河北省唐山市王兰庄中学高三数学理知识点试题含解析

河北省唐山市王兰庄中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知中，,,则的周长为()A． B．

C．

D．参考答案：C设三边分别为，则，的周长2.若,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]参考答案：B考点:并集及其运算．专题:集合．分析:先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B点评:本题考查了集合得并集运算，属于基础题．

4.若x，y满足约束条件，则的最小值与最大值分别是（

）A.－2，8 B.2，8 C.－6，2 D.－2，6参考答案：D【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，将最大值转化为y轴上的截距最小，从而得到z的最值即可．【详解】满足约束条件的可行域如下图所示的三角形：得到B（2，2），得到A（2，﹣2）平移直线x﹣2y＝0，经过点B（2，2）时，x﹣2y最小，最小值为：﹣2，则目标函数z＝x﹣2y的最小值为﹣2．经过点A（2，﹣2）时，x﹣2y最大，最大值为：6，则目标函数z＝x﹣3y的最大值为6．故选：D．【点睛】本题考查了线性规划中的最优解问题，通常是利用平移直线法确定，关键是画出可行域，属于基础题．5.已知为实数，x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）,由得，

，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

,

.

当时，；

当时，；时，.

所以的单调增区间是；的单调减区间是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，.

所以的极大值为，极小值为.

又因为,

.当且仅当，直线与的图象有三个交点.

所以，的取值范围为.6.已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x?N}，那么M﹣（M﹣N）等于(

)A．M∪N B．M∩N C．M D．N参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知中，把数列的各项排列成如下的三角形状，

记表示第行的第个数，则=

A.

B.

C.

D.参考答案：A前9行共有项，所以为数列中的第项，所以，选A.9.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由题意可得，故答案选B．10.某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二 B．三 C．四 D．五参考答案：C因为昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日若今天为星期二，则星期一值夜班，星期四值夜班，则星期二与星期三至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾若今天为星期三，则星期二值夜班，星期四值夜班，则星期三与星期五至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾若今天为星期五，则星期四值夜班，与星期四值夜班矛盾若今天为星期六，则星期五值夜班，星期四值夜班，则下星期一与星期二至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾，综上所述，今天是星期四，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，且，则

．参考答案：∵，∴.∵，∴，∴，，∴.

12.在体积为的三棱锥的棱上任取一点，则三棱锥的体积大于的概率是

.参考答案：略13.设数列{an}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则an=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，（n∈N*，n≥2），则an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n+3n﹣1+…+32+3==．故答案为：．14.已知函数的图像在点处的切线斜率为，则

．参考答案：【知识点】直线的斜率；两角和与差的正切函数．C5

H1【答案解析】2+

解析：∵f（x）=x﹣sinx﹣cosx，∴f'（x）=﹣cosx+sinx又∵f（x）=x﹣sinx﹣cosx的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为，则f'（x0）=﹣cosx0+sinx0=

，即﹣cosx0+sinx0=0，即cosx0=sinx0，即tanx0=，故tan（x0+）==2+，故答案为：2+【思路点拨】由f（x）=x﹣sinx﹣cos的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为，我们易得f'（x0）=﹣cosx0+sinx0=，解方程后，可得tanx0的值，然后结合两角和与差的正切函数公式即可得到答案．15.己知a∈R，若关于x的方程有实根，则a的取值范围是

．参考答案：16.随机地在棱长为1的正方体内部取一个点P，满足的概率是

参考答案：略17.（09年扬州中学2月月考）如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于

▲

参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知向量a=，b=，设函数=ab．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx

=+sin2x=sin(2x-)+1，

………………3分由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f(x)的递增区间是[-+kπ，+kπ](k∈Z)．…………6分（II）由题意g(x)=sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1，…………9分由≤x≤得≤2x+≤，∴0≤g(x)≤+1，即g(x)的最大值为+1，g(x)的最小值为0．

…12分19.已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）记函数f（x）有两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数得：a＞从而可得ln＜恒成立；再令t=，t∈（0，1），从而可得不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，再令h（t）=lnt﹣，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣a（x＞0），①当a≤0时，f′（x）=﹣a≥0，即函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），②当a＞0时，令f′（x）=﹣a=0，得x=，当0＜x＜时，f′（x）=＞0，当x＞时，f′（x）=＜0，所以函数f（x）的单调增区间是（0，]，单调减区间是[，+∞）；（2）若函数f（x）有两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，则x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，所以原式等价于ln＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=﹣=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．20.已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到0＜，代入x﹣1＞2lnx证得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：，∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2；（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，∴，①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．②当0＜m≤2时，，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．③当m＞2时，g′（x）＜0在上恒成立，g′（x）＞0在上恒成立，∴g（x）在上单调递减，在上单调递增．∴，∴g（x）min≠0．综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，即x﹣1＞2lnx．∵0＜x1＜x2，∴0＜，∴，∴，∵lnx2＞lnx1，∴．21.（本小题14分）已知数列满足：，且．（I）设，求证是等比数列；（II）（i）求数列的通项公式；（ii）求证：对于任意都有成立．参考答案：（I）略（II）（i）（ii）略【知识点】单元综合D5（I）由已知得，

……2分则，

………………3分又，则是以3为首项、3为公比的等比数列

………………4分（II）（i）解法1：由（I）得，即，则，相减得，

………………5分则，，，，相加得，则，

…7分当时上式也成立由得，

……8分故

……9分解法2：由得，

……6分则，，，相加得

……9分解法3：由得，

……5分设，则，可得，又，故，

………8分

则

……9分（ii）证法1：易证则

………………