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文档简介
2024届四川省绵阳市东辰高中高考冲刺模拟数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()A. B. C. D.2.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.已知集合,集合,则等于()A. B.C. D.4.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市月至月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()A.1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了C.8月是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差.5.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则()A.4 B.8 C.9 D.276.若,则的虚部是()A. B. C. D.7.若的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()A.85 B.84 C.57 D.568.某几何体的三视图如图所示,若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形,则该几何体的体积为A. B. C. D.9.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()A.3 B. C.6 D.10.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.11.函数在的图象大致为()A. B.C. D.12.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设O为坐标原点,,若点B(x,y)满足,则的最大值是__________.14.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.15.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中,一次随机抽取其中的三张,则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.16.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.18.(12分)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与相交于、、三点,求线段的长.19.(12分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.20.(12分)在直角坐标系中,已知直线的直角坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知直线与曲线、相交于异于极点的点,若的极径分别为,求的值.21.(12分)已知函数,其中.(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.①求实数的取值范围;②求证:.22.(10分)已知,.(1)求函数的单调递增区间;(2)的三个内角、、所对边分别为、、,若且,求面积的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据是中点这一条件,将棱锥的高转化为球心到平面的距离,即可用勾股定理求解.【详解】解:设点到平面的距离为,因为是中点,所以到平面的距离为,三棱锥的体积,解得,作平面,垂足为的外心,所以,且,所以在中,,此为球的半径,.故选:A.【点睛】本题考查球的表面积,考查点到平面的距离,属于中档题.2、B【解析】
化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.3、B【解析】
求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【详解】由,所以,故选:B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.4、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天,月份的空气质量最差.故本题答案选.5、D【解析】
设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,首先求出正四面体的体积,再利用等体法求出内切球的半径,在中,根据勾股定理求出外接球的半径,利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,则,,,设内切球的半径为,内切球的球心为,则,解得:;设外接球的半径为,外接球的球心为,则或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故选:D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题,考查了椎体的体积公式以及球的体积公式,需熟记几何体的体积公式,属于基础题.6、D【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.【详解】由题可知,所以的虚部是1.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题.7、A【解析】
先求,再确定展开式中的有理项,最后求系数之和.【详解】解:的展开式中二项式系数和为256故,要求展开式中的有理项,则则二项式展开式中有理项系数之和为:故选:A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定,基础题.8、C【解析】
由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是边长为的等边三角形,三棱锥的高为,所以该几何体的体积,故选C.9、A【解析】
根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.【详解】由题可知:双曲线的渐近线方程为取右焦点,一条渐近线则点到的距离为,由所以,则又所以所以焦距为:故选:A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.10、D【解析】
先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.11、B【解析】
先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.12、A【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】,可行域如图,直线与圆相切时取最大值,由14、【解析】
以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,从而可得、,,,然后利用向量数量积的坐标运算可得,再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,则,设,则,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题,同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质,属于中档题.15、【解析】
先求出所有的基本事件个数,再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数,利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张,所有基本事件为:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10个,其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件,因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为:.故答案为:.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,属于基础题.16、【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由诱导公式计算可得;(Ⅱ)先得到,再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因为所以,由得,又因为,故,所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.18、(1)();(2).【解析】
(1)化简得到直线方程为,再利用极坐标公式计算得到答案.(2)联立方程计算得到,,计算得到答案.【详解】(1)由消得,即,是过原点且倾斜角为的直线,∴的极坐标方程为().(2)由得,∴,由得∴,∴.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.19、(1)详见解析;(2).【解析】
(1)由直径所对的圆周角为,可知,通过计算,利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形,所以有.由已知可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;(2)以为坐标原点,分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出平面的一个法向量和平面的法向量,利用空间向量数量积运算公式,可以求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:因为半圆弧上的一点,所以.在中,分别为的中点,所以,且.于是在中,,所以为直角三角形,且.因为,,所以.因为,,,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由已知,以为坐标原点,分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即,取,得.设平面的法向量,则即,取,得.所以,又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.20、(1),.(2)【解析】
(1)先将曲线的参数方程化为直角坐标方程,即可代入公式化为极坐标;根据直线的直角坐标方程,求得倾斜角,即可得极坐标方程.(2)将直线的极坐标方程代入曲线、可得,进而代入可得的值.【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数),消去得,把,代入得,从而得的极坐标方程为,∵直线的直角坐标方程为,其倾斜角为,∴直线的极坐标方程为.(2)将代入曲线的极坐标方程分别得到,则.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法,直角坐标方程化为极坐标方程的方法,极坐标的几何意义,属于中档题.21、(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)由函数在处的切线与直线垂直,即可得,对其求导并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等价于在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根,由二次函数的图象与性质构建不等式组,解得答案,最后分析此时单调性推及极值说明即可;②由①可知,是方程的两个不等的实根,由韦达定理可表达根与系数
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