江苏省淮安市棉花中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江苏省淮安市棉花中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=，所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整数k的最大值是4．故选：B．2.要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组学习，则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若集合，集合，则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.如图是用二分法求方程近似解的程序框图，其中．判断框内可以填写的内容有如下四个选择：

①；②；

③；④.其中正确的是A．①③

B．②③C．①④

D．②④参考答案：C5.下列命题错误的是（

）

A．命题若的逆否命题为“若，则”

B．若为假命题，则，均为假命题

C．对于命题存在,使得,则为:任意,均有

D．的充分不必要条件参考答案：B略6.设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．参考答案：A当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故m的取值范围为，选A.7.下图是函数的图像，它与轴有个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（

）

A．

C．

B．

D．参考答案：B

8.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则 取法种数共有A．4

B．10

C．15

D．20参考答案：B9.已知记，要得到函数

的图象，只需将函数的图象（

）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：D略10.定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围A．

B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为

．参考答案：212.已知函数f（x）=，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是

．参考答案：（，1]【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．13.若关于的不等式无解，则实数的取值范围为

.参考答案：a<114.函数的定义域为

.参考答案：15.若，则sinx·siny的最小值为__________。参考答案：16.函数是奇函数，则等于______．参考答案：试题分析：根据题意，化简f（x）的解析式可得f（x）=﹣2sin（3x﹣﹣θ），结合正弦函数的性质可得若函数f（x）为奇函数，则有﹣﹣θ=kπ，进一步求tanθ即可．详解：根据题意，f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）=2sin（﹣3x+θ）=﹣2sin（3x﹣﹣θ），若函数f（x）为奇函数，则有﹣﹣θ=kπ，即θ=﹣kπ﹣，故tanθ=tan（﹣kπ﹣）=；故答案为：．

17.有下列四个命题：

①若，则函数的最小值为；

②已知平面，，直线，，若，，，则∥；

③在△ABC中，和的夹角等于；④等轴双曲线的离心率为2。其中所有真命题的序号是

。参考答案：③①错当，得（0，1]，函数的最小值不是；②错，∥或与异面或与相交均有可能；③正确；④错，等轴双曲线的离心率为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.中，为边上的一点，，，，求．参考答案：由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=.由正弦定理得，所以.略19.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.20.某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，．（Ⅰ）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用互独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）比较走两条路的数学期望的大小，即可得出要选择的路线．解答：解：（Ⅰ）设”L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2所以，随机变量X的分布列为：X012P设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以，随机变量Y的分布列为：Y0123P．因为EX＜EY，所以选择L2巷道为抢险路线为好．点评：熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．21.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|?|x﹣1|≥|x+5|，等价于（x﹣1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）≥8恒成立转化为|a+5|≥8，求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5