2018-2019学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）

2018-2019学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学

试卷（文科）

一、选择题（每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）

1.（4分）（2017•安徽二模）设命题p：VxGR,则-1p为（）

A.VxER,dVx+1B.3xoGR,〃<%0+1

C.3xoGR,X^xo+lD.3xGR,e^^xo+l

2.（4分）（2018秋•南关区校级期末）若椭圆C：=+*=1的右焦点坐标是（1,0）,长

azbz

轴长是4,则椭圆的标准方程为（）

xv

3.（4分）（2018秋•南关区校级期末）曲线一--=1的虚轴长是（）

48

A.2V2B.2V3C.4V2D.4百

4.（4分）（2018秋•南关区校级期末）若原命题是“若x=-l,则/-尤-2=0”则它逆命

题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（4分）（2018秋•南关区校级期末）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从

编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的

5瓶饮料的编号可能是（）

A.5,10,15,20,25B.2,4,8,16,32

C.1,2,3,4,5D.8,18,28,38,48

6.（4分）（2013•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入机=72,n=30,则输出的n

是（）

A.12B.6C.3D.0

7.（4分）（2015秋•南阳期末）设a,bER,贝I"a+b>2”是“a>l且6>1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

8.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知产是抛物线/=4x上的一个动点，则尸到（0,

2）的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）

A.3B.4C.V5D.V6

9.（4分）（2018秋•南关区校级期末）在区间［0,4］内随机取出两个数无，》则2Wx+yW4

的概率是（）

1315

A.一B.-C.一D.—

4828

X2V2

10.（4分）（2018秋•南关区校级期末）设P是椭圆U+—=1上一点，M、N分别是两圆:

259

（A-+4）2+J2=1和（x-4）2+y2=i上的点，则FM+IPNI的最小值、最大值的分别为（）

A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12

H.（4分）（2018秋•南关区校级期末）己知命题p：方程/+/nx+l=0有两个不等的负实根，

命题q：方程4无2+4（“z-2）x+l=0无实根，若p或q为真，p且q为假，则实数相的

取值范围是（）

A.(1,2]U[3,+8)B.(1,2)U(3,+8)

C.(1,2]D.[3,+8)

Xv

12.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知双曲线言=1（a>0,b>0）的在焦点为

azbz

F,若双曲线上存在点P,使得线段尸尸的中点。仍在双曲线上，则该双曲线离心率e的

取值范围是（）

A.(1,2]B.(1,3]C.[2,+8)D.[3,+8)

二、填空题（每小题4分，共16分，请将正确答案填在横线上）

13.（4分）（2018秋•南关区校级期末）把二进制数11011⑵化为十进制数是.

14.（4分）（2018秋•南关区校级期末）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图

所示，则这组数据的中位数是.

93I6402

15.（4分）（2018秋•南关区校级期末）己知双曲线过点（4,-V3）,且渐近线方程为>=

±~x,则该双曲线的标准方程为

2------------

x2y2

16.（4分）（2014秋•东台市期末）已知Fi（-c,0）,Fi（c,0）为椭圆）+—=1（a

Ci乙人/

>6>0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足=2。2,则此椭圆离心率的取值范

围是.

三、解答题（17、18题每题8分，19-22每题10分，共56分，解答题应写出文字说明，证

明过程或演算步骤）

17.（8分）（2018秋•南关区校级期末）袋中有2个红球A和8,3个白球。、6和c,摸出

一个红球得5分，摸出一个白得4分，现从中任意摸出2个球，求事件”所得分数大于8

分”的概率.

18.（8分）（2018秋•南关区校级期末）已知某种设备的使用年限尤（年）与所支出的维修

费用（万元）的统计资料料如下：

x23456

y2.23.85.56.57.0

（1）求出回归直线方程：

（2）若维修费用是12.38万元，试估计设备的使用年限是多少？

丫-4_/■

｛;二日

。为参数）.在以。为极点，尤轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方

程为p=2sin（0+-

（/）求曲线Ci的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；

（II）若点P,。分别在曲线Cl、C2上，求|「。|的取值范围.

