因素模型与套利定价理论

第六章

因素模型与套利定价理论因素模型YOURSITEHERE定义1：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。YOURSITEHERE作为一种回报率产生过程，因子模型具有以下几个特点。第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关——一起运动——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的。第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子的运动无关。YOURSITEHERE因子模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量刻画证券组合对因子的敏感度YOURSITEHERE单因素模型(单指数模型）的提出●在确定有效组合时估算中计算量最大的部分是协方差的计算●经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，因为相同的经济因素影响着许多公司的命运，可将公司外部的因素看成是一个经济周期的变化、市场利率水平的波动、通货膨胀的影响、影响全局的技术创新（计算机技术、通信技术是最典型的例子）、生产成本和劳动力价格的变化等这些带有全局性或宏观性的因素会对几乎所有的公司都产生影响，而且影响的方向是一样的，尽管程度不完全一样，因此，夏普考虑，既然这些因素的影响差不多，是否可以将存在于公司外部的影响公司股价的因素都看成是一个因素，YOURSITEHERE微观因素除此之外，影响公司股价的就都是公司内部特有因素，譬如公司的战略、公司的市场营销策略、公司的内部管理等因素。由于这些因素对每个公司的影响是不确定的，即有的公司出现这样的问题时其他公司不一定会出现一样的问题。因此，从总体上说，这类因素对公司股价的影响的期望值是零。●内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。YOURSITEHERE单因素模型夏普提出单因素模型：ri=E(ri)+mi+eI

可将宏观因素定义为F，将股票i对宏观经济事件的敏感度为

I，有：ri=E(ri)+

iF+eI

YOURSITEHERE单指数模型的提出●宏观因素不确定，且各宏观因素的权重无法确定●夏普用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素，有单指数模型：股票收益公式为Ri=αi+

iRM+eI

●Ri=ri-rf是股票超过无风险收益的超额收益，αI是当市场超额收益率为零时的期望收益，

I是股票i对宏观因素的敏感程度，RM=rM–rf是市场收益超过无风险收益的超额部分，

iRM合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；eI是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。

YOURSITEHERE单指数模型的提出●αI是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。●

eI是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。●真正影响股票期望收益的是iRM，要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度

I。●由于Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。YOURSITEHERE单指数模型的意义●减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：σ2I=

2iσ2M（RM

）+σ2(ei)●非系统风险独立于系统风险，因此RM和ei的协方差为0。ei是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率Ri与Rj的协方差，都与市场因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为Cov(RI，Rj)=Cov(

iRM，

jRM)=

i

jσ2M

●现在需要的估算量为：n个期望超额收益E(RI)的估计，n个公司

i的估计，n个公司特有方差

2(ei)的估计和1个宏观经济因素的方差

2M的估计。现在的估算量是3n+1。●再看上海、深圳1400种股票的例子，现在只需要估算4201种（原来是多少）。YOURSITEHERE单指数模型的几何表达单指数模型可以表达为一条截距为αi，斜率为

I的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。YOURSITEHERE单指数模型和风险分散●单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统风险并不变化。●假定一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益为：Ri=αi+

iRM+ei●整个资产组合的超额收益为：RP=αP+

PRM+eP

●等权重资产组合的超额收益可以表示为RP=∑wiRi=1/n∑Ri=1/n∑(αi+

iRM+eI)=1/n∑αi+(1/n∑

i)RM+1/n∑ei

●由于

P=1/n∑

I；αP=1/n∑αi，是一个常数；eP=1/n∑eI，因此资产组合的方差为σ2P=

2Pσ2M+σ2(eP)

YOURSITEHERE等权重资产组合方差的分解●定义

2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增加而变化。●定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。●这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系统方差。YOURSITEHERE等权重资产组合方差的分解（2）YOURSITEHERE单指数模型与CAPM模型的关系

●按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为Cov(Ri，RM)=Cov(

iRM+ei，RM)=

iCov(RM，RM)+Cov(ei，RM)=

iσ2M●上式所以成立，是因为由于αI是常数，它与所有变量的斜方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此Cov(ei，RM)=0。可推导出

I=Cov(Ri，RM)/σ2M

YOURSITEHERE单指数模型与CAPM模型的关系（2）

●在推导CAPM模型中，也有

i=Cov(Ri，RM)/σ2M成立，即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。●因此，CAPM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=αi+

iRM+ei两边取期望，有

E(ri)–rf=αi+

i[E(M)–rf]。与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为零的取期望的单指数模型。

YOURSITEHERE单指数模型举例——清华同方（1）假定有反映中国股市整体情况的中证300指数，有无风险利率存在。估算期为1年，计算出每月同方公司的平均收益水平和中国股市月平均收益水平（虚拟数据），结果如下。

