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第二章一阶微分方程的初等解法§2.4一阶隐方程与参数表示§2.3恰当方程与积分因子§2.2线性方程与常数变易法§2.1变量分离方程与变量变换12024/5/12§2.2线性方程与常数变易法一、一阶线性方程二、贝努里方程22024/5/12一、一阶线性方程形如的方程称为一阶线性方程。当时，上面方程可变为(2.1)其中函数P(x)、Q(x)连续。若，系统(2.1)变为(2.2)32024/5/12我们称系统(2.1)为一阶非齐次线性方程，称系统(2.2)是一阶齐次线性方程。其中c为任意常数。为了求解方程(2.1)的解，我们可以设想将方程(2.2)的通解中的任意常数c看成是x的函数，它作为待定函数，来试图找出方程(2.1)的JIE7，即令由于系统(2.2)是可分离变量方程，容易求的通解为42024/5/12代入系统(2.1)，有则有两边积分，可得于是可知系统(2.1)的通解是52024/5/12求解一阶线性方程的小结：常数变易法，有62024/5/12例1求如下微分方程的通解。解：由于容易求得对应的齐次方程的通解为利用常数变易法，有代入方程可得72024/5/12经过整理，有两边积分，得于是所求方程的通解为82024/5/12例2求如下微分方程的通解。解:由于方程不是线性的方程，我们交换自变量和函数，有这是一阶线性方程，其对应的齐次方程为分离变量，得92024/5/12代入方程可得所求方程的通解是利用常数变易法，有102024/5/12例3求如下微分方程的通解。解：方程变形为作变换，令方程变为112024/5/12代入方程可得利用常数变易法，有所求方程的通解是的通解，容易得到解为先求对应齐次方程122024/5/12上连续，且存在，并例4设φ(t)在满足关系式φ(t+s)=φ(t)φ(s)，求φ(t)。解：因为

φ(0)=φ(0+0)=φ(0)φ(0)=φ2(0)故有φ(0)=0或φ(0)=1。(1)若φ(0)=1时，有132024/5/12容易求解为由φ(0)=1可求得c=1，于是有（2）若φ(0)=0

时，有因此在(1)中，取c=0即得到这个解。142024/5/12例5求如下微分方程的解解：整理，可得先求齐次方程的解，分离变量，有152024/5/12两边积分，有利用常数变易法，有(1)当时，有162024/5/12(2)当时，有综合可得172024/5/12二、贝努里方程形如的方程称为贝努里方程。其贝努里方程的求解方法为故令z=y1-n，则有这是一阶线性方程。此外，当n>0时，还有解y=0。182024/5/12例6求如下微分方程的通解。解：令z=y–1，则方程变为容易求得对应的齐次方程的通解为z=cx。利用常数变易法，有z=c(x)x，代如方程有192024/5/12于是有故所求微分方程的通解是202024/5/12例7求如下微分方程的解解：整理，可得令，有212024/5/12再令，则有先求对应齐次方程的解，分离变量，容易求得利用常数变易法，有222024/5

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