31081104 微专题：对数的定义 运算及其应用 -上海市 2021-2022学年高一上学期期中复习数学讲义

【学生版】微专题：对数的定义运算及其应用【主题】1、对数的概念如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数；2、对数的性质当（，且）时；①零和负数没有对数；②；③；④；⑤；3、对数的运算法则当时；①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；；推广：；②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；；③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；；4、对数的换底公式当（，且，）时；5、对数运算的一些结论①；②；③；【典例】例1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）【提示】【解析】【说明】例2、计算（1）；（2）；（3）【提示】【解析】【说明】例3、（1）已知，试用表示；（2）已知，，用、表示：；（3）已知，用、表示；【归纳】1、特殊对数（1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把QUOTE记作；（2）自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把记作；2、对数与指数的互化关系当，且时，（1）由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其数量关系如下表：式子名称意义axN指数式底数指数幂a的x幂等于N对数式QUOTE底数对数真数以a为底N的对数等于x（2）在对数中规定的原因：①若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子没有实数解，所以QUOTE不存在，因此规定a不能小于0；②当a＝0，N≠0,时，x不存在；当a=0,N≠0时，x有无数个值，不能确定，因此规定a≠0；③当a=1,且N≠1时，x不存在；而当a=1,N=1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；.指数式与对数式的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段；3、由对数的概念可得到如下性质：（1）负数和零没有对数；（2）以a(a＞0,且a≠1)为底的对数是0，即；（3）底数的对数是1，即；（4）对数恒等式；因为由,得，所以将代入上式，可得；（5），因为,所以；【注意】1、利用对数的基本性质时，要注意其成立的前提条件；2、要理解基本性质的具体内容，防止应用时出现错误.4、由对数的运算性质：如果，那么：（1）；（2）;（3）.【辨析】（1）指数与对数的运算性质对比表：指数对数性质（）2对数的运算性质口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前。5、由对数的换底公式：（1）公式：；（2）换底公式的常用推论①；②；③；④；【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁；【即时练习】1、下列说法正确的是（）A．因为，所以 B．因为，所以C．因为，所以 D．因为，所以2、下列式子中正确的个数是（）①loga(b2－c2)＝2logab－2logac；②(loga3)2＝loga32；③loga(bc)＝(logab)·(logac)；④logax2＝2logaxA．0 B．1 C．2 D．33、设，则的值是4、已知且，若，，则_______________.5、已知，求之间的关系。6、设，求：的值【教师版】微专题：对数的定义运算及其应用【主题】1、对数的概念如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数；2、对数的性质当（，且）时；①零和负数没有对数；②；③；④；⑤；3、对数的运算法则当时；①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；；推广：；②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；；③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；；4、对数的换底公式当（，且，）时；5、对数运算的一些结论①；②；③；【典例】例1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）【提示】注意：三个特殊的对数“①；②；③；”与正确使用运算法则；【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；【说明】熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键；解决对数运算问题的常用方法：1、将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；2、将同底对数的和、差、倍合并；3、利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；4、利用常用对数中的lg2＋lg5＝1；例2、计算（1）；（2）；（3）【提示】这是底不同的对数运算，可考虑用对数换底公式求解；【解析】（1）原式；（2）原式另解：原式；（3）原式【说明】利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用；

3、换底公式的正用与逆用；4、变形公式可简化运算。例3、（1）已知，试用表示；（2）已知，，用、表示：；（3）已知，用、表示；【提示】指数式与对数式互化的灵活运用【解析】（1）∵，∴（2）∵，，∴（3）由，得，∴【说明】当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，统一到一种表达式上，在求解过程中，根据题目的需要，将指数式转化为对数式，或将对数式转化为指数式，这正是数学数学转化思想的具体表现。【归纳】1、特殊对数（1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把QUOTE记作；（2）自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把记作；2、对数与指数的互化关系当，且时，（1）由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其数量关系如下表：式子名称意义axN指数式底数指数幂a的x幂等于N对数式QUOTE底数对数真数以a为底N的对数等于x（2）在对数中规定的原因：①若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子没有实数解，所以QUOTE不存在，因此规定a不能小于0；②当a＝0，N≠0,时，x不存在；当a=0,N≠0时，x有无数个值，不能确定，因此规定a≠0；③当a=1,且N≠1时，x不存在；而当a=1,N=1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；.指数式与对数式的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段；3、由对数的概念可得到如下性质：（1）负数和零没有对数；（2）以a(a＞0,且a≠1)为底的对数是0，即；（3）底数的对数是1，即；（4）对数恒等式；因为由,得，所以将代入上式，可得；（5），因为,所以；【注意】1、利用对数的基本性质时，要注意其成立的前提条件；2、要理解基本性质的具体内容，防止应用时出现错误.4、由对数的运算性质：如果，那么：（1）；（2）;（3）.【辨析】（1）指数与对数的运算性质对比表：指数对数性质（）2对数的运算性质口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前。5、由对数的换底公式：（1）公式：；（2）换底公式的常用推论①；②；③；④；【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁；【即时练习】1、下列说法正确的是（）A．因为，所以 B．因为，所以C．因为，所以 D．因为，所以【提示】由对数的定义逐个判断即可；【答案】B；【详解】解：因为当（且）时，，所以选项A的底数为1，是错误的，选项C的底数为负数，是错误的，的底数为3，所以化为对数后底数也应为3，所以B正确，D错误，故选：B2、下列式子中正确的个数是（）①loga(b2－c2)＝2logab－2logac；②(loga3)2＝loga32；③loga(bc)＝(logab)·(logac)；④logax2＝2logaxA．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用对数的运算以及对数真数大于零分别判断即可.【答案】A；【详解】对于①，当为负数时logab与logac没有有意义，loga(b2－c2)＝2logab－2logac不成立，错误；对于②，时，(loga3)2＝loga32左边等于1，右边等于2，等式不成立，错误；对于③，当为负数时logab与logac没有有意义，loga(bc)＝(logab)·(logac)不成立，错误；对于④，时，logax没意义，logax2＝2logax不成立，错误，故选：A.3、设，则的值是【提示】根据对数的运算公式，准确运算，即可求解.【答案】；【详解】由对数的运算公式，可得.4、已知且，若，，则_______________.【提示】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可；【答案】6；【解析】，同理：∴；故答案为：6【说明】对数运算技巧：1、指数式与对数式互化；2、灵活应用对数的运算性质；3、逆用法则、公式；4、应用换底公式，化为同底结构；5、已知，求之间的关系。【提示】由于在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出。【解析】∵，∴两边取以10为底的对数得：∴，∵∴；【说明】本题要求关于的代数式的值，必须对已知等