圆周角（第二课时）（导学案）九年级数学上册同步备课系列（人教版）（解析版）

24.1.4圆周角（第二课时）学习目标：1）掌握圆周角定理推论。2）理解圆内接四边形定义及性质。学习重点：掌握圆周角定理推论。学习难点：1）利用圆周角定理推论进行计算。2）利用圆内接四边形性质进行计算。学习过程1）知识点回顾圆周角概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2）课堂探究一、探究圆周角定理的推论[探究1]在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？∠BAC与∠BDC和弧BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？证明：根据圆周角定理可知，∠∴∠BAC【结论】同弧所对的圆周角相等[探究2]在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？弧BC=弧CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？证明：如图，作两条弧所对的圆心角根据圆周角定理可知，∠BDC=1/2∠BOC,∠CAE=1/2∠COE又∵弧BC=弧CE,∴∠BOC=∠COE∴∠BDC=∠CAE【结论】等弧所对的圆周角相等．【圆周角定理推论1】同弧或等弧所对的圆周角相等.[问题1]1)右图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？90°2)右图2，AB为⊙O的直径，改变C点的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？不变3)右图1，圆周角∠C=90°，连接AB，弦AB经过圆心吗？为什么？∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB过圆心。【圆周角定理推论2】直径(或半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。二、圆内接四边形及其性质圆内接四边形的概念：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个是四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。[探究3]圆内接四边形的四个角之间有什么关系？情况一圆心在内接四边形对角线上情况二圆心不在内接四边形对角线上【证明】1)∵BD是⊙O的直径∴∠C=90°，∠A=90°2)连接BO和DO2)连接BO和DO∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD又∵BCD和BAD所对圆心角的和为周角∴∠A+∠C=12⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒【结论】即圆内接四边形的对角互补。【练一练】1．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°【详解】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=40°；∴∠B=∠C=40°；故选C．2．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（

）A． B． C． D．【详解】∵为中点，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形内接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故选：A．3．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【详解】解：连接AD，如图，AB为的直径，，，．故选B．4．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（

）A． B． C． D．【详解】解：∵C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故选：D．5．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．6．下列图形中，∠B＝2∠A的是（）A．B．C． D．【详解】解：A中，∠A=∠B；B中，∠A与∠B的大小无法判定；C中，∠A+∠B=180°；D中，∠B=2∠A．故选D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．8．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____【详解】解：连接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案为.9．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．【详解】详解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4故答案为4.10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．【详解】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB=90°，CH=DH=CD=2，∠AHC=90°，∵∠A=30°，∴AC=2CH=4，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AC=BC=4，AB=2BC，∴BC=，AB=，∴OA=，即⊙O的半径长是．11．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．(1)求证：OBCD；(2)若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．【解析】(1)解：连接OC，∵＝，∴∠BOA＝∠AOC，∵AOC，∴∠AOB＝∠D，∴OB∥CD；(2)解：连接AC交OB于M，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵OB∥CD，∴∠AMO＝