极坐标系与极坐标方程

极坐标系及极坐标方程一、根底知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为。有序数对叫做点M的极坐标，记为M.极坐标与表示同一个点。极点O的坐标为.4.假设,那么,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.在极坐标系中，过点，且垂直于直线OA的直线l的极坐标方程是.在极坐标系中，过点，且与极轴成角的直线的极坐标方程是.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；8.圆锥曲线方程：〔1〕表示离心率为，焦点到相应准线距离为的圆锥曲线方程。当时，表示极点在抛物线的焦点；当时，极点在双曲线的右焦点；表示双曲线，表示双曲线右支；当时，表示极点在椭圆的左焦点〔2〕当极点与直角坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，圆锥曲线方程只需要利用互化公式转化即可。9．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。10．圆的参数方程可表示为.椭圆(a>b>0)的参数方程可表示为.抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为〔t为参数〕。11．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.例1.在平面直角坐标系中，方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是_________________.练习1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，那么曲线C的方程是_________________.练习2.在同一平面直角坐标系中，使曲线变为曲线的伸缩变换是___________.练习3.将椭圆变为圆的伸缩变换为。例2．〔1〕点的直角坐标是，那么点的极坐标为。〔2〕在极坐标系中，过点，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________.练习1.极坐标方程化为直角坐标方程是_______________________.练习2.直角坐标方程化为极坐标方程是_________________________.练习3.在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是_______________________.例3.在极坐标系中，极点到直线的距离是____________.练习1．极坐标系内，曲线上的动点P与定点的最近距离等于____________.练习2.〔2007广州一模文、理〕在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是_____．例4.曲线绕极点逆时针旋转后，新曲线的极坐标方程为.练习1.曲线与曲线C关于直线对称，那么曲线C的方程为。练习2.椭圆上两点A、B满足，其中O为极点，那么|AB|=。练习3.椭圆，F为其左焦点，过F作两直线分别交椭圆于P、Q和M、N且，求四边形PMQN的最大值和最小值。例5.参数方程化为普通方程是_________________________.练习1.椭圆的焦点坐标是_________________________.练习2.双曲线的离心率是_________________________.练习3.曲线上的点与定点A〔-1，-1〕距离的最小值是_____________.练习4.，那么的最小值是_________________.练习5.点M〔x,y〕在椭圆上，那么点M到直线的最大距离为________,此时，点M的坐标是_____________.三、高考、模拟考试题选编：1．〔2005福建理〕设的最小值是〔〕A．B．C．－3D．2.〔2004春招北京理〕在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为〔〕A.B.C.D.3.〔2002广东、河南、江苏〕极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝EQ\f(1,2)的图形是()0EQ\f(1,2)0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x4.〔2001广东〕极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是〔〕A．两条相交直线B．圆C．椭圆D．双曲线5．(2007广东文)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，那么点(2，π/6)到直线l的距离为．6．〔2002全国理〕点到曲线〔其中参数〕上的点的最短距离为〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕〔D〕27.(2007广东理)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，那么圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为.8．(2007海南、宁夏文、理)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．9．〔2007深圳一模理〕在极坐标系中，点〔1，〕和,那么、两点间的距离是．10．(2007韶关二模文、理)将极坐标方程化为直角坐标方