山西省晋中市延安中学高三数学文月考试题含解析

山西省晋中市延安中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两个非零向量与，若，，则的值为（）A．﹣3 B．﹣24 C．21 D．12参考答案：C【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先求出与，然后计算即可．【解答】解：因为，，所以=（﹣3，4）=（0，2）故选C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．2.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=（）x C．y=x+ D．y=ln（x+1）参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数的单调性及单调区间．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数解析式得出判断单调区间，即可判断即可．【解答】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，②y=（）x是减函数，③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，∴A，B，C不正确，D正确，故选：D【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．3.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）A．5 B．4 C．4 D．2参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，由此能求出结果．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，此时，P（2，2，4），E（4，2，0），∴|PE|min==2．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．4.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（

）A．-5

B．1

C．2

D．3参考答案：D5.已知i为虚数单位，则复数=(

)A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：=，故选：C．【点评】本题考查复数复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．6.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．7.若，则的值为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C8.已知数列{an}的首项，且满足，则{an}的最小的一项是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为－7，公差为1的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第5项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.9.设.，则D的最小值为（

）A．

B．1

C.

D．2参考答案：C

10.已知，满足，则的最大值是

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.B

（几何证明选做题）如图所示，圆O的直径AB=6,C为圆周上一点，BC=3,过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD=

.

参考答案：略12.已知函数．若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是，故答案为．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13.已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，则数列{|log2an|}前10项和为．参考答案：58【考点】8E：数列的求和．【分析】由{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，求出q，可得an=32?（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2an|}前10项和．【解答】解：∵{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴an=32?（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2an|=|7﹣2n|，∴数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．14.给出下列四个命题：①ks5u②，使得成立；③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一

点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是 参考答案：①②④.略15.数列{an}的通项为an=(-1)n前n项和为Sn,则S100=_________.参考答案：15016.若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．17.的展开式中常数项为．（用数字作答）参考答案：1820【考点】二项式定理的应用．【分析】通项公式Tr+1==，令16﹣=0，解得r即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1==，令16﹣=0，解得r=12．∴的展开式中常数项==1820．故答案为：1820．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，是的内角，，的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小．参考答案：（1），………………5分（2），，的最大值为3．，为三角形内角，………………9分又，得，，………………12分由，得，………1519.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an﹣n（1）求证数列{an+1}是等比数列并求{an}的通项公式（2）设bn=（2n+1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过Sn=2an﹣n与Sn+1=2an+1﹣（n+1）作差、整理可知an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1），进而数列{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．（2）利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）证明：∵Sn=2an﹣n，∴Sn+1=2an+1﹣（n+1），两式相减得：an+1=2an+1﹣2an﹣1，∴an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴a1+1=1+1=2，∴数列{an+1}是以4为首项、2为公比的等比数列，∴an+1=2?2n﹣1=2n，∴an=2n﹣1．（2）∵bn=（2n+1）（an+1）=（2n+1）2n，∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n﹣1）2n﹣1+（2n+1）2n，∴2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1，∴﹣Tn=6+2（22+23+24+…+2n）﹣（2n+1）2n+1=6+2?﹣（2n+1）2n+1=﹣2+（﹣2n+1）2n+1，∴Tn=2+（2n﹣1）2n+1．20.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.参考答案：（Ⅰ）∵，

∴函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由，∴，

∴在区间上的最大值为1，最小值为.21.已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间[－π，0]上存在唯一极大值点；（2）在区间[－π，0]上有且仅有一个零点.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，设，再求，由的单调性及零点存在定理说明在上有唯一零点，这就是的唯一极大值点．（2）由（1）在上有唯一极大值点，又计算和，说明在上恒成立，即是上的增函数，结合零点存在定理可得结论．【详解】（1），设，则，当时，，递增，又是增函数，∴在是单调递减．，，∴存在唯一的，使得，且当时，，递增，时，，递减，∴是的极大值点，也是唯一极大值点．即是上的的唯一极大值点．（2）由（1），，∴时，，∴在上单调递增．，，∴在上存在零点也是唯一零点．【点睛】本题考查导数与极值，考查零点存在定理．解题时导数说明函数的单调性