河南省济源市第三中学高一数学理期末试题含解析

河南省济源市第三中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的定义域为(

)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（0，3）∪（3，+∞） D．[0，3）∪（3，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥0且x≠3，即函数的定义域为[0，3）∪（3，+∞），故选：D【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2.已知集合，．若，则实数的值是（

）A．

B．

C．或

D．或或参考答案：C3.已知向量，的夹角为60°，且，，则与的夹角等于A.150° B.90° C.60° D.30°参考答案：C【分析】根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】，；，，；设与的夹角为，则；又，，故选．【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角。4.设D为△ABC所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：A【详解】∵∴?=3(?)；∴=?.故选：A.5.已知实数满足约束条件，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：简单的线性规划.6.设，，，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D7.（5分）函数f（x）=log2x﹣+a的一个零点在（1，4）内，则实数a的取值范围为（） A． （﹣，2） B． （4，6） C． （2，4） D． （﹣3，﹣）参考答案：A考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意可知函数f（x）=log2x﹣+a在上单调递增且连续，从而求解．解答： 易知函数f（x）=log2x﹣+a在上连续，且函数f（x）=log2x﹣+a在上单调递增，故f（1）?f（4）＜0，即（0﹣2+a）（2﹣+a）＜0；故实数a的取值范围为（﹣，2）；故选A．点评： 本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．8.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，若，则ac的值为A.12 B.11 C.10 D.9参考答案：A【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【详解】在△ABC中，由正弦定理可得化为：即在△ABC中，，故,可得，即故选A【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。9.方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞） B．（，1] C．（0，） D．（，1]参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为（，1]，故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．10.若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C． D．3参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．参考答案：[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的可行域，平移目标直线可知，当直线过点A（3，0），点B（1，2）时，函数z分别取最值，计算可得．【解答】解：作出不等式组对应的可行域，（如图阴影）平移目标直线z=x﹣2y可知，当直线过点A（3，0）时，z取最大值3，当直线过点B（1，2）时，z取最小值﹣3，故z=x﹣2y的取值范围为：[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]12.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，，，平面ABC，且，则ED=_____．参考答案：【分析】由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．【详解】如图，EC⊥面ABC，而CD?面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD＝5，ED13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．13.已知函数的定义域是（为整数），值域是，则满足条件的整数数对共有

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个.参考答案：5略14.若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（1，+∞）【考点】函数的零点．【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．

在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=ax﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．故答案为：（1，+∞）15.转化为十进制数是

参考答案：5

16.开始时,桶1中有aL水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线,那么桶2中水就是,假设过5分钟时,桶1与桶2的水相等,则再过___分钟桶1中的水只有.参考答案：1017.设则f(f(-2))=________.参考答案：-2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）（2015秋?合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．

【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）分别令x=y=1，x=y=﹣1，求出f（1）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，即可求出f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数（Ⅲ）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x的不等式组，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=0，（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数；（Ⅲ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴＜1，∴f（）＜0，∴f（x1）=f（x2?）=f（x2）+f（）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）是减函数，∵f（2）+f（x2﹣）=f（2x2﹣1）≤0=f（1）=f（﹣1），∴或，解得﹣＜x＜．或﹣1≤x＜﹣，或＜x≤1，∴不等式的解集为[﹣1，﹣）∪（﹣，）∪（，1]【点评】本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题．19.（本小题满分10分）⑴化简：

（结果保留根式形式）⑵计算：参考答案：⑴

20.如图在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：（1）EF∥平面PAB；（2）平面PAD⊥平面PDC．

参考答案：（1）∵、分别是、的中点，∴∥．

2分∵底面是矩形，∴∥．∴∥．

4分又平面，平面，∴∥平面．

7分（2）∵，∴．

8分∵底面是矩形，．

10分又，∴．

12分∵，∴平面．

14分

21.已知（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若对于任意不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：22.已知函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）是否存在实数a使函数f（x）是奇函数？并说明理由；（2）在（1）的条件下，当x＞0时，f（kx）+f（﹣2﹣x2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的性质求解a的值即可；（2）判断f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性脱去“f”，转化为不等式问题求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）当a=1函数f（x）是奇函数．证明：由f（﹣x）=﹣f（x）得，，解得：a=1．（2）函数．任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则，因为函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以，又，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在R上是增函数．因为f（x）是奇函数，从而不等式f（kx）+f（﹣2﹣x2）＜0等价于f（kx）＜