四川省南充市数列多选题试题含答案

四川省南充市数列多选题试题含答案一、数列多选题1．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.【详解】由于是等比数列，，所以，当时，，符合题意；当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.综上所述，的取值范围是.，所以，所以，而，且.所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.当时，，即.当或时，，A选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】AB【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.3．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．数列是公比为8的等比数列C．若，则数列的前2020项和为4040D．若，则数列的前2020项和为【答案】CD【分析】由等差数列性质可判断A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及，结合等比数列的定义可判断B；写出，由定义写出的表达式，进行分组求和即可判断C；，裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知，，故A错误；设的公差为，则有，解得，，故，，则数列是公比为的等比数列，故B错误；若，则的前2020项，故C正确；若，则的前2020项和，故D正确．故选:CD．【点睛】方法点睛:求数列的前项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.4．已知数列的前项和为，，且（λ为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.【详解】当时，，，解得：当且时，，即：数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，解得：又，或故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．5．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A． B．为的最小值C． D．【答案】AC【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.【详解】,,对于也成立，所以，故A正确；当时，,当n=17时,当时，,只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当时，,∴，故C正确；，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系,若数列的前项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.6．下列说法中正确的是（）A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有B．数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数，都有C．若数列是等差数列，则、、也是等差数列D．若数列是等比数列，则、、也是等比数列【答案】AC【分析】利用等差中项法可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C选项的正误；取，为偶数可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，充分性：若数列成等差数列，则对任意的正整数，、、成等差数列，则，即，充分性成立；必要性：对任意的正整数，都有，则，可得出，所以，数列成等差数列，必要性成立.所以，数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有，A选项正确；对于B选项，当数列满足时，有，但数列不是等比数列，B选项错误；对于C选项，设等差数列的公差为，则，，，所以，，，所以，，所以，、、是等差数列，C选项正确；对于D选项，当公比，且是偶数时，、、都为0，故、、不是等比数列，所以D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：（为常数，）；（2）等差中项法：；（3）通项法：（、常数）；（4）前项和法：（、常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：（为非零常数，）；（2）等比中项法：，，；（3）通项公式法：（、为非零常数）；（4）前项和法：，、为非零常数且.7．（多选）设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（）A． B． C．或为的最大值 D．【答案】BC【分析】根据得到，再根据得到，可得数列是单调递减的等差数列，所以或为的最大值，根据得，故BC正确.【详解】由得，，即，又，，，∴B正确；由，得，又，，∴数列是单调递减的等差数列，，或为的最大值，∴A错误，C正确；，，所以D错误.故选：BC．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出，进而推出是解题关键.8．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（）A．一定是直角三角形 B．为递增数列C．有最大值 D．有最小值【答案】ABD【分析】先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.【详解】由，得，，故，又，，，故一定是直角三角形，A正确；的面积为，而，故，故，又（当且仅当时等号成立），又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.二、平面向量多选题9．已知是单位向量，且，则()A． B．与垂直C．与的夹角为 D．【答案】BC【分析】两边平方求出；利用单位向量模长为1，求出；平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求与的夹角.【详解】由两边平方，得，则，所以A选项错误；因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确；则，所以，所以D选项错误；，所以，与的夹角为.所以C选项正确；故选：BC.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式.(2)若向量是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．解两个非零向量之间的夹角：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值.10．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是()A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证