/(%)=VFV的定义域是

故选：D.

5.答案：C

解析：试题分析：□□□

考点：指数函数和对数函数的性质.

6.答案：B

解析：解：函数/'(无)=2一%+2是连续减函数，

•."(3)=:3+2<0,

/(2)=^-2+2>0,

由零点判定定理可知函数的零点在(2,3).

故选：B.

判断函数的单调性，由零点判定定理判断求解即可.

本题考查了函数零点的判断，属于基础题.

7.答案：D

解析：解：A：当看,小€[1,+8)时，则”:)二但)>3(/+冷)>0,••・函数/(%)在[1,+8)单调递

xl-x2

增，错误.

B：当X],%26(-8,-1]时，X1,+x2<0,若y=/(x)在(一8,-1]上单调递增，则”:)>0>

xl—x2

3(%1+%2)成立，

即y=/(%)在(-8,—1]上可能单调递增，.出错误.

-1-12x

C,D-.当/，*26[1,+8)时，g(X1)-5(X2)=[f(2x0+(l+V^l)]-|/(2^2)+

Vx2-1_(12好+V%2)]

X

=[7(2久1)一/(2%2)]-12(%1+%2)(%1-X2)+(7^1-1-72-1)一(圾)一+伍)，

.g(%i)-g，2)_f(2%i)-f(2%2)_⑵1+久)+1_i

，

Xr-X2%1-%2112)y/x1-l+y/x2-lV^l+V^2

"2y2)“2：)T)%2),

•••>3(X]+%2),...磐>3(2%1+2刈)，即>12a+

g(xi)-g，2)_i_-1

+3(x+x)>+3(/+犯)，

1

Xi"X2'"后五+四五低+限'1

______________________11

当X〉久2e[1,+8)时，,久1-1<圾，,尤2_1<国,•,-7^1+#^>凤+阮'

g(X1)flfe)

~+3(%1+x2)>0,;.C错误，D正确.

%]一%2

故选：D.

根据函数的单调性的定义和性质，以及利用作差法证明不等式对各个选项进行判断，从而得到答案.

本题考查函数的单调性的定义和性质，以及利用作差法证明不等式，考查计算能力，属于难题.

8.答案：A

解析：解：由cos2B+3cos(4+C)+2=2cos2B—3cosB+1=0,

•••cosB=]或cosB=1(舍).

・•.B=-.

3

由a,b,c成等比数列，得炉=ac,

ia2+c2-b2

•••cosB=-=a+c-ac,得(a—c)2=0,即。=一

22acOZ-I/-、/

，a=B=c屋

11]

则cos/•cosB=

224

故选：A.

由已知等式求得B,结合余弦定理可得△ABC为等边三角形，则答案可求.

本题考查三角形的余弦定理、正弦定理的运用，考查等差数列中项性质，以及化简整理的运算能力,

属于中档题.

9.答案:B

解析：b2+c2-a2=区be=>cosA=区=回，sin(B+C)=sinA=区.

10.答案：D

解析：解:a=InOA<Ini=0,

b=0.23=0.008,

c=log23>log22=1,

故选：D.

分别确定三个数的取值范围或取值，从而比较大小.

本题考查了对数运算及对数函数的单调性应用，属于基础题.

11.答案：A

解析：

设=乙CAM=0,BC=4BM=4x,AC=h,运用两角和差的正切公式，求得％,x的关

系，再由解直角三角形的正弦函数可得所求值.

本题考查了三角形中的几何运算，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.

解：■：BC=-CM=BM+MC,除

3P\\

3BM=CM,h\\

设NBA"=a,^CAM=夕，BC=4BM=4x,AC=h,\\x

1

tanZ-BAM=

8

又。tan/?=Xtan(a+0)=*,

4X3XX

・•・tana=tan(a+£—£)=\Ax=—=g,整理解得：h=2汽或九=6%,

1+VTi+置8

.n〃A—CM3x3x3，13-P-3xV5

••・sin乙MAC=一=f、、==——或一^=—.

AMA/9%2+九2Vi3x133V5x5

故选：A.

12.答案:A

解析：解：设％VO,则一%>0.

