解析几何 06 与圆有关的问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练解析几何06（与圆有关的问题）1．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．2．已知椭圆的左、右焦点为，，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，．（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，与椭圆交于，两点，且点在轴上方．记，△的内切圆半径分别为，，若，求直线的方程．3．已知椭圆的离心率为，且长轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的顶点重合），以为直径的圆过椭圆的上顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．4．已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离的最大值和最小值分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆的切线与椭圆交于，两点，是否存在正数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，．求证：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．6．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，已知，．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作直线交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与的准线相交于，两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点．7．如图，椭圆的离心率为且经过点，为椭圆上的一动点．（1）求椭圆的方程；（2）设圆，过点作圆的两条切线，，两切线的斜率分别为，．①求的值；②若与椭圆交于，两点，与圆切于点，与轴正半轴交于点（异于点，且满足，求的方程．8．已知椭圆的离心率为，且两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．（1）若为椭圆上一点，且，求△的面积；（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．①求证：为定值；②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案1．（1）到焦点的最大值和最小值分别为：，，由题意可得，①且垂直于长轴的椭圆的弦长为②，又③，由①②③可得，，，所以椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可得左焦点，假设存在这样的直线，由于直线的斜率不为0，设直线的方程为：，设，，，，联立整理可得：，可得：，，所以，令，可得：，所以，时单调递减，所以时，最大为，所以的最大值为：，所以，设的内切圆的半径为，因为的周长为，，所以，的最大值为，这时内切圆的半径最大．且，即存在这样的内切圆的面积的最大值为．2．（1）由题，，，，，，则，因为、、成等差数列，所以，解得，所以，联立，解得，，故椭圆方程为：．（2）设点，，，，直线，联立，有，△，则，，由题意，有，，由，得，由，得，有，解得，，解得，，，，，故直线的方程为．3．（1）由题意知，，且，结合，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）直线的斜率存在且不为零，设为，，，，，联立直线方程和椭圆方程化简得，△，所以．，因为以为直径的圆过椭圆的上顶点，所以．即，整理得，所以，即：，整理可得：，解得或，当时，直线过椭圆的顶点，舍去，所以直线的方程为，过定点．4．（1）由题意可得，，解得，，则，所以椭圆方程为；（2）假设存在正数，使得，、当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，可得，，因为，则有，解得，又直线为圆的切线，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立，可得，则△，所以，且，所以，因为，则，所以，整理可得，则，所以，因为直线为圆的切线，故原点到的距离为，所以存在正数，使得．5．（1）由条件有，解得，，所以椭圆的方程为．（2）证明：，设直线的方程为，，，，．联立椭圆方程，整理得，，．直线的方程为，令，得，同理，．所以．中点为，即．故以线段为直径的圆被轴截得的弦长为．即：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．6．（1）设点，，因为点在抛物线上，，则，即，即．因为，则．因为，则，即．，所以，化简得，解得，所以抛物线的方程是．（2）设直线的方程为，代入，得．设点，，，，则，．设点，，则，直线的方程为，令，得，所以点．同理，点．设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，．因为，则，即，则，解得或．故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和．7．（1）因为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得：，，所以椭圆方程为：；（2）①设，，切线，即圆心到切线的距离整理可得：，所以，②因为，所以，所以，所以，设切线为，联立直线方程和椭圆方程可得：，所以，令可得，设，，则，所以，所以，整理可得：，所以，解得：，因为圆心到距离，所以，所以，因为，所以当时，；当时，；所以所求的方程为或．8．（1）由题意可得，解得：，，，所以椭圆的方程为：；则可得由椭圆的定义可得，，由余弦定理可得，因为，所以，解得：，所以；（2）①证明：直线，的方程为，，设椭圆的“卫星椭圆”的圆心，，因为直线，是圆的切线，所以，，化简可得，，所以，是的两个根，所以，因为，在椭圆上，所以，所以，可证得：为定值；②设，，，，，，解得，，所以，因为，所以，所以，可证得是定值，且为8．11．（1）由轴时，为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因为，解得，故双曲线的离心率为2；（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，最小距离为，即，又，所以，，所以，所以双曲线的方程为：，由题知直线的斜率不为0，设直线，，，，，联立直线与双曲线的