2024年浙教版数学八年级下册5.2菱形课后培优练

2024年浙教版数学八年级下册5.2菱形课后培优练一、选择题1．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A．5 B．10 C．15 D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补3．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB=120°，AO=BO=4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点A．4cm B．8cm C．(8−43)4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OEA．4 B．4.5 C．5 5．如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（）A．4 B．4.5 C．4.6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，若OB=4，S菱形ABCD=16，则A．25 B．4 C．2 D．7．如图，四边形ABCD是菱形，过点D的直线EF分别交BA，BC的延长线于点E，F，若∠1=25°，∠2=75°，则∠BAC等于（）A．45° B．50° C．60° D．75°8．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（）

①OG=12②与△EGD全等的三角形共有2个；

③S④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空题9．菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上.∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是.10．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB=10，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为11．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一动点（不与点B重合），且BE<①∠AFE=∠BAE；②当△AEF为直角三角形时，BE=2；③当△AEF为等腰三角形时，∠AFC=20°或者∠AFC=40°；④连接BF，当BE=CE时，FC平分∠AFB.以上结论正确的是.（填正确的序号）.12．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，其中B点坐标为(0，4)，∠OAB=30°，则△OAE的面积为三、解答题13．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连结CE，DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是菱形，请说明理由.②当AE=cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由.14．如图，直线y=x-3与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线y=kx+b与y轴交于点B(0，4)，与直线y=x-3交于点A(m，1)．（1）求直线AB的表达式；（2）点P是直线CD上的一个动点，连接PB，当△PBA的面积为7时，求点P的坐标；（3）E为y轴上的点，F在坐标平面内，以点A，B，E，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点F的坐标．15．已知：如图，直线y=−3x+43（1）求点P的坐标．（2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A作匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求出S关于t的函数关系式．（3）若点M是y轴上任意一点，点N是坐标平面内任意一点，若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．

答案解析部分1．答案:A解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，∵∠B：∠BCD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5．故选A．分析：根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．2．答案:A解析：根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．

【解答】A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；

B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；

C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；

D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；

故选A．

【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．答案:C解析：解：连接CO，交AB于H，如图：

∵四边形ABCD是菱形，∠AOB=120°，

∴AB⊥OC，∠AOC=∠BOC=60°，AH=BH，AC=BC=AO=4cm，

∴∠BAO=30°，

∴OH=12AO=2cm，AH=AC∴橡皮筋再次被拉长了(8−4故答案为：C.分析：根据菱形的对角线互相垂直且平分，对角互补；在直角三角形中，30度所对的边是系诶案的一半；勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解得出答案.4．答案:B解析：解：∵菱形ABCD的面积为54，

∴AC×BD×12=54，OA=OC，OB=OD，

∵BD=2OB=12，

∴AC=54×2÷12=9，

∵AE⊥BC，

∴在Rt△AEC中，OE=1故答案为：B.分析：根据菱形性质得OA=OC，OB=OD，根据菱形的面积求出AC，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.5．答案:C解析：解：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，可知OC=3，BO=4，

∴BC=32+42=5；

S菱形ABCD=12×AC×BD=12×6×8=24；

故答案为：C.分析：菱形对角线互相垂直平分，再通过勾股定理可求出菱形的边长；

菱形的面积等于对角线乘积的一半，也可以两个全等的三角形的面积之和来求，即S菱形ABCD=S△ABC+S△ACD，从而列出方程求解AH.6．答案:C解析：解：由题意可得：

AC⊥BD，OA=OC，BD=2OB=8

∵S菱形ABCD=12故答案为：C分析：根据菱形的性质及面积，直角三角形的性质即可求出答案。7．答案:B解析：

由菱形ABCD可得，AB∥CD，AC平分∠BAD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠ADC=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°，

∴∠BAD=100°，

∴∠BAC=12∠BAD=50°。

故答案为：B

分析：

8．答案:A解析：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，

∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD(SSS)，

∴CD=DE，

∴AB=DE，

在△ABG和△DEG中，∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，

∴△ABG≌△DEG(AAS)，

∴AG=DG，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG=12CD=12AB，故①正确；

∵AB∥CE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=60°，

∴△ABD、△BCD是等边三角形，

∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，

∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；

∴AD⊥BE，

由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD(SSS)，

在△BGA和△COD中，

AG=DO∠BAG=∠CDOAB=DC，

∴△BGA≌△COD(SAS)，

∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；

∵OB=OD，

∴S△BOG=S△DOG，

∵四边形ABDE是菱形，

∴故答案为：A.

