专题03 填空压轴题（解析版）

专题03填空压轴题1．（2023•上海）在中，，，，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是．【答案】【详解】连接，如图：过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，，在边上，点在延长线上，，，与有公共点，，，由①得：，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，不等式组的解集为，又，半径的取值范围是．故答案为：．2．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．【答案】【详解】如图，圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，圆心就是三角形的内心，当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，，，，，，，由，，设，则，，解得，即，在中，，故答案为：．3．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为．【答案】【详解】如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，如图①：正方形边长为2，为正方形中心，，，，，，；如图②：正方形边长为2，为正方形中心，，，，，，；的取值范围为．故答案为：．4．（2020•上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是．【答案】【详解】在矩形中，，，，，如图1，设与边相切于，连接，则，，，，，，如图2，设与边相切于，连接，则，，，，，，，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，故答案为：．5．（2019•上海）在和△中，已知，，，，点、分别在边、上，且△，那么的长是．【答案】【详解】△，可以将△与重合，如图，，，，，，，，解得，的长为，故答案为．6．（2023•徐汇区二模）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是．【答案】【详解】、点，，，，连接，，取的中点，即的坐标，连接，又分别是、的中点，，是定点，，即点的运动轨迹是以点为中心，为半径的圆．，点坐标，，的取值范围是，即，即．故答案为：．7．（2023•杨浦区二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为．【答案】【详解】如图，连接，取的中点，连接，，在和中，点是斜边的中点，，根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，又，，，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，．故答案为：．8．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”，，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是（写出所有符合条件的情况）【答案】或或或【详解】若是等腰三角形，与相似，如图1，当，时，，，如图2，当，时，，，当是等腰三角形，与相似时，如图3，当，时，，，如图4，当，时，，设，，，，，综上所述：或或或，故答案为或或或．9．（2023•浦东新区二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为．【答案】或【详解】如图1，设正三角形和正方形的中心分别为和，正三角形和正方形是轴对称图形，它们的一边重合，正三角形和正方形的中心点在它们的对称轴上，连接并延长交于，则，连接，则，，，中心距为，如图2，同理可得中心距为，故答案为：或．10．（2023•杨浦区一模）如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，点、分别落在点、处，边、分别与边交于点、，那么线段的长为．【答案】【详解】如图，过点作于点，在矩形中，，，，将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，，，，，，，△，，即，，，，，，，△，，即，，，，，设，则，，，△，，即，解得：，，．故答案为：．11．（2023•黄浦区二模）我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是．【答案】8或【详解】四边形的“等形点”在边上，与全等，，，，如图，当时，，，四边形是平行四边形，，四边形的周长为：；如图，当时，，，，，，，，，，，，，，四边形的周长为：，故答案为：8或．12．（2023•虹口区一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、，那么的长为．【答案】或6【详解】当边上是高在形内时，如图：，，，，当边上是高在形外时：，故答案为：或6．13．（2023•嘉定区二模）如图，在中，，，，点、分别是边、的中点，联结．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、如果点落在线段上，那么线段．【答案】【详解】点、分别是边、的中点，，，，，，，将绕点顺时针方向旋转，，，，，，在和△中，，△，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，故答案为：．14．（2023•普陀区一模）如图，在中，为边上的中线，，，．将绕点以逆时针方向旋转得到△，点、分别与点、对应．连接，与线段交于点．如果点、、在同一条直线上，那么．【答案】【详解】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，设交轴于，如图：为边上的中线，，，，，设，则，，，解得，，，，，由，，得直线解析式为，将绕点以逆时针方向旋转得到△，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，由，，得直线解析式为，联立得，，，，故答案为：．15．（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为．【答案】【详解】由题意可分：①设，，则在上截取一点，使得，如图所示：，，，为钝角，故不存在；②设，，过点作于点，过点作于点，如图所示：是特征三角形，即，且，，平分，，，，设，，，则有，，，在中，由勾股定理得，解得：或（舍去），；故答案为：．16．（2023•静安区二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为，如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是．