2020-2021学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）.

1.设集合M={x|（x+3）（x-1）<0},N={x|0<x<4},则MCN=（）

A.（0,1）B.（-1,4）C.（0,3）D.（-1,3）

2.已知i为虚数单位，若2=-a：.",则z的共辗复数W=（）

cosD+ismy

A.cos0-zsinOB.sin0-zcosOC.sin0+zcos0D.cos0+zsin0

3.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上

造、公士，凡五人，共出百欲令高爵出少，以次渐多，冏各黑何？”意思是：“有

大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低

每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则

上造出的钱数为（）

A.8B.12C.20D.28

5.己知平面向量之，E满足（；+E）=3，且图=2,阴=1,则向量之与芯的夹角为（）

6.已知角a的顶点为坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点尸（-3,4）,

贝cos2a=()

724

A.Bc24D.

25-飞,2525

7.已知函数/(x)对任意xER都有/(x+2)=-/(%),且当比［0,2)时，f(x)=log2

(x+1),则/(2021)-2021)=()

A.2B.1C.-1D.-2

8.已知双曲线C3~-工^1(&>0,b>0),P(xg,y0)是直线加;-〃y+2a=0上任意

一点，若(%-次)2+(y-yo)2=2与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心

率的取值范围是()

A.(1,2］B.(1,C.(2,+8)D.［轲，£O)

二、多项选择题(共4小题).

9.下列命题为真命题的是()

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若〃V/?V0,贝(Ja2V°芋〈炉

C.若c>a>6>0,则-

c-ac-b

D.若a>b>c>0,则包〉史工

bb+c

10.设m,〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面.下列说法正确的是()

A.若根J_a,〃-La,贝|小〃〃

B.若。_10,m±p,meta,则相〃a

C.若(1_10,mua,则机J_0

D.若机ua,"ua,m//p,〃〃0,贝1Ja〃0

11.二项展开式(2x-1)5=a5X5+a4J(4+a3X3+a2^2+a\x+ao,贝!!()

A.ao=-1

B.5〃5+4〃4+3。3+2〃2+〃1=10

C.〃3=80

D.41+〃2+的+〃4+〃5=1

12.已知函数/(%)=asinx+Z?cosx(obWO),且对任意xER都有f(1一x)=f(1-+X)，

Oo

贝(！()

A.f(x)的最小正周期为2Tl

07TIT

B./(x)在［多一，上单调递增

oO

c.器是/(x)的一个零点

0

D.—b=5/3

三、填空题（共4小题）.

13.曲线C：y=xe*在点e）处的切线方程为.

14.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于48两点，则|48|=.

15.甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程，则甲、乙所选的课程中至少有1

门课程不同的概率为.

16.已知侧棱长为«的正四棱锥S-A3。的所有顶点都在球。的球面上，当该棱锥体积

最大时，底面ABCD的边长为,此时球。的表面积为.

四、解答题（共6小题）.

17.在①2sinA=3sin8；②△ABC的面积为冕运；@b（Z?cosC+ccosB）=6这三个条件中

4

任选一个补充在下面的问题中，并解答.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-6=1,cosC=-二，______.

4

（1）求C的值；

（2）求tan2B的值.

18.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且3s3=S4+2S2,ai=2.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

-

（2）设6"=log2。"，Cn=an+77T,求｛Cn｝的前〃项和7k

19.2020年春，我国出现病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重

的可导致肺炎甚至危及生命.病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，

危难时刻全国人民众志成城、共克时艰.某校为了了解学生对病毒的防护认识，对该校

学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取20人，统计答题成

绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表：

女生成绩

成绩[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数7742

规定：成绩在80分以上（含80分）的同学称为“防疫明星”.

（1）根据以上数据，完成以下2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星

与性别有关；

男生女生合计

防疫明星

非防疫明星

合计

(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明

星”的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

n(ad-bc)2

附：参考公式瓦2n,其中n—a+b+c+d.