20.（10分）（2018秋•南关区校级期末）从参加某次数学考试的学生中抽出60名，将其成

绩（均为整数）整理后画出的概率分布直方图如下（60分及以上为及格），请回答下列问

题:

（1）估计这次数学考试的及格率;

（2）根据频率分布直方图给出这次数学考试成绩情况的一个评价.

/=2py（p>0）的焦点到准线的

距离为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）点A（-a,a）（a>0）在抛物线C上，是否存在直线/：y=fcv+4与抛物线C交于

点M,N,使得△MAN是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线/的方程；若

不存在，请说明理由.

22.（10分）（2018秋•南关区校级期末）已知椭圆C—+£7=1（〃>匕>0）的离心率为

azbz

―,且过点（虫,—）.椭圆C的左、右焦点分别为四，Fi,过乃的直线交椭圆于3,

322

。两点，过尸2的直线交椭圆于A,C两点，且ACL8D

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形A8C。面积的最小值.

2018-2019学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期

末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）

1.（4分）（2017•安徽二模）设命题p：VxGR,则-1p为（）

A.VxGR,FVX+1B.3XO€R,/VXO+1

C.3xoGR,D.3xER,VO+1

【考点】2J：命题的否定.

【专题】11：计算题；38：对应思想；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：VxGR,则「p为

3xoGR,e^°<xo+L

故选：B.

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

2.（4分）（2018秋•南关区校级期末）若椭圆C：-;+J=1的右焦点坐标是（1,0）,长

a

轴长是4,则椭圆的标准方程为（)

X2*42

B.—+y=1

4/

22

x乙p

D.—+—=1

1615

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】34：方程思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由题设知：2a=4,c=l,"a1-3=3,即可求椭圆方程.

工2y2

【解答】解：由题设知：2〃=4,c=l,b2=a2-C2=3,故椭圆方程为一+—=1,

43

故选：A.

【点评】本题考查了椭圆的方程，属于基础题.

久？V?

3.（4分）（2018秋•南关区校级期末）曲线--一=1的虚轴长是（）

48

A.2V2B.2V3C.4V2D.4V3

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求得双曲线的b,由虚轴长2b,即可得到所求长.

【解答】解：双曲线一——=1的。=2,b=2&,

48

即有2b=4A②

可得双曲线的虚轴长为4V2.

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题.

4.（4分）（2018秋•南关区校级期末）若原命题是“若x=-1,则尤-2=0”则它逆命

题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】21：四种命题.

【专题】36：整体思想；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】根据逆否命题的等价性判断原命题和逆命题的真假即可.

【解答】解：由x2-x-2=0得x=-1或x=2,

即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，

命题的逆命题饿、为若/-X-2=0,则x=-l为假命题.，则命题的否命题为假命题，

故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1个，

故选：B.

【点评】本题主要考查四种命题真假关系的判断，利用逆否命题的等价性是解决本题的

关键.

5.（4分）（2018秋•南关区校级期末）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从

编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的

5瓶饮料的编号可能是（）

A.5,10,15,20,25B.2,4,8,16,32

C.1,2,3,4,5D.8,18,28,38,48

【考点】B4：系统抽样方法.

【专题】36：整体思想；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.

【解答】解：样本间隔为50+5=10,

A的间隔是5,B的间隔不相同，C的间隔是1,。的间隔是10,

故选：D.

【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键.

6.（4分）（2013•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入机=72,”=30,则输出的n

是（）

A.12B.6C.3D.0

【考点】EF：程序框图.

【专题】11：计算题.

【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后7■的值找出规律,

从而得出所求.

【解答】解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，

输入相=72,”=30,

第一次循环：724-30=2-12,

第二次循环：30+12=2…6,

第三次循环：12+6=2-0,

•・〃=6.

故选：B.

【点评】本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和

直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题.

7.（4分）（2015秋•南阳期末）设a,beR,贝Uua+b>T,是“a>l且b>l”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】5L：简易逻辑.

【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

【解答］解：若a>l且6>1时，a+b>2成立.

若a=0,6=3,满足a+6>2,但a>l且6>1不成立，

Aua+b>2n是且6>1”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基

础.

8.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知产是抛物线y2=4x上的一个动点，则尸到（0,

2）的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）

A.3B.4C.V5D.V6

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】15：综合题；38：对应思想；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围

问题.

