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文档简介

G.F.B.Riemann(1826-1866)只有在微积分创造之后，物理学才成为一门科学.只有在认识到自然现象是连续之后，结构抽象模型努力才取得了成功。------黎曼1/69多元函数积分学2/69定积分(DefiniteIntegral)二重积分(DoubleIntegral)三重积分(TripleIntegral)性质直角坐标极坐标曲线坐标直角坐标柱面坐标球面坐标曲面坐标应用3/69二重积分换元法

(ChangeofVariableinDoubleIntegral)4/695/69三重积分换元法(ChangeofVariableinTripleIntegral)6/697/69轻易验证，柱坐标(CylindricalCoordinate)变换Jacobi行列式为球坐标(SphericalCoordinate)变换Jacobi行列式为8/69广义球坐标变换Jacobi行列式为其中9/69二重积分对称性10/69使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴对称性；２、被积函数在积分区域上关于二个积分变量奇偶性.11/69三重积分对称性12/69使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面对称性；２、被积函数在积分区域上关于三个坐标轴(三个变量)奇偶性.13/69二重积分与曲线积分联络（Green公式）三重积分与曲面积分联络(Gauss公式)14/69曲面积分与曲线积分联络(Stokes公式）

15/69与路径无关四个等价命题条件等价命题16/69空间曲线积分与路径无关四个等价命题条件等价命题17/69一.计算题18/69重积分计算关键:1.选择适当坐标系2.确定适当积分次序以及积分限（综合考虑积分区域和被积函数）19/69例1

计算:解考虑用极坐标变换先搞清直角坐标系下积分区域D，20/69

由此,能够画出直角系下积分区域图形，21/6922/69例223/6924/69例3解25/69p26/69由对称性27/69例4计算28/69解曲面坐标变换目标,(1)使积分区域变得尽可能简单,(2)简化被积函数及计算。引入坐标变换：29/6930/69例5

设心脏线方程为求它与极轴围成平面图形绕极轴所得旋转体体积。解若视极轴为z轴，则极坐标

恰好是球坐标于是体积31/6932/69例6解由对称性33/69例734/69解35/69于是36/69例8解37/6938/69二.证实题39/69例140/69证实:采取极坐标将式中r换成x,即得证.由对称性知41/69例2证42/69证实：由积分区域D关于y=x对称，所以从而例343/69例4解：44/6945/69例4’46/69例547/69例6分析：48/69则本题得证.49/69例7证实50/69例8证由积分中值定理有51/69例9证由积分中值定理有52/69例10证53/6954/69例1155/6956/6957/6958/69证由题设条件可得故有59/69（分部积分）（分部积分）60/69由分部积

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