(a+c)(b+d)(a+b)(c+b)

参考数据：

P(烂》无)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

10.828

频率

男生成绩

20.如图1,一副标准的三角板中，ZB=ZE=9Q°,ZA=60°,DE=EF,BC=DF.将

三角板的边BC与。尸重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图2.设M是AC的中

点，N是的中点.

(1)求证：平面A8C_L平面EMN；

(2)若AC=2£M=4,求二面角E-AC-8的余弦值.

C(F)

22

21.已知椭圆C：3r送『l(a〉b>0)的左、右焦点分别为点P(2,6)在椭

abz

圆C上，且满足^^・丽^=丽^土

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设直线/：y=fcv+〃z与椭圆C交于不同两点N,且OMLON.证明：总存在一

个确定的圆与直线/相切，并求该圆的方程.

22.已知函数/(%)=-—+lnx.

x

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若〃=1,证明

参考答案

一、单项选择题(共8小题).

1.设集合M={尤|(x+3)(x-1)<0},N={x|O<尤<4},则MPN=()

A.(0,1)B.(-1,4)C.(0,3)D.(-1,3)

解：M={x\(x+3)(x-1)<0}={x|-3<x<l},

而双={尤|0<%<4},所以A/GN={ROVxVl}.

故选：A.

2.已知，•为虚数单位，若2=­a：,a，贝Ijz的共物复数z=()

cosu+isinD

A.cos0-zsinQB.sin0-zcosOC.sin0+zcos0D.cos0+fsin0

to,..1cos8-isinQQ..„

解：•a、/------Q■■一。-

•z=-c--o-s--af+is.maf=7(-c--o-s--fa+isinu；[cosf-ism1)=coszsmO,

z=cos0+zsin0,

故选：D.

3.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上

造、公士，凡五人，共出百欲令高爵出少，以次渐多，冏各黑何？”意思是：“有

大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低

每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则

上造出的钱数为()

A.8B.12C.20D.28

解：设首项为的，公差为d>0.由题意可得ai=4,①

Ss=5ai+也看上d=l00，②

由①②联立可得

1=8,

则上造出的钱数为04=01+34=4+3X8=28,

故选：D.

4.函数/(无)—2(x3-%)阴的图象大致是()

解：函数/(x)=2(x3-x)

则/(-无)=-2(x3-x)ew=-f(x),

：.f(%)是奇函数，排除A选项.

令/（x）=0,可得x=±l,

当x=4时，可得/（春）=2（H）F＜。，图象在x轴的下方，排除B,O选项.

故选：C.

5.已知平面向量之，E满足彳・（Z+E）=3，且域1=2,忘=1,则向量Z与5的夹角为（

解：:|a【=2,「・之2=4

又•:a*(a+b)=3,

•••；2+示=4+3=3,得n=7'

设之与E的夹角为式，

则之用=|a||b卜。sa=-1,即2X1Xcosa=-1,得cosa=-

Vae[0,ir],

._2兀

..a---

故选：c.

6.已知角a的顶点为坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点尸（-3,4）,

贝!jcos2a=()

A.7Bc24D.24

25-飞,2525

解：•••角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸（-3,4）,

44

…而2+4片巨

贝！Jcos2a==l-2sin2a=1-2X-^-=-

2525

故选：B.

7.已知函数/(x)对任意在R都有/(x+2)=-/(x),且当抚[0,2)时，/(x)=log2

(x+1),则/(2021)-/(-2021)=()

A.2B.1C.-1D.-2

解：,:f(x+2)=-f(x),

.*./(x+4)=-f(x+2)=f(x),

・•・/(%)是周期为4的周期函数，

,当xC[0,2)时，f(x)=log2(x+1),

(2021)=f(1)=log22=l,

由/(x+2)=-f(x),可得/(x)=-f(x+2),

/(-2021)=/(-1)=-/(1)=-1,

:・f(2021)-f(-2021)=2.

故选：A.