YOURSITEHERE单指数模型举例——清华同方（2）同方股票的超额收益与市场超额收益的关系有下式：RTFt=αTF+

TFRMt+eTFt

将这12组数据带入上式进行回归，得到结果如下：YOURSITEHERE单指数模型举例——清华同方（3）截距为-0.11%，斜率为0.36，残值的方差反映了同方公司特有因素对同方股票收益的影响程度，表中的R2表示的是rI与rM之间的相关性的平方，它是总方差上的系统方差，它告诉我们公司股价小量波动是由市场波动造成的。YOURSITEHERE单指数模型的局限性●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。●它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。YOURSITEHERE多因素模型（1）多因素模型的提出●系统风险包括多种因素●不同的因素对不同的股票的影响力是不同的（2）两因素分析模型假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单指数模型扩展成了两因素模型：Rt=α+

GDPGDPt+

IRIRt+et（3）例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。YOURSITEHERE一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。1．GDP的增长率2．短期国库券的利率水平3．长短期国债的收益率之差4.公司债与国债的收益率之差5.通货膨胀率6.石油价格7.技术进步YOURSITEHERE多因素模型●实际上影响股票收益的因素还不止两个。●法马与弗伦奇的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司的规模、帐面价值/市值比和股票指数：Rit=αi+

iMRMt+

iSMBSMBt+

iHMLHMLt+eit●陈、罗尔和罗斯的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG和长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：Rit=αi+

iIPIPt+

iEIEIt+

iUIUIt+

iCGCGt+

iGBGBt+eit第一简单，第二，选择最重要的因素。YOURSITEHERE套利定价理论YOURSITEHERE最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也表明证券的风险与收益之间存在着线性关系，证券的风险最大，其收益则越高。但是，套利定价理论的假定与推导过程与CAPM模型很不同，罗斯并没有假定投资者都是厌恶风险的，也没有假定投资者是根据均值-方差的原则行事的。他认为，期望收益与风险之所以存在正比例关系，是因为在市场中已没有套利的机会。传统理论是所有人调整，这里是少数人调整。一、套利定价理论YOURSITEHERE①股票的收益率取决于系统因素和非系统因素；②市场中存在大量的不同资产，是完全竞争的；③市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有；④投资者偏向获利较多的投资策略。罗斯的分析是从单因素模型开始的，即有：

r=E(ri)+biF+eI(6.1)我们假定，系统因素测度的是与宏观经济有关的新信息，它具有零期望值。非系统因素eI也具有零期望值。二、套利定价理论的假定前提YOURSITEHERE资产组合充分分散，非系统风险会完全分散掉。假定有一由n种股票按权重组成的资产组合，每一股票的权重为wi，因此有Σwi=1，则该资产组合的收益率为

rP=E(rP)+bPF+eP (6.2)这里，式中的bP是n种股票的bi的加权平均值，有bP=ΣwibI；式中的eP是n种股票与F无关的ei的加权平均值，有eP=ΣwIei。这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两部分，有

2P=b2P

2F+

2(eP) (6.3)rp=E(rp)+bpF (6.4)三、充分分散化的资产组合YOURSITEHEREStock

现价$ 预期收益% 标准差%A 1025.0 29.58B1020.033.91C10 32.5 48.15D 1022.5 8.58套利举例YOURSITEHERE

中值 标准差 相关性PortfolioA,B,C 25.83 6.40 0.94D 22.25 8.58 可以看出,由A,B,C三种证券(等权重)构成的组合在所有环境下都比D的表现好.所以,任何投资者,无论是否厌恶风险,只需对D做空头,然后再购买等权重的组合,就可以从中获得好处.假如卖空D300万美元,然后用于购买A,B,C各100万股,结果如下:套利组合YOURSITEHEREStock