分析：本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；结论使用AAS证明△ABG≌△DEG，再利用中位线定理可得出结论①正确；证明△BGA≌△COD(SAS)，即可证明出结论②不正确；中线的性质和菱形的性质证明S△ABG=S△DGE，得出结论③正确，证明四边形ABDE是平行四边形、OD=AG，则四边形ABDE是菱形，得出结论④正确.9．答案:6+2解析：解：如图，连接BP、BE，

∵A(－6，0)，

∴OA=6，

∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

∴∠BCD=180°−∠ABC=60°，OC=OA=6，OD=OB，∠CBD=12∠ABC=60°，BC=CD，∠BOC=90°，

∴DP=BP，BC=43，△BCD是等边三角形，

∴CD=BC=43，

∵点E是CD的中点，

∴DE=CE=12CD=23，∠BEC=90°，

∴BE=3CE=6，

∴C△PDE=DP+PE+DE=BP+PE+DE≤BE+DE=6+23，

10．答案:13解析：解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接ON，由题意可知：

AC⊥BD，OD=12BD=3，CD=AB=10，

∴OC=CD2−OD2=1，

∵N为MD中点，O为AC中点，

∴ON∥BM，

∵BM⊥DM，

∴∠OND=90°，

取OD的中点E，连接CE、NE，

则OE=12OD=32，

分析：本题考查菱形的性质、中位线定理，首先根据中位线定理以及菱形的性质可以得出∠DNO=90°，再取OD的中点E，分别连接CE、NE可得出OE、CE、NE的值，当N、C、E三点共线时，CN长度最大为13211．答案:①③④解析：解：①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，AD∥BC，

∴∠AFE=∠BCE，

∵BE=BE，

∴△ABE≅△CBESAS，

∴∠BAE=∠BCE，

∴∠AFE=∠BAE，①正确；

②当∠F=90°时，CF⊥AD，

∴BE>12BD，不符合题意；

如图①，当∠FAE=90°时，连接AC，

∵∠FAE=90°，

∴∠BAE+∠FAB=90°，

∵∠AFE=∠BAE，

∴∠AFE+∠FAB=90°，

∴∠AGF=∠BGE=90°，

∵AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠ABE=∠CBE=30°，

∴BG=12AB=32，

∴BE=1；

如图②，当∠FEA=90°时，连接AC，

∴∠AEC=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOB=90°，AO=OC，

∴OE=12AC，

∵∠ABE=∠CBE=30°，AB=3，

∴BO=32，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=3，

∴OE=12AC=32，

∴BE=BO−OE=32−32，

故BE=1或32−32，②错误；

③当AE=EF时，∠F=∠FAE，

∴∠AEC=∠F+∠FAE=2∠FAE，

∵∠AED=∠CED=12∠AEC，

∴∠FAE=∠AED，

∴AD//BD，不符合题意；

如图③，当AE=AF时，∠F=∠AEF，

设∠EAC=x，

∵AE=CE，

∴∠EAC=∠ECA=x，

∴∠AEF=∠EAC+∠ECA=2x，

∴∠F=∠AEF=2x，

∴∠FAE=180°−4x，

∵AD//BC，∠ACB=60°，

∴∠FAC=180°−∠ACB=120°，

∴180°−4x+x=120°，

x=20°，

∴∠AFC=2x=40°；

如图④，当EF=AF时，∠FAE=∠AEF=2x，

∵∠FAC=120°，

∴2x+x=120°，

x=40°，

∴∠FAE=∠AEF=2x=80°，

∴∠AFC=180°−∠FAE−∠FEA=20°，

∴∠AFC=20°或40°，③正确；

④如图⑤，

∵BE=CE，AE=CE，∠ABE=∠CBE=30°，

∴BE=AE，∠BCE=∠CBE=30°，

∴∠ABE=∠BAE=30°，∠BEF=∠EBC+∠BCE=60°，

∴∠AED=∠ABE+∠BAE=60°，

∴∠ABF=∠BEF=60°，

∵EF=EF，

∴△BEF≅△AEFSAS，

∴∠BFC=∠AFC，

∴FC平分∠AFB，④正确，

故答案为：①③④.