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|Pfl+|朋闫4尸|,再求出IM

的值即可.

【解答】解：由题得：如图：

依题设A在抛物线准线的投影为A',抛物线的焦点为R

A（0,2）.尸在准线上的射影A"

•.,抛物线y=4x,.•.尸（1,0）,

依抛物线的定义知尸到该抛物线准线的距离为：

\PA"\=\PF\,

则点P到点A（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d^\PF\+\PA\^\AF\=V5.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点尸到点（0,2）的距

离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0,2）的距离与P到焦点F的距离之和.

9.（4分）（2018秋•南关区校级期末）在区间[0,4]内随机取出两个数无，》则2Wx+yW4

的概率是（）

1315

A.一B.-C.一D.—

4828

【考点】CF：几何概型.

【专题】13：作图题；51：概率与统计.

【分析】先作出x,yG[0,4],2Wx+yW4所表示的平面区域，再结合几何概型中的面积

型求面积之比即可.

【解答】解：由已知有：在区间［0,4］内随机取出两个数无，结合几何概型中的面积

四边形DEAC的面积8--2X2X2J3

型：则2Wx+yW4的概率是:

正方形ABCO的面积16-8’

故选：B.

【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属简单题.

汽2y2

10.(4分)(2018秋•南关区校级期末)设尸是椭圆=1上一点，M、N分别是两圆：

259

(x+4)2+y=l和(x-4)2+/=l上的点，则1PMi+|PN|的最小值、最大值的分别为()

A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12

【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合.

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】圆外一点P到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r,最小值为|PC|-「，其中C为

圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点尸与两圆心M,N,直线PM,PN与两圆各交于

两处取得最值，最大值为1PM+FN+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN-两圆半径之和.

X2yJ2

【解答】解：•两圆圆心F1(-4,0),F1(4,0)恰好是椭圆：+—=1的焦点，

259

A|PFI|+|PF2|=10,两圆半径相等,都是1,即r=l,

(|PM+|PN|)"，加=|尸尸1|+|尸尸2|-2r=10-2=8.

(\PM\+\PN\)max=\PFi\+\PF2\+2r=10+2=12.

故选：C.

【点评】本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定

义和圆的性质的合理运用.

11.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知命题p：方程/+/依+1=0有两个不等的负实根，

命题g：方程4%2+4（根-2）x+l=0无实根，若p或q为真，p且q为假，则实数机的

取值范围是（）

A.（1,2]U[3,+8）B.（1,2）U（3,+°O）

C.（1,2]D.[3,+8）

【考点】2E：复合命题及其真假；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【专题】11：计算题.

77?2_4^*0

-<o'若“真'△=八噜2行…<0'由题意可知'P与

{m

4一真一假，分类讨论即可.

2〉

【解答】解：若P真，贝RfjTi—40,解得：加>2；

1―m<0

若q真，则△二4（m-2）]2-16<0,解得：1<根<3；

,.6或q为真，p且q为假，

•'•P与q一真一假，

当p真q假，解得根，3；当p假q真，解得l<mW2.

综上所述，l<mW2或机23；

故选：A.

【点评】本题考查复合命题的真假，求得p真，q真的根的范围是关键，突出考查分类

讨论思想与化归思想，属于中档题.

x2y2

12.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知双曲线=-*=1（a>0,。>0）的在焦点为

azbz

F,若双曲线上存在点P,使得线段PF的中点。仍在双曲线上，则该双曲线离心率e的

取值范围是（）

A.（1,2]B.（1,3]C.[2,+8）D.[3,+°°）

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】设|P尸|=t,由双曲线的定义可得1PBi=2a+f,运用中位线定理和双曲线的定义,

结合余弦定理，化简可得。2=5/+2加，由t^c-a,结合离心率公式和二次不等式的解

法，可得所求范围.

【解答】解：如右图，设|P尸1=3

由双曲线的定义可得|PF|=2a+t,

由。为尸尸的中点，

可得\QF\=a+^,\QF\=3a+^,

在三角形。尸尸中，。。为中线，

由余弦定理可得cosZFOQ+cosZFOQ

_^-+c2-(a+1)2c2+^-(3a+1)2

-7I7=U,

2《c2c%

化简可得c'—5cr+lat,

由f2c-a,可得c2-5a222a(c-a),

即为。2-3。2-2。。20,即有e2-2e-320,

解得e》3.