美元投资(万元)收益(万元) A10025.0 B10020.0C10032.5D-300-67.5___________________________________资产组合010结果是:D价格下跌的同时A,B,C的价格上涨,或者只有D的价格下跌或只有A,B,C的价格上涨,这样套利机会就被消除了.套利行为与收益:计算YOURSITEHERE如果资产组合不是等权重的，结论仍然成立。假定有一由1000只股票构成的资产组合。我们令第一只股票的头寸为w%，令第二只股票的头寸为2w%，第三只为3w%，……，第一千只股票的头寸为1000w%。有w+2w+…+1000w=1，求解w，有500500w=1，w=0.0002%。那么，1000w=0.2%。这就是说，在这个非等权重的资产组合中权重最大的一只股票的头寸只占全部资产的0.2%，即占全部资产的1%的0.2。我们的结论是，只要资产组合是充分分散化的，无论是不是等权重的，非系统风险都会被分散掉。充分分散化的资产组合（2）YOURSITEHERE图中的实线显示在不同的系统风险下，一个bA=1的充分分散化资产组合A的收益情况。资产组合A的期望收益是10%，系统风险为0，由于bA=1，因此资产组合的收益为E(rA)+bAF=10%+1.0×F(6.5)

如果系统因素F为3%，那么，资产 组合的收益就为10%+3%=13%； 如果系统因素F为-3%，那么，资产 组合的收益就为10%-3%=7%。四、充分分散化的几何表达YOURSITEHERE图上还有一条虚线，它代表另一充分分散化资产组合B的收益。我们假定其收益的期望值为8%，且bB也等于1。那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？显然不行。因为不论系统因素为多大，A大于B都会导致套利机会的出现。所有的投资者都会愿意买入资产组合A，同时卖空资产组合B，无论系统因素为多大，都可以获得2%的套利毛利润。如果投资者的套利规模为1000万，套利的毛利润就是20万，还没有风险。在套利活动的作用下，两个资产组合的收益差会逐渐消失，相同贝塔值的充分分散化的资产组合的均衡收益是唯一的。一旦不再唯一，就有套利的机会，而套利会使收益差消除。充分分散化的几何表达（2）YOURSITEHERE首先，所有充分分散化资产组合的期望收益都是在无风险收益的基础上系统因素的线性函数，如果无风险收益为4%，系统风险为6%。当贝塔值为0.5时，期望收益为7%；当贝塔值为1时，期望收益为10%；任何贝塔值为0.5的组合期望收益都是斜线上同一点，如果不是，就存在套利机会，套利活动会使具有相同贝塔值，充分分散化资产组合的期望收益趋于相同。而所有贝塔值不同的资产组合的期望收益都会在同一条斜线上，一旦出现不在一条线的情况，实际就等于有相同的贝塔值，但期望收益不同，这当然会导致套利。五、不同贝塔值的风险溢价与贝塔成比例YOURSITEHERE假定市场资产组合是一个充分分散化的资产组合，其贝塔值为1，由于风险溢价与贝塔值成比例，所以，其期望收益等于无风险收益加上其风险溢价水平。其一般形式为E(rp)=rf+[E(rM)-rf]bP

这就是CAPM模型的一个表达式。这就是说，在套利机制充分作用下，当市场无套利机会时，即便没有CAPM的严格假设，风险溢价与贝塔值的关系和CAPM模型中的关系是基本一致的。显然，套利定价理论为利用指数模型提供了理论上的依据。六、套利定价与CAPM理论YOURSITEHERE1.APT大大简化了CAPM的假设条件.与CAPM一样,APT假定:拥有相同预期的投资者都是风险厌恶者,市场不存在交易成本.但是,APT的限制条件不像CAPM那样严格,其最基本的假设是证券收益率受某些经济因素的共同影响,但是没有限定这些因素的个数及内容.2.理论依据不同.APT建立在无风险套利原理上,认为市场在不存在套利机会时达到均衡,证券价格正是因为投资者不断进行套利活动而实现均衡.CAPM以均值-方差模型为基础,考虑当所有投资者以相同方式选择投资组合时,如何确定证券价格.APT与CAPM比较[1]YOURSITEHEREAPT与CAPM比较[2]3.市场均衡的形成原由不同.CAPM中,投资者具有相同的预期,当证券定价不合理时,所有投资者都会改变投资策略,调整资产组合.CAPM假定在投资者共同行为的影响下,市场重新回到均衡状态.按照APT,不需要所有投资者都对不合理的证券价格产生反应,即使只有几个投资者的套利行为也会使市场尽快回到均衡状态.4.联系.两者都是均衡模型:CAPM强调证券市场上所有证券的供需达到均衡,APT要求市场处于均衡状态从而使证券价格不存在套利机会.从某种意义上说,CAPM是APT