上海交通大学《高等数学》2008-2009学年期末试卷

J-1上海交通大学2008级《高等数学》第二学期期末考试解答（180A卷一单项选择题（每小题3分共15分1.设u(x,y)=(x+y)2+x−y+∫ψ(t)dt其中ψ(t)具有一阶导数则（（A=（B=−（C=（D=.解ux=2(x+y)+1+ψ(x+y)−ψ(x−y)uxx=2+ψ′(x+y)−ψ′(x−y)uy=2(x+y)−1+ψ(x+y)+ψ(x−y)uyy=2+ψ′(x+y)−ψ′(x−y)，答案A2.函数z=xy(3−x−y)的极值点是（）（A(0,0)（B(1,1)（C(3,0)（D(0,3).解1zx=3y−2xy−y2zy=3x−2xy−x2ABCD都是驻点zxx=−2yzxy=3−2x−2yzyy=−2xAC−B2=4xy−(3−2x−2y)2>0仅当(1,1)满足答案：B解2x,y对称C对D也对单选题故排除CDz=xy(3−x−y)≈3xy(x,y)≈(0,0)z≈3xy可正可负不是极值点答案：B3.设有空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0与Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0则（（A）∫∫∫xdV=4∫∫∫xdV；Ω1Ω2（B）∫∫∫ydV=4∫∫∫ydV；Ω1Ω2J-2（C）∫∫∫zdV=4∫∫∫zdV；Ω1Ω2Ω1Ω2解答案：C4.一个形如bnsinnx的级数，其和函数S(x)在(0,π)上的表达式为(π−x)，则S(x)在x=处的值S()=（）（A；（B−（C；（D−.3π3πππ111解S()=S(−2π)=S(−)=−S3π3πππ1112222224答案B5.若级数收敛，则a的取值范围是（）（Aa>0（Ba>（Ca>（Da>1.=(−1)na>0时收敛，，2a>1，即a>时收敛，答案C二填空题（每小题3分共15分6.设D={(x,y)|x|+|y|≤1}则二重积分∫∫(x+|y|)dxdy=__________Dz)j+(z2−2x)k则rotA=__________.1DD1J-3ijk∂x∂y∂zx2−∂x∂y∂zx2−2yy2−2zz2−2x8.曲面z=+在点(1,9,4)处的切平面方程是：________________.1122解n=(−zx,−zy,1)=(−,112211n|(1,9,4)=(−2,−6,1)或(3,1,−6)切平面3(x−1)+(y−9)−6(z−4)=0或3x+y−6z+12=09.设C为球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线，则∫x2ds=____C)ds=a2ds=a2⋅2πa=πa310.级数的收敛域为___________0,|x|<1解||=→,|x|=1收敛域为[−1,1]三计算下列各题（第1小题6分第2小题8分,共14分）11.设z=z(x,y)由方程F(2x−3z,2y−z)=0所确定其中F是可微函数求dz.zydy123F12J-42y2x2y2x1xx422x解I=∫dy∫2eydx22四计算下列各题（每小题10分共30分）13.设曲面∑为柱面x2+z2=1介于平面y=0和x+y=2之间部分，求∫∫zdS.∑分析：求柱面x2+z2=1部分的面积式I=∫∫zdxdyxyxy.用公式I=∫∫zdydzyzyz用S:z=±求导，√用S:x=±1−z2求导3.不能用公式I=∫∫zdxdzxzxz解∑1:z=,∑2:z=−∑∑1∑2∑1∑1zz14.计算∫dx+dy其中C为上半圆周y14.计算∫dx+dy其中C为上半圆周y=，方向从(1,0)到(0,0)，r=.Crr解1=−⋅＝=−⋅，J-5解2C:x=1+1cost,y=1sintt:0→π222∫dx+dy=∫dt∫dx+dy=∫dtCr3r320313(+cost−sint)222222215.计算∫∫(−2xy−y)dydz+(y2−1)dzdx+(x2+z)dxdy其中∑为曲面∑z=2−在xoy平面上方部分的上侧。解1Gauss公式取平面域∑1:x2+y2≤4，z=0∫∫=∫+∫∫∑∑+∑1−∑1+∑1+=π+2π⋅=π+2π⋅=π3243解2合一投影法：∑在xoy平面上投影区域Dxy:x2+y2≤4，n=(,,1)n=(,,1) J-6=(−2xy−y,y2−1,x2+z)⋅(,,1)dxdy=∫∫(++x+2−)dxdy−2x2y=∫∫(++x+2−)dxdyx2+y2≤4x2+y2≤4五（本题8分16.将函数f(x)=2arctanx+∫et2dt展开为x的幂级数.解1f'(x)=+ex2=2(−1)nx2n+x2nf(x)=∫f'(t)dt=[+2(−1)n]x2n+1（−1≤x≤1=[+2(−1)n]x2n+1（−1≤x≤1六（本题10分17.求数项级数(−1)n的和.解(−1)n=n2()n，J-7+(a−b)[f()+f()+L+f()] S+(a−b)[f()+f()+L+f()] =x[x()]′′=−1<x<1七（本题8分18.设f(x)在x=0的邻域内具有二阶连续导数，且lim=0,lim=0,f''(x)≥m>0。x→0x（1证明级数(−1)n−1fx→0x（2设a，b为任意常数，试讨论级数：111111 12342n−12naf()−bf()+af111111 12342n−12n的敛散性。解（1）由limf(x)=0得：f(0)=f′(0)=0，再由f''(x)≥m>0得：x→0x当x>0时，f(x)>0，f(x)是单调增函数，且limf(x)=0，→0故f()单调减且趋于0，所以(−1)n−1f()收敛。（2当a=b时级数=a(−1)n−1f()收敛。当a≠b时，11111111111 111S2n=af()−bf1111111