【答案】【详解】点在直线上，设点的坐标为，则点的坐标为，，点在的内部，，整理得：，，点的横坐标的取值范围是．故答案为：．17．（2023•崇明区二模）如图，已知在两个直角顶点重合的和中，，，，，将绕着点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，联结，那么．【答案】【详解】和中，，，，，，，，，，，，，，，，设，则，在中，，，（负根已经舍去），．18．（2023•长宁区一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是．【答案】或或【详解】由图可知，是两条直角边的比为的直角三角形，在方格中画出与相似的三角形，如图：点的坐标是或或，故答案为：或或．19．（2023•杨浦区三模）如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，点、分别落在点、处，连接，如果，那么边的长为．【答案】【详解】如图，连接，，将绕点顺时针旋转，点、分别落在点、处，，．，，与是等边三角形，．，，，，点，，三点共线，，，．设，，，，，（负值舍去），的长为，故答案为：．20．（2023•金山区一模）如图，为等腰直角三角形，，，为的重心，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点在直线的上方），为的重心，设、两点的距离为，那么在点运动过程中的取值范围是．【答案】【详解】当与重合时，与重合，此时最小为0，当与重合时，最大，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，过作于，如图：为等腰直角三角形的重心，为中点，，和是等腰直角三角形，，，，，是为等腰的重心，为中点，，，，，，共线，，，，，，，即，，，，，最大值为，的范围是，故答案为：．21．（2023•松江区一模）已知中，，，将绕点旋转至△，如果直线，垂足记为点，那么的值为．【答案】或【详解】设，则，，当旋转时，，，，，，，同理：当旋转时，，故答案为：或．22．（2023•虹口区二模）如图，在矩形中，，点在边上，，联结，将沿着翻折，点的对应点为，联结、，分别交边于点，，如果，那么的长是．【答案】【详解】延长，交的延长线于点，如图，，，即，，，，四边形为矩形，，，，，，，即，，，根据折叠的性质可得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，即，．故答案为：．23．（2023•松江区二模）我们定义：二次项系数之和为1，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么的友好函数是．．【答案】【详解】，二次项系数为2，对称轴为直线，的友好函数是，故答案为：．24．（2023•青浦区一模）定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为．【答案】【详解】点、是边的勾股分割点（线段，，，，，，，，，，同理，，．故答案为：．25．（2023•长宁区二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为．（参考数据：，【答案】【详解】四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，在等腰中，，，，平行四边形的周长．故答案为：．26．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于．【答案】或【详解】如图，，，，作于，设，，①当时，，，，，，，，设，，，，即．②当时，，，，即，，．故答案为：或．27．（2023•奉贤区一模）我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的“变形系数”，如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是．【答案】【详解】设矩形的长和宽分别为，，变形后的平行四边形的高为，，，，，．故答案为：．28．（2023•金山区二模）已知中，，，，点是线段上的动点，点在线段上，如果点关于直线对称的点恰好落在线段上，那么的最大值为．【答案】【详解】在中，，，，，．点关于直线对称的点恰好落在线段上，．点在线段上，，当取最小值时取最大值．如图，当时，最小．，，，即的最大值为．故答案为：．29．（2023•崇明区一模）如图，在中，，，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为．【答案】【详解】如图，延长交于点，，，，，，，，，，由翻折得，，解得，，，，，，，，，，，，，解得，故答案为：．30．（2023•普陀区二模）在中，，，，为中点（如图），为射线上一点，将沿着翻折得到△，点的对应点为，如果，那么．【答案】或6【详解】①当点在线段上时，如图，，为中点，，，，，根据折叠可知，，，，，，设，则，在△中，，，解得：，；②当点在的延长线上时，如图，，为中点，，，，，根据折叠可知，，，，，设，则，在△中，，，解得：，．综上，的长为或6．故答案为：或6．31．（2023•青浦区二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点在边上，将沿所在的直线翻折，点落在点处，如果，那么．【答案】【详解】如图，连接，过点作于点，在中，，，，，，，为的中点，，根据折叠的性质可得，，，，，，四边形为矩形，，，，，在中，，．故答案为：．32．（2023•奉贤区二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，．将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是．【答案】2【详解】四边形是正方形，，，过点作于，，，，，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在线段上，，，，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，，，，，，；在中，，在中，，，．故答案为：2．33．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数与，、是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与、是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标．【答案】，【详解】根据题意得，解得．点的坐标为，，故答案为：，．34．（2023•浦东新区模拟）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为．【答案】或【详解】分两种情况：①如图，当时，是直角三角形，在中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，，；②如图，