第13讲 数列的综合应用 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第13讲数列的综合应用一、学习目标1.掌握数列的通项与求和问题.2.掌握常见的数列与不等式问题；3.学会用函数观点看数列问题.二、典例分析例1．（1）已知数列的前n项和，若数列单调递减，则λ的取值范围是（）A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)【答案】A（2）若无穷数列的通项公式为，，则数列的项中（

）A．有最小项，无最大项 B．有最大项，无最小项C．既有最小项，也有最大项 D．既无最小项，也无最大项【答案】C变式：1．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．【答案】D例2．设数列的前项和为，．（1）求的值及数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当时，，则；当时，，则；①，则时，舍去；当时，，故，符合条件；而时，，，则不可能为整数；②，则时，；当时，，则都符合条件；当时，，舍去；而时，，则不可能为整数，综上所述，存在，.变式：1．已知数列中，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数．【答案】（1），故，因为，故，故，故，所以是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得．由，得，则，所以因为为减数列，为减数列，故递减，当时，，满足；时，，所以时，总成立，不满足要求，舍，又，同理，当且仅当时，，综上所述，满足的所有正整数为1和2．例3．已知数列中，，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.(2)，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为.变式：1．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.例4.（1）已知两个等比数列，，满足，，，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由．【答案】（1）要唯一，当公比时，由且，，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合．当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合，综上，．假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质得，整理得，要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列．变式：1．已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．【答案】（1）∵，∴．∴．∴．∴数列是以1为公差的等差数列．（2）∵，∴．∴．（﹡）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．∴综上所述，．∴，∴．又∵，∴是公比是的等比数列．若，则，于是．又由即，得．∴中至少有两项相同，与矛盾．∴．∴．∴例5．如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（，2，3……）的横坐标构成数列．（1）试求与之间的关系，并证明：；（2）若，求证：．【答案】（1）由已知，，从而有，∵在上，∴，得，由及，知，下证：，∵，∴与异号，注意到，知，，即；（2）∵，∴，∵，∴，∴有，从而可知，故，∴，∴．变式：1．如图，曲线上的点与轴正半轴上的点及原点构成一系列正（记为）,记.(1)求数列的通项公式；(3)证明：当时，.【答案】(1)，设，则直线的方程为，所以.直线的方程为，所以.因此,所以，由得,即数列成等差数列，得.，所以.(2)证明：当时,.课外作业1．已知数列满足，则（）A． B．C． D．【答案】C2．数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（）A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】B4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220 D．110【答案】A5．设正整数，其中，记．则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B6．数列满足，则的前项和为_____.【答案】18307．已知，各项均为正数的数列满足，.若，则的值是.【答案】8．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】279．如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，，…；，，记点的坐标为（k=1，2，…，n）．则________．【答案】10．如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为，，…，，从而得到n－1个直角三角形△，△，…,△，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为____________.【答案】11．数列满足，，（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，，，求使的所有的值，并说明理由．【答案】（1）因为，，所以，一般地，当时，即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故，（）；（2）由（1）知，于是.下面证明:当时，事实上,当时，即又，所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.12．已知数列与满足，，，且．（1）求，的值；（2）设，，证明：是等比数列（3）设为的前项和，证明：，.【答案】（1），；（2）证明：，所以是等比数列．（3）证明：，由（2）知，当k∈N*且k≥2时，，故对任意的k∈N*，．由①得，所以k∈N*，因此，于是，．故==所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）===n﹣≤n﹣﹣=n﹣.13．在数列中，，其中．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）证明存在，使得对任意均成立．【答案】（1）由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以；（2）设，①，②当时，①式减去②式，得，，这时数列的前项和，当时，，故；（3）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明