,・,当%>0时,/(x)=2x(1—x),

・•・/(—%)=—2x(1+%).

•・・y=/(%)是奇函数，

•••f(x)=_/(-%)=2x(1+%).

故/(-2)=4,

故选：A.

利用奇函数的性质即可得出.

本题考查了奇函数的性质，属于基础题.

13.答案：①②③④

sinnx,xE[0,2]

j/(x-2),xe(2,oo)-

{+

当xe[2,+oo)时，函数/O)的最大值为点最小值为一5

所以任取%1，%26[2,+8),都有-/(%2)|41恒成立，①正确；

当％E[4,5],x-4E[0,1],故/(%)="(%-4)=1s讥7Kx-4)=^sinnx,函数先增后减，②正确；

sinnx,xE[0,2]

{-simix,xe(2,4],

-simix,xG(4,6]

:|A/

画出函数图象，如图所示：根据图象知，函数有3个零点，故J\_Z_A__一—

|y

③正确；

/■(X)=zn(m<0)有且只有两个不同的实根%,x2,根据图象知-1<zn<根据对称性知/+

%2=3,故④正确；

故答案为：①②③④.

利用已知条件结合分段函数，求解函数的最值然后判断①的正误；判断函数的单调性判断②的正误;

利用函数的零点个数判断③的正误；利用函数的零点以及对称性判断④的正误；

本题考查函数与方程的应用，函数的零点以及函数的单调性的应用，考查数形结合，是中档题.

14.答案：③④

解析：条件中的等式。2a=3匕0alg2=〃g3,若a力0,则一,^(°」),

:瀛J1吸

(1)当a>0时，有a>b>0,即关系式①成立，而③不可能成立；

(2)当a<0时，则b<0,b>a,即关系式②成立，而④不可能成立；

若a=0,贝肪=0,故关系式⑤可能成立.

15.答案：①④

解析：解：对于①：由/(x)-g(x)=%2-2x+2=(x-I)2+1,显然，当x=1时，取得最小值1,

符合题意，显然只有x=l符合”相互接近点”定义，所以①符合题意；

对于②：由令%(%)=-/(%)+g(%)=-子+2,则"(%)=:，当〃(%)>0,则%>e,令八'(%)<0,

0<%<e得所以函数%(%)在(0,e)上递减，在(e,+8)递增，所以％=e时，h(x)min=/i(e)=2-

故1/(殉)一9。0)122-十，故在(0,+8)不存在“相互接近点”，所以②不符合题意；

对于③：因为当％>0时，e~x>0,贝1加一％+1>1,而此时—：<0,故f(%)-g(%)>1当％>0时

恒成立，故在(0,+8)不存在“相互接近点”，所以③不符合题意；

对于④：令九(%)=x—Inx,则//(%)=1—p令//(%)>0,则％>1,令"(%)<0,得0V为V1,

所以函数％(X)在(0,1)上递减，在(1,+8)递增，所以久=1时，h(x)min=h(l)=1,故当%>0时，

存在唯一的“相互接近点”，故④符合题意，

故答案为：①④.

由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个久0,使得1/(a)-g(x0)lW1即可，因此只需构造

函数％。)=f(x)-g(x),利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决

本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分

析问题的能力.

16.答案：

解析：解：当xe[0为时，/(%)=-i%+ie[0,i]

N366

当久eG，l]时，/(x)=|x-|e(i,l]

故当%1G[0,1],/(%i)6[0,1],

又・・・函数g(%)=asin(^x)-2a+2(a>0)在[0,1]上为增函数，

・•.g(x)=asin(^x)—2a+2G[g(O),g(l)]=[—2a+2,—|a+2],

若存在%i，x2w[0,1]，使得f(%i)=g(%2)成立，

则[—2a+2,--a+2]A[0,1]W0,

即0W—3a+2W1f或0W—2a+2W1,

解得：a6[|,|]U[|,1]=E，§，

故实数a的取值范围是：E，§,

故答案为：百刍

求出两个函数的值域4B,右存在%i，久2e[0,1],使得/'Qi)=g(%2)成立，则表示anB不是空集,

进而得到实数a的取值范围.