22

8.已知双曲线C：-1(a>0,b>0),P(xQ>)是直线fcv-ay+2〃=0上任意

一点，若(x-xo)2+(y-yo)2=2与双曲线。的右支没有公共点，则双曲线。的离心

率的取值范围是()

A.(1,2]B.(1,^/2]C.(2,+8)D.[版，Q)

22

解：双曲线C：---二=1(a>Q,b>0)的一条渐近线方程为y=4,即bx-ay

a2b2a

=0,

VP(xo,yo)是直线bx-分+2〃=0上任意一点，

、.2a

贝!!直线bx-ay+2a=0与直线bx-ay=0的星巨禺d=[？2=----，

va+bc

•・•圆(x-xo)2+(y-yo)2=2与双曲线。的右支没有公共点，

:.d，近,

金加，

c

即e=U限

a

故e的取值范围为（1,丁为，

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝!jac2>bc2

B.若a<b<0,则d1<ab<b1

C.若c>a>6>0,则-^―〉一^-

c-ac-b

D.若a>6>c>0,则包〉史*

bb+c

解：当c=0时，ac1=bc2,所以A不正确；

若〃VbV0,例如〃=-2,b=-1,则〃2>人2,所以5不正确；

c>a>b>09a(c-Z?)-b(c-a)=ac-bc=c(a-b)>0,所以—>°,所以

c-ac-b

C正确；

若a>b>c>0,则:4=曲富当区=强4>0,所以。正确；

bb+cb(b-c)b(b-c)

故选：CD.

10.设机，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面.下列说法正确的是（）

A.若机J_a,〃_La,贝|加〃〃

B.若aJ_0,m±p,加0a,则小〃a

C.若。_10,mca,则徵_10

D.若mua,nca,m//n//p,则a〃0

解：由加，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，得：

对于A,若mJ_a,〃_La,则由线面垂直的性质定理得加〃"，故A正确；

对于3,若。_10,m±p,m（ta,则由面面垂直、线面垂直的性质得力〃a,故5正确;

对于C,若。_10,mca,则m与0相交、平行或mU0,故C错误；

对于。，若mucc,〃ua,m/7p,〃〃仇则（X与0相交或平行，故。错误.

故选：AB.

11.二项展开式(2x-1)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+aof贝!j(

A.ao=-1

B.5Q5+4〃4+3Q3+2〃2+〃I=10

C.“3=80

D.a\+〃2+的+〃4+〃5—1

解：由二项展开式(2x-1)5=4Z5X5+6Z4X4+tZ3X3+6Z2X2+6llX+«0,

令1=0,可得〃o=-l,故A正确.

两边对X求导数，可得10(2x-1)4=5«5X4+4d!4X3+3d!3X2+2d!2X+6Zl,

再令x=1,可得5〃5+444+3的+2〃2+〃1=10,故B正确;

43=C^・23=80,故C正确;

在展开式中，令x=l,可得-1+41+。2+。3+。4+。5=1,故。1+。2+。3+。4+。5=2,故。错误,

故选：ABC.

兀兀

12.已知函数/（九）=〃sinx+/?cosx（〃/?W0）,且对任意xCR都有f（一万一x）二f（二厂+x），

00

则（）

A.f（x）的最小正周期为2JT

QTTJT

B./（x）在［多一，上单调递增

OO

C.笆•是/（x）的一个零点

6

D.—=A/Q

b

JT兀

解：函数/（%）=〃sinx+Z?cosx（〃Z?WO）,且对任意xER都有f=f（工~+乂），

oo

IT

所以函数/（无）的图象关于》=亍对称，

O

所以“。）=/（手），即匕=与7-薪所以。=«6,由"W0,可得£=«，故

J/乙D

D正确;

所以/(无)=J*§bsinA+6cosx=2b

所以/（尤）的最小正周期为211,故A正确;

当代［卓，*］，x吟曰-卷，三］,当6>0时，/（x）在［卓，3］上单

33bNN00

兀兀

调递增；当》<0时，/（X）在［三9",二卜］上单调递减，故B错误.

oO

当户啥时'/⑴=。’故哈是了⑴的一个零点，故C正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线C：y=xe*在点A/（1,e）处的切线方程为y=2e尤-e.

