第八章向量的数量积与三角恒等变换 单元测试题2020-2021学年人教B版（2019）必修第三册

第八章向量的数量积与三角恒等变换第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于()A．1B．4eq\r(2)C．3eq\r(5)D.eq\r(22)2．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1B.eq\r(2)C．2D．44．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)5．已知θ为第二象限角，且coseq\f(θ,2)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A．－1B.eq\f(1,2)C．1D．26．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成的角相等，则|a＋b＋c|等于()A.eq\r(3)B．6或eq\r(2)C．6D．6或eq\r(3)7．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,9)8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝()A．8B．4C．2D．19．已知(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，则eq\f(sin2x＋2cos2x,1＋tanx)的值为()A.eq\f(8,5)B.eq\f(5,8)C.eq\f(2,5)D.eq\f(5,2)10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(11,8)11．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则下列结论中正确的是()A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2πB．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1C．将f(x)的图像向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)的图像D．将f(x)的图像向右平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)的图像12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝eq\f(π,3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(22,9)B．－eq\f(22,9)C.eq\f(16,9)D．－eq\f(8,9)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,3)，则cos(2x－2y)＝________.14．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．16．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，求eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的值．18．(本小题满分12分)已知cos2θ＝eq\f(7,8)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－2sin2θ的值．19.(本小题满分12分)设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)的最小值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2eq\r(3)sin2x＋sin2x＋eq\r(3).(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．21.(本小题满分12分)在△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求证：△ABC为等腰三角形；(2)若|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，且B∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，求eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝g(x)，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．第八章向量的数量积与三角恒等变换1．解析：由|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)可求得|a＋b|.答案：D2．解析：∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cosθ>0，∴θ是第四象限的角．答案：D3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±eq\r(3).所以a＝(1，±eq\r(3))．所以|a|＝eq\r(1＋±\r(3)2)＝2.答案：C4．解析：原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：B5．解析：∵θ为第二象限角，∴eq\f(θ,2)为第一或第三象限角．∵coseq\f(θ,2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(θ,2)为第三象限角且sineq\f(θ,2)＝－eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝1.故选C.答案：C6．解析：由题意，得a，b，c两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a·b＝－1，b·c＝－3，a·c＝－eq\f(3,2)，则|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3；当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6.故选D.答案：D7．解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－1＝－eq\f(7,9).答案：A8．解析：∵eq\o(BC,\s\up12(→))2＝16，∴|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝4，又|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))|，∴eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝0.∵M为BC的中点，∴|eq\o(AM,\s\up12(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝eq\f(1,2)×4＝2，故选C.答案：C9．解析：∵3＋2sinx＋2cosx＝3＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>0，∴sinx－2cosx＝0.∴tanx＝2.∴原式＝eq\f(2cosxsinx＋cosx,1＋\f(sinx,cosx))＝eq\f(2cos2xsinx＋cosx,cosx＋sinx)＝2cos2x＝eq\f(2cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2,tan2x＋1)＝eq\f(2,5).答案：C10.解析：建立平面直角坐标系，如图．则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以eq\o(BC,\s\up12(→))＝(1,0)．易知DE＝eq\f(1,2)AC，则EF＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(1,4)，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(\r(3),8)))，所以eq\o(AF,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(5\r(3),8)))，所以eq\o(AF,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(5\r(3),8)))·(1,0)＝eq\f(1,8).故选B.答案：B11．解析：因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx，所以y＝f(x)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝cosxsinx＝eq\f(1,2)sin2x，所以其周期T＝eq\f(2π,2)＝π，最大值是eq\f(1,2)，故排除A，B；很明显将f(x)的图像向右平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的图像．答案：D12．解析：由题意作出图形，如图所示．由图可得eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→))，所以eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→)).所以eq\o(AD,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up12(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up12(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)\o(AB,\s\up12(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up12(→))))＝－eq\f(2,9)·|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＋eq\f(4,9)·|eq\o(AC,\s\up12(→))|2－eq\f(2,9)·eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝－eq\f(2,9)×4＋eq\f(4,9)×9－eq\f(2,9)×|eq\o(AB,\s\up12(→))|×|eq\o(AC,\s\up12(→))|×cos∠BAC＝－eq\f(8,9)＋4－eq\f(2,9)×2×3×coseq\f(π,3)＝eq\f(22,9).故选A.答案：A13．解析：由cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,3)，可知cos(x－y)＝eq\f(1,3)，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)14．解析：∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4eeq\o\al(2,1)＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.答案：015．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≤－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴θ＝〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))16．解析：由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，得(tanα－3)(3tanα－1)＝0，所以tanα＝3或tanα＝eq\f(1,3).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以tanα＝3，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\f(\r(2),2)cos2α＋eq\f(\r(2)1＋cos2α,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\r(2)cos2α＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋eq\r(2)·eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2tanα,tan2α＋1)＋eq\r(2)·eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2×3,32＋1)＋eq\r(2)×eq\f(1－32,32＋1)＋eq\f(\r(2),2)＝0.答案：017．解析：如图，由AM＝3，且eq\o(AP,\s\up12(→))＝2eq\o(PM,\s\up12(→))，可知|eq\o(AP,\s\up12(→))|＝2.∵M为BC的中点，∴eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝2eq\o(PM,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＝eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(AP,\s\up12(→))＝－eq\o(PA,\s\up12(→))2＝－|eq\o(PA,\s\up12(→))|2＝－4.18．解析：∵cos2θ＝eq\f(7,8)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosθ<0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(7,8)，∴cos2θ＝eq\f(15,16)，∴cosθ＝－eq\f(\r(15),4)，sinθ＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－sin2θ＝sinθcoseq\f(π,6)＋cosθsineq\f(π,6)－2sinθcosθ＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(3),8)－eq\f(\r(15),8)＋eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(3),8).19．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0.－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝eq\f(1,4)(t2－3t)．(2)由(1)知k＝eq\f(1,4)(t2－3t)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(9,16)，∴函数k＝f(t)的最小值为－eq\f(9,16).20．解析：(1)f(x)＝eq\r(3)(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).所以函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，最小值为－2.(2)列表：x0eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)π2x＋eq\f(π,3)eq\f(π,3)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(7π,3)f(x)eq\r(3)20－20eq\r(3)描点、连线得到图像，如下图所示．21．解析：(1)证明：因为eq\o(BC,\s\up12(→))·eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))，所以eq\o(CA,\s\up12(→))·(eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝0.又eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，则eq\o(CA,\s\up12(→))＝－(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))，所以－(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))·(eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝0.所以eq\o(AB,\s\up12(→))2－eq\o(BC,\s\up12(→))2＝0.所以|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|2.即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．(2)因为B∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，则cosB∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).设|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝a.又|eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))|＝2，所以|eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))|2＝4.则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.所以a2＝eq\f(2,1＋cosB)，则eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝a2cosB＝eq\f(2cosB,1＋cosB)＝2－eq\f(2,1＋cosB).又cosB∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al