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围，注意运用双曲线的定义和

余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

二、填空题（每小题4分，共16分，请将正确答案填在横线上）

13.（4分）（2018秋•南关区校级期末）把二进制数11011⑵化为十进制数是27.

【考点】EM：进位制.

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5K：算法和程序框图.

【分析】把二进制数转化为十进制数，只要依次累加各位数字上的数义该数位的权重，

即可得到结果.

【解答】解：11011c2?=1X2°+1X21+OX22+1X23+1X24=27,

故答案为：27.

【点评】此题主要考查了二进制数与十进制数互化的方法，属于基础题.

14.（4分）（2018秋•南关区校级期末）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图

所示，则这组数据的中位数是91.5.

897

93I6402

【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数.

【专题】11：计算题.

【分析】由茎叶图可知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序排好后取中间两数的平

均值即可.

【解答】解:由茎叶图可知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序为：87,89,90,

91,92,93,94,96.

出现在中间两位的数据是91,92.

所以样本的中位数是（91+92）+2=91.5,

故答案为：91.5

【点评】本题考查茎叶图，中位数，本题解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中

位数时，看清是有偶数个数字还是奇数个数字，选择出中位数.

15.（4分）（2018秋•南关区校级期末）已知双曲线过点（4,-V3）,且渐近线方程为＞=

1%2

士-无，则该双曲线的标准方程为-r-y2=i.

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为。=相（"W0）,代入点（4,-V3）,解

得m即可得到所求双曲线的标准方程.

【解答】解：渐近线方程为y=±|r,

可设双曲线的方程为尸-卷=机（机W0）,

代入点（4,-V3）,可得3-竽="z,

即m=-1,

工2

可得双曲线的标准方程为一-y=1.

4

%2

故答案为：--y2=l.

4

【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程设出双曲线方程，考查运

算能力，属于基础题.

x2y2

16.(4分)(2014秋•东台市期末)已知Fi(-c,0),尸2(。，0)为椭圆下+=二1(〃

azbz

>6>0)的两个焦点，若椭圆上存在点P满足=2,2,则此椭圆离心率的取值范

围是宜昌.

-z~3-1-

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

—>—>%2-y2

【分析】设P(m,n),通过PFjPF2=2c2,将P(m,n)代入椭圆f+—=1,计算

可得士利用他2^/,计算可得£三包，进而可得结论.

a2a3

【解答】解：设尸(加，〃)，

—>—>

92222

PFrPF2=(-c-m,-n)・(c-m,-n)=m-c+n=2c,

m2+n2=3c2,n2=3c1-m2,①

工2y2、

将P(m,rr)代入椭圆)+—=1b2rr^+a2n2=cPb2,②

azbz

fl2fo23c22222

把①代入②得：2_f>0,：.ab^3ac,

b—a2

Z?2^3C2,a2-Jw3c2,

a2

卜

ccCvU2_>2D(cX2C62ccc

又・・,加2^/,.・・——-~--<^2,.\6Z2-3C2^O,

bz-az

cV3

:•一<—，

a3

_,1CV3

综上，—<—<一，

2a3

故答案为：6，苧.

【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.

三、解答题(17、18题每题8分，19-22每题10分，共56分，解答题应写出文字说明，证

明过程或演算步骤)

17.(8分)(2018秋•南关区校级期末)袋中有2个红球A和8,3个白球。、b和c,摸出

一个红球得5分，摸出一个白得4分，现从中任意摸出2个球，求事件“所得分数大于8

分”的概率.

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【专题】11：计算题；34：方程思想；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】现从中任意摸出2个球，基本事件总数n=Cl=10,事件“所得分数大于8分”

是指摸到的两个球不都是白球，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“所得分数

大于8分”的概率.

【解答】解：袋中有2个红球A和8,3个白球小b和c,摸出一个红球得5分，摸出

一个白得4分，

现从中任意摸出2个球，基本事件总数〃=Cj=10,

事件“所得分数大于8分”是指摸到的两个球不都是白球，

•••事件“所得分数大于8分”的概率p=l-4=0.7.