分析：①利用菱形的性质通过SAS判定△ABE≅△CBE得到∠BAE=∠BCE，再通过平行线的性质证得∠AFE=∠BAE；12．答案:2解析：解：延长DE交OA于点F，如图所示：

∵B点坐标为(0，4)，∠OAB=30°，

∴AB=8，∠ABO=60°，

由勾股定理得OA=BA2−OB2=43，

∴A（43，0），

∵C是OB的中点，

∴CO=BC=2，

∵四边形OEDC是菱形，

∴CO∥ED，EO∥DC，DC=CO=EO=2，

∴DC=CB，

∴△DCB为等边三角形，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCB=∠EOC=60°，

∴∠FOE=30°，

∵FD⊥OA，

∴FE=1，13．答案:（1）证明：在▱ABCD中，BC∥AD，

∴∠FCG=∠EDG，

∵G是CD的中点，

∴CG=DG，

∵∠CGF=∠DGE，

∴△CGF≌△DGE（AAS），

∴GE=GF，

∴四边形CEDF是平行四边形.（2）解：①当AE=4cm时，四边形CEDF是菱形，

理由：在▱ABCD中，CD=AB=6cm，AD=BC=10cm，∠ADC=∠B=60°，

∴DE=AD-AE=10-4=6cm，

∴DE=CD，

∴△CDE为等边三角形，

∴CE=ED，

由（1）知：四边形CEDF是平行四边形.

∴四边形CEDF是菱形.

故答案为：4.

②当AE=7cm时，四边形CEDF是矩形，

理由：过点A作AH⊥BC，

∵∠B=60°，AB=6cm，

∴BH=12AB=3cm，

∴DE=AD-AE=10-7=3cm，即BH=DE，

∴△HBA≌△EDC（SAS）

∴∠DEC=∠BHA=90°，

由（1）知：四边形CEDF是平行四边形.

∴四边形CEDF是矩形.

故答案为：7.解析：（1）证△CGF≌△DGE（AAS），可得GE=GF，结合CG=DG，根据平行四边形的判定即证结论；

（2）①证明△CDE为等边三角形，可得CE=ED，根据菱形的判定定理即证；

②过点A作AH⊥BC，证明△HBA≌△EDC（SAS），可得∠DEC=∠BHA=90°，根据矩形的判定定理即证.14．答案:（1）解：∵点A(m，1)在直线y=×-3上，∴m-3=1，解得m=4，∴A(4，1)，将点A(4，1)，B(0，4)代人y=k×+b，得4k+b=1，解得k=−∴直线AB的表达式为y=−3（2）解：∵直线y=x-3与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴C(3，0)，D(0，-3)．∵A(4，1)，B(0，4)，∴xA=4，BD=7，∴S△ABD=12BD·xA=1∵当△PBA的面积为7时，点P在点A上方或在线段AD上，设P(a，a-3)，∴xp=a，当点P在点A上方时，如图①，则S△PBA=S△PBD-S△ABD=7，即12BD·xp∴12解得a=6，∴P(6，3)；当点P在线段AD上时，如图②，则S△PBA=S△ABD-S△PBD=7，即14-12BD·xp∴14-12解得a=2，∴P(2，-1)．综上，点P的坐标为(6，3)或(2，-1)．（3）点F的坐标为(-4，1)或(4，-4)或(4，6)或(4，316解析：解：（3）当以点A，B，E，F为顶点的四边形是菱形时，则以点A，B，E为顶点的三角形为等腰三角形．

①当AB=AE时，如图③，过点A作AG⊥y轴于点C，

∵A(4，1)，

∴OG=1，AG=4．

∵四边形ABFE为菱形，

∴AG=FG=4，

∴F(-4，1)；

②当AB=BE时，如图④，

∵A(4，1)，B(0，4)，

∴AB=(4−0)2+(1−4)2=5，

∴AB=AF1=AF2=5，

∴F1(4，-4)，F2(4，6)；

③当BE=AE时，则点E在线段AB的垂直平分线上，

如图⑤，过点E作EH⊥FA的延长线于点H，

设E(0，m)，则BE=4-m，

∴H(4，m)，

∴AH=1-m，EH=4．

∵四边形AFBE为菱形，

∴A