本题考查的知识点是方程的根,存在性问题,集合关系的判断,其中将已知转化为两个函数的值域4

B的有公共元素，是解答的关键.

17.答案:解：(1)证明:设aHk7T+](k6Z),在a的中边上任意取一点PQ,y),r=|0P|=Jx2+y2,

sec2a-tan2a=[一[="了"—[=马=i,即sec2a-tan2a=1.

(2)证明：•・•(l)tana=^@cos(^一a)=sina.

・•・：tan(--a)=‘皿二")==cota=,即tan(巴一a)=

2cos(--a)sinatana2tana

解析：(1)直接利用任意角的三角函数的定义证得sec?。-tan2a=1.

(2)由已知条件利用诱导公式，证明tan©—a)=熹.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题.

18.答案：解：(1)由题意可知P(t,|),y'=-^

故过点P的切线方程为y-|=-^(%-t),

即y=一如+?(i<t<2).

切线/与％轴的交点为(2t,0),与y轴交点为(0,》.

4a

当

时

①即<t<

----

32

2

切线左下方区域为直角三角形，

14

.•./(t)=1x2tx^=4；

2t>a

7<3,即1<tW2时,

(1<t<2

切线左下方区域为直角梯形，

2

•・•〃«/)、=51G/4+,4=t-2)a\a=4kat-a；

(2t<a

③当，>3,即lWtV泄,

11<t<2

切线左下方区域为直角梯形,

+2t),3=6t—t?.

94

t21<t<

6t----

4，3

4a

%<t<

----

综上，f(t)=32

(2)当1Wt<［时,/(t)=6t-92H产+%

由二次函数性质可知〃t)min=/(l)=£<4;

当£<W2时，f(t)=若纥f(t)=2H；2t)<0,

・・・4)在或2］上单调递减,

/(t)min=f(2)=2a_9=_］(a_4)2+4s4：

下面比较2a-贮与学的大小，

44

当3<a<4时，2a—1>印则/⑷机标=g

444

当a=3时，2a—・=则/(力)租讥=丁.

444

15

"f(t)mbi=丁.

解析：本题是应用题，考查的是导数知识，得到的数学模型是分段函数，考查了分类讨论的思想，

研究函数最小值用到配方法、导数法，综合性较强，属于难题.

(1)由导函数得到切线的斜率，通过切线的方程研究切线与%轴、y轴的交点坐标，根据交点位置确定

图形的形态，得到所求的函数解析式；

(2)对(1)所求得的分段函数进行分段研究，分别用配方法和求导法求出各段上的最小值，再比较它

们的大小，从而得到函数的最小值.

19.答案:(1)2,图像见解析；(2)1*：翻七整。

解析：试题分析：(1)当x<0时，一x>0,/(%)=-(%)2+2(-%)=-%2-2%,

又/(%)为奇函数，"%)=-/(-x)=x2+2x,

所以?n=2.......3分

的图象略….…5分

:解演喙

(2)由⑴知¥燧=•!%,=嚼，由图象可知，/(感在［—1,1］上单调递增，要使.久感

标“：顺

在［-1,碱-2］上单调递增,只需丰特《解之得］L*：醐■工整8分

Vi:魏一aw1

考点：本题考查分段函数；函数的奇偶性；函数的单调性；函数的图像；函数解析式的求法。

点评：本题求舒《：80寸翼:蹴的解析式是关键。利用函数的奇偶性求函数的解析式，一般情况下，求

谁设谁，然后再根据侬与，“的关系进行转换。

20.答案:解：(1)由题知：b—(1,-1)>

当刀=沏，五=(2si/31)=1),

--a+b=(i,1)+(1,-1)=(1+1,1-1)=(|,0).

故五+b的坐标为(|,0);

(2)a.-b=1x2sin2x+1x(-1)=2sin2x—1,

那么：/(x)=a-b+3

=2sin2x—1+3

/(%)=3—cos2x,

由余弦函数的图象及性质，可知：

当2%=2而+兀时，/Q)取得最大值，即/(x)max=3+1=4,此时x=+CZ)时，

故函数/(X)有最大值为4,此时x=/OT+^(keZ).

解析：(1)当x