北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题07一元一次方程的三种特殊解问题(原卷版+解析)

专题07一元一次方程的三种特殊解问题类型一、整数解问题例1．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（

）A． B． C． D．例2．设为整数，且关于的一元一次方程.（1）当时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求的值.【变式训练1】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（

）A． B．23 C．3 D．【变式训练2】关于x的方程的解是整数，则整数的可能值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练3】当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．类型二、含绝对值型例1.先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x-3|=2．解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．所以原方程的解是x=5或x=1．（1）解方程：|3x-2|-4=0．（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1例2.如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（）A．1 B．±1 C．2 D．±2【变式训练1】先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：．解：当时，原方程可化为：，解得；当时，原方程可化为：，解得．所以原方程的解是，．(1)解方程：；(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．【变式训练2】已知关于的方程的解满足，则的值是____________．【变式训练3】满足方程的整数x有（

）个A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式训练4】若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（

）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对【变式训练5】适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（）A．2 B．4 C．8 D．16类型三、解的情况例1．关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝______．例2．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，那么_______．【变式训练1】（1）当取何值时，关于的方程和的解相同．（2）已知关于的方程无解，求的值．【变式训练2】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【变式训练3】关于的方程，分别求为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解专题07一元一次方程的三种特殊解问题类型一、整数解问题例1．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：解关于x的方程得x（a），∵关于x的方程的解是负整数，∴是负整数，∴或或或即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案为：D．例2．设为整数，且关于的一元一次方程.（1）当时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求的值.【答案】（1）；（2）或，或．【详解】解：(1)当时，原方程为．解得，．(2)当时，方程有解．．∵方程有整数解，且是整数．∴，．解得，或，或．故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.【变式训练1】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（

）A． B．23 C．3 D．【答案】D【详解】解：，则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，故6x﹣2+ax＝2x﹣12，（4+a）x＝﹣10，解得：x＝，∵是非负整数，∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数，则﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34．故选：D．【变式训练2】关于x的方程的解是整数，则整数的可能值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：解关于x的方程得∵方程的解是整数，∴k-2等于±3或±1故k的值为5或-1或3或1故选D．【变式训练3】当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为．【详解】，，因为方程有正整数解，所以，即，所以，要使方程有正整数解，则为正整数即可，因此，k的所有可能取值为，当时，方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为；当时方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为．类型二、含绝对值型例1.先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x-3|=2．解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．所以原方程的解是x=5或x=1．（1）解方程：|3x-2|-4=0．（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1【答案】（1）x=2或x=-；（2）b＜-1时，原方程无解；b=-1时，x=2；当x-2≥0时，x=b+3；当x-2＜0时，x=-b+1【详解】解：（1）当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2-4=0，解得x=2；当3x-2＜0时，原方程可化为-(3x-2)-4=0，解得x=-．所以原方程的解是x=2或x=-．（2）①当b+1＜0，即b＜-1时，原方程无解，②当b+1=0，即b=-1时：原方程可化为：x-2=0，解得x=2；③当b+1＞0，即b＞-1时：当x-2≥0时，原方程可化为x-2=b+1，解得x=b+3；当x-2＜0时，原方程可化为x-2=-(b+1)，解得x=-b+1．例2.如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（）A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】D【详解】解：，去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1得x=3，把x=3代入得1=2|m|-3，∴2|m|=4，∴|m|=2，∴m=±2，故选：D．【变式训练1】先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：．解：当时，原方程可化为：，解得；当时，原方程可化为：，解得．所以原方程的解是，．(1)解方程：；(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】(1)或．(2)①b＜-1；②b=-1；③b＞-1【解析】(1)解：，当时，原方程可化为：，解得；当时，原方程可化为：，解得；所以原方程的解是或．(2)解：∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．【变式训练2】已知关于的方程的解满足，则的值是____________．【答案】5或-1【详解】解：，，，解得：=。当时，代入得，解得：；当时，代入得，解得：．

故答案为：5或．【变式训练3】满足方程的整数x有（

）个A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】当时，原方程为：，得x=，不合题意舍去；当时，原方程为：，得x=，不合题意舍去；当时，原方程为：，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.故选：C.【变式训练4】若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（

）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对【答案】C【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；所以x=-2或6，故选：C【变式训练5】适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得，2a+7+2a﹣1＝8，解得，a＝解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣，a≥，所以a≥，而a又是整数，故a＝不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得，﹣2a﹣7﹣2a+1＝8，解得，a＝﹣解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣，a≤，所以a≤﹣，而a又是整数，故a＝﹣不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得，2a+7﹣2a+1＝8，解得，a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣，a≤，所以﹣≤a≤，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得，﹣2a﹣7+2a﹣1＝8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0．故选：B．类型三、解的情况例1．关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝______．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，∵关于的方程无解，∴，∴，故答案为：．例2．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，那么_______．【答案】【详解】解：将代入，，，由题意可知：无论为任何数时恒成立，，，，，故答案为：【变式训练1】（1）当取何值时，关于的方程和的解相同．（2）已知关于的方程无解，求的值．【答案】（1）k=；（2）a=3【解析】（1）解，得：x=1，把x=1代入，得：，解得：k=；（2）方程a（2x-1）=6x-4，整理得：（2a-6）x=a-4，由方程无解，得到2a-6=0，即a=3．故答案为：（1）k=；（2）a=3【变式训练2】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【答案】D【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，∵有至少两个不同的解，∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，即m＝﹣2，n＝6，把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解