【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

18.（8分）（2018秋•南关区校级期末）已知某种设备的使用年限无（年）与所支出的维修

费用（万元）的统计资料料如下：

X23456

y2.23.85.56.57.0

（1）求出回归直线方程：

（2）若维修费用是12.38万元，试估计设备的使用年限是多少？

公式：bJ%（看一初%］）,a=y—bx.

必（D

【考点】BK：线性回归方程.

【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；51：概率与统计.

【分析】（1）由已知求得b,a的值，则线性回归方程可求；

（2）在线性回归方程中，取y=12,38求得尤值，则答案可求.

必、\—2+3+4+5+6.—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

［解答］解：（1）尤=-----g--------=4,y=---------------g-------------

,_滂=i（芍一。（%一刃_戏=i4乃-5可_112.3—5x4x5_

一理=1（%i-X）2一咏1蜡—5.2—90-5X42一'’

a=y—bx=5—1.23x4=0.08,

关于尤的线性回归方程为y=1.23%+0.08；

（2）在y=1.23%+0.08中，取>=12.38,可得x=10.

若维修费用是12.38万元，估计设备的使用年限是10年.

【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题.

19.（10分）（2018秋•南关区校级期末）在直角坐标系尤Oy中，曲线Ci的参数方程为《二

。为参数）.在以。为极点，龙轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方

程为p=2sin（。+等）.

（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；

（II）若点P,。分别在曲线Cl、C2上，求|「。|的取值范围.

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程.

【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程.

【分析】（/）使用加减消元法消去参数/得出Ci的普通方程，将C2的极坐标方程两边同

乘p,按两角和的正弦公式展开，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；

（〃）求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系得出|PQ|的最小值即可.

【解答】解：⑺曲线Ci的普通方程为：V3x+y-4V3=0,

Vp=2sin（9+詈）=-V3sin0+cos0,

p2=—\/3psin0+pcos0,

，曲线Ci的直角坐标方程为：/+/+何-x=0.

（〃）曲线Q的圆心为（5，-竽），半径r=l.

...圆心到直线C1的距离d=摩+W-4、=373>r

直线。与圆C2相离.

-3V3

•••1尸。1的取小值为一-1，

3V3

；.|尸。|的取值范围是［?—1,+8）.

【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，

属于中档题.

20.（10分）（2018秋•南关区校级期末）从参加某次数学考试的学生中抽出60名，将其成

绩（均为整数）整理后画出的概率分布直方图如下（60分及以上为及格），请回答下列问

题:

（1）估计这次数学考试的及格率；

（2）根据频率分布直方图给出这次数学考试成绩情况的一个评价.

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：概率与统计.

【分析】（1）由频率分布直方图求出这次数学考试成绩在60分以上的频率，由此能估计

这次数学考试的及格率.

（2）由频率分布直方图求出这次数学考试成绩的众数，及格率和80分以上的学生的比

例，由此得到总体来说这次数学考试成绩良好.

【解答】解：（1）由频率分布直方图得这次数学考试成绩在60分以上的频率为：

1-（0.01+0.015）X10=0.75,

...估计这次数学考试的及格率为75%.

（2）由频率分布直方图得：

695+795

这次数学考试成绩的众数为.2.=745

及格率为75%,其中30%的学生成绩在［69.5,79.5）内，

80分以上的学生达到30%.

总体来说这次数学考试成绩良好.

【点评】本题考查及格率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图的

性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

21.（10分）（2018秋•南关区校级期末）已知抛物线C：/=2Q（p>0）的焦点到准线的

距离为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）点A（-a,a）（a>0）在抛物线C上，是否存在直线/：y=fcv+4与抛物线C交于

点M,N,使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线/的方程；若

不存在，请说明理由.

【考点】KN：直线与抛物线的综合.

【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；4P：设而不求法；5C：向量与圆锥

曲线.

【分析】(1)由己知条件求出p的值，即可得出抛物线C的方程；

(2)将点A的坐标代入抛物线C的方程求出a的值，可得出点A的坐标，然后将直线I

—>—>

的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，由题中条件得出4M-4N=0,利用向量

的坐标运算律，并代入韦达定理可求出k的值，并对k的值进行检验，从而得出直线I

的方程.