解：函数的/（x）的导数（无）=（1+无）/

则曲线在（1,e）处的切线斜率左=f（1）=2e,

则对应的切线方程为y-e=2e（x-1）,

即y—2ex-e.

故答案为：y=2ex-e

14.斜率为1的直线经过抛物线V=4x的焦点，与抛物线相交于A,8两点，则|AB|=8.

解：抛物线焦点为（1,0）

则直线方程为了=尤-1,代入抛物线方程得尤2-6x+l=0

・・Xl+%2==6

根据抛物线的定义可知|A8|=xi+^-+x2+y=xi+xi+p=6+2=8

故答案为：8

15.甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程，则甲、乙所选的课程中至少有1

5

门课程不同的概率为7--

一6一

解：甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程，

基本事件总数〃=C：C：=36,

甲、乙所选的课程中至少有1门课程不同包含的基本事件个数加=。欧+"以4=30,

则甲、乙所选的课程中至少有1门课程不同的概率为尸=处=碧=?.

n366

故答案为：-.

0

16.已知侧棱长为网的正四棱锥S-A8CD的所有顶点都在球。的球面上，当该棱锥体积

最大时，底面ABC）的边长为2,此时球。的表面积为9TT.

解：设四棱锥的高为打，

则丫］X（2V3-h2）\=2h（?/「）_,

J/o

V，=2(l+/z)(1-h)，

当/i=l时，V最大，此时底面ABC。的边长为2,

设球半径为R，则2+(R-1)2=R2,

3

解得R=W，

2

...球。的表面积为S=4TTX(5)』91T.

故答案为：2,91T.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在①2sinA=3sinB；②△ABC的面积为双运；③6(bcosC+ccosB)=6这三个条件中

4

任选一个补充在下面的问题中，并解答.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-6=1,cosC—--y,______.

4

(1)求C的值；

(2)求tan2B的值.

解：(1)若选择①，

因为2sinA=3sinB,由正弦定理可得2a=3b,

又a-b=l,解得〃=3,b=2,

由余弦定理可得理=9+4-2义3><2义(--^)=16,解得c=4；

若选择②，

因为cosC=-1,0<C<7T,可得sinC=dbco$2,=^^'

由△ABC的面积为亚运■濡sinC,解得而=6,

42

又a-b=l,所以炉+b-6=0,解得b=2,或-3(舍去)，所以〃=3,

由余弦定理,可得$=9+4-2X3X2X(-卜)=16,解得c=4；

若选择③，

因为/?(Z?cosC+ccosB)=6,

222222

由余弦定理可得b二£_+c・a+c—)=6,整理可得4=6,

2ab2ac

又a-b=l,可得"+/?-6=0,解得人=2,或-3(舍去)，可得〃=3,

由余弦定理，可得。2=9+4-2X3X2X(-/)=16,解得C=4；

(2)由余弦定理可得COSB=2生小—佬当券=1，

2acx3A4o

又因为OVBVm

_715

所以sinB

8

2V15

"\/Ts2tanB77\<15

可得tanB=----,tan2B=5~~

71-tanB,1517

1-49

18.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”且3s3=S4+2S2,0=2.

(1)求数列｛念｝的通项公式；

(2)设瓦=log2Z,Cn=«n+T7-u,求｛0｝的前〃项和4.

bnbni-l

解：(1)等比数列｛如｝的前〃项和为S〃，且3s3=84+2%,〃i=2.设公比为夕,

贝!j3(〃3+〃2+〃1)=(〃l+〃2+〃3+〃4)+2(〃l+〃2)，

整理得2〃3=〃4,

故q=2.

所以二a/qX、？11.

(2)由(1)得仇=log2〃〃="，

Cn=a”+—-=2n+z1=2n+^-^j-，

^n^rd-1n(n+l)nn+1

故Tn=3+22+…+2%(1444+…得-煮)=22：1)+(「♦)=

n+ln+2

2nK

19.2020年春，我国出现病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重

的可导致肺炎甚至危及生命.病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，

危难时刻全国人民众志成城、共克时艰.某校为了了解学生对病毒的防护认识，对该校

学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取20人，统计答题成

绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表：

女生成绩

成绩[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数7742

规定：成绩在80分以上(含80分)的同学称为“防疫明星”.

(1)根据以上数据，完成以下2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”

与性别有关；

星”的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

附：参考公式K2=7-----、尸吗、/-------7其中〃=a+b+c+d.

(a+c)(b+d)(a+b)(c+b)

参考数据：

P(烂三公)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

频率

男生成绩

解：(1)由频率分布直方图可得：男生中成绩大于等于80的频率为(0.035+0.025)X

10=0.6,

则男生中“防疫明星”的人数为20X0.6=12人，"非防疫明星”人数为8人,

由频数分布表可得，女生中“防疫明星”的人数为6人，“非防疫明星”人数为14人,

所以2X2列联表为:

男生女生合计

防疫明星12618

非防疫明星81422

合计202040

所以凡喘黜攀二f—您,

所以有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关；

（2）从20名男生中随机抽取1人，是防疫明星的概率为i点p《3，

2Ub

从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数X服从二项分布，

即X〜5（4,3），X的可能取值为0,1,2,3,4,

则尸（X=。）=C：（f）°e）4溪，尸（x=D=0（看）1（卷）3喘,

P5=。淖）2电2噬7q）3（卷）1髓,

P（X=4）=中高）4/）。嗡，

所以随机变量X的分布列为：

X01234

P169621621681

625625625625625

219

所以X的数学期望为E（X）=4X^m?.

55

20.如图1,一副标准的三角板中，ZB=ZE=90°,ZA=60°,DE=EF,BC=DF.将

三角板的边BC与。尸重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图2.设M是AC的中

点，N是BC的中点.

（1）求证：平面48。_1平面£7时；

（2）若AC=2EM=4,求二面角E-AC-2的余弦值.

【解答】（1）证明：因为M,N分别为AC,8c的中点,

所以又因为AB_LBC,所以MN_L8C,

因为。E=EF,所以EN_LBC,

因为MNC\EN=N,且MN,EN都在平面EMN内，

所以8CLL平面EMN,因为BCu平面4BC,

所以平面ABC_L平面EMN-,

(2)解：在Rt^ABC中，ZBAC=60°,AC=4,

所以42=2,BC=2M，

所以MN=1,EN=M，

又因为EM=2,所以EA/nEM+MV2,所以EALLMW,

又因为ENLBC,MV与BC是平面ABC内的相交直线，

所以EN_L平面ABC,又ACu平面ABC,所以EN_LAC,

过点N作NGLAC于点G,连结EG,

则AC_L平面EGN,又EGu平面EGN,所以EGJ_AC,

所以/EGN为二面角E-AC-8的平面角，

在RtZXMNC中，MN=1,NC=M，MC=2,所以NG=^

在RtAENG中，EN=0所以EG=

a

所以cos/EGN喘&卓，

~2~

故二面角E-AC-B的余弦值为虐■.

5

22

21.已知椭圆C：¥+^l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi,尸2,点P(2,加)在椭

圆C上，且满足立钉.百4=而^土

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/：y=fcc+加与椭圆C交于不同两点M,N,且OM_LON.证明：总存在一

个确定的圆与直线/相切，并求该圆的方程.

，PF_pF=0,

解：⑴,•,?F^PF；=FF^2'."•PF2^l2^

即PF[,F2FI=0,得PhJ_F再

又点尸(2,&)在椭圆C上，.•.尸1(-2,0),F1(2,0),

且由椭圆定义，

得2a=\PFi\+\PF2\=yl(-2-2)2+(0-V2)2+7(2-2)2+(0-V2)2=幺历•

a=2&,。2=〃2_4=4,

22

则椭圆C的标准方程为工上二1；

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y=kxtni

证明：(2)联立＜22,消去y,得(1+2N)x2+4^mx+2(m2-4)=0.