【解答】解：(1)抛物线C的焦点到准线的距离为p=2,所以，抛物线C的方程为尤2

=4y；

(2)由于点A在抛物线。上，所以，(-“)2=4〃，即〃2-4〃=0,由于〃>0,得〃=4,

所以，点的坐标为(-4,4),

设点M(xi,yi)、N(x2,V2),将直线I的方程与抛物线C的方程联立得也="：+4,

=4y

消去y,得x2-4日-16=0,

△=169+64>0恒成立，由韦达定理可得％1+工2=4攵，x\x2=-16,

->—>

由于△M4N是以为斜边的直角三角形，贝!MMSN=O,

AM=(%i+4,yi-4)=(%1+4,kx』同理可得AN=(x2+4,/c%2)»

—>—>

2

.,.AM-AN=(%i+4)(^2+4)+kxrx2=(9+1)XIX2+4(XI+%2)+16=-16(9+1)+16^+16

=-16必+16左=0,

化简得必-k=Q,解得k=0或k=4,

当上=0时，直线/的方程为y=4,此时，直线/与抛物线C的一个交点为A,不符合题

意！

经检验，％=1合乎条件.

因此，当直线/的方程为y=x+4时，△AMN是以为斜边的直角三角形.

【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查向量与抛物线的综合，问题的关键主

要是将垂直关系转化为向量的数量积，属于中等题.

Xv

22.（10分）（2018秋•南关区校级期末）已知椭圆C：—+—-1（a>b>0）的离心率为

azbz

―,且过点（处,"）.椭圆C的左、右焦点分别为尸1,F2,过尸1的直线交椭圆于8,

322

。两点，过放的直线交椭圆于A,C两点，且ACLBD

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形ABC。面积的最小值.

【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合.

【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】（1）由e=；=*，求得2/=3庐，将点（四，—）代入椭圆方程，即可求得。

a322

和6的值，求得椭圆方程；

（2）设8。的方程为尸左（x+1）,代入椭圆方程，并化简得（3^+2）/+6&+33-6=

0.设B（xi,yi）,D（或，>2）,求得|3D|和|AC|,由此可以求出四边形ABCD的面积的

最小值.

【解答】解：⑴由e=：=,1一,=字,求得2/=3必，

V3V6%2y236

将点（77，—）代入椭圆方程方+77=1（4>。>0）可得L

22a2b24a24b2

解得庐=2,a2=3.

_x2y2

，椭圆C的标准方程：—+=1.

32

（2）（i）当8。的斜率左存在且时，的方程为（x+1）,

22

代入椭圆方程一+—=1,并化简得（3武+2）/+6mx+3武-6=0.

32

设5（XI,yi）,D（X2,>2）,则％1+X2=—^―,X1X2=^7--

3k'+23/+2

2

\BD\=Vl+k*\xl-x2\="+k2A/（石+—4%无2=+D

~3k+2

因为AC与8。相交于点P,且AC的斜率为所以，|AC|=4妆2+1）.

k2k'+3

四边形ABCD的面积S=^\BD\\AC\=—2一（必+/=96；

2（2fc+3）（3fc+2）[2kz+3+3kz+2]225

当修=1时，上式取等号.

（ii）当AD的斜率上=0或斜率不存在时，四边形A8CD的面积S=4.

96

综上,四边形A8CO的面积的最小值为以

【点评】本题综合考查椭圆的性质信其应用，基本不等式的应用，难度较大，解题时要

认真审题，仔细计算，注意基本不等式的灵活运用.

考点卡片

1.四种命题

【知识点的认识】

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另

一个叫做原命题的逆命题.

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否

定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另

一个叫做原命题的否命题.

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结

论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做

原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.

【解题方法点拨】

理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其

它考点的知识、方法相结合.

【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点

可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题.

2.充分条件、必要条件、充要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则/'为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必

要条件.事实上，与“0今/等价的逆否命题是“「4台「P”.它的意义是：若q不成立，

则p一定不成立.这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：

x>2；q-.尤>0.显然xC。，则xCq.等价于xCq,则x即一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=q”,又有“qnp”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条

件4是0成立的充要条件，记作p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与

必要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件,

必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p0cl为假命题且q0P为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表