人教A版高中数学选修2-1第三章测评

第三章测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A.①② B.②③C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算．【详解】①===；②==；③=；④=表示恰好形成一个回路，结果必为；综上可知答案选C．【点睛】本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题．2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()A.2, B. C.3,2 D.2,2【答案】A【解析】【详解】若a∥b，则且，解得且，故选A.考点：空间向量平行的判定.3.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（）A.相交 B.垂直C.不垂直 D.成60°角【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，从而可判断PA与底面ABCD关系【详解】解：因为，所以；因为，所以，又，所以平面ABCD．故选：B．【点睛】此题考查线面的位置关系，利用了空间向量进行了求解，属于基础题.4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则点，所以||=.故选：C.5.已知平面α和平面β法向量分别为，则（）A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算结果，即可判断.【详解】因为故可得，则平面α和平面β垂直.故选：A.【点睛】本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.6.已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（）A.5 B.6 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，.，故选：A.7.三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：考点：平面向量数量积的运算8.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.10.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等积法可求到平面的距离，从而可得正确的选项.【详解】设点到平面的距离为，则.因为平面，平面，故，故，同理，故，而，所以，故，故.故选D.【点睛】本题考查点到平面的距离，此类问题可用等积法来处理，本题属于基础题.11.如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，由题意知：当、时，、、、共面，设平面的法向量为，，，则，取，解得，设平面的法向量为，，，则，取，解得，设平面与平面所成锐二面角为，则，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故选：B.12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（）A.(1，1，1) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．考点：空间直角坐标系中点的坐标．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为________．【答案】【解析】【分析】利用直线与平面平行的方向向量与平面法向量的关系及向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，可得，即，解得,所以的值为.故答案为：.14.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是_____.【答案】±【解析】【分析】根据平面ABC的法向量和以及为单位向量，建立方程即可．【详解】设平面ABC的单位法向量是，则解得或，所以平面ABC的单位法向量是±【点睛】本题主要考查向量数量积及模的坐标运算，关键要掌握运算法则，属于基础题．15.已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据正四棱台的几何特征可以的交点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别表示出直线与的方向向量，利用空间向量即可求出结果.【详解】连接交于点，连接交于点，连接，则平面；因为平面，所以；又底面是正方形，所以，即；所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：因为，，所以.易知平面平面，所以为侧棱与底面所成的角，即，.设棱台的高为，则，解得；所以，可得，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：16.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．【详解】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝．故答案为【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.【答案】【解析】【分析】由空间向量的基本定理求解即可【详解】因为BG＝2GD，所以，又，所以故答案为：18.已知向量=(1,3,2),=(2,1,1),点A(3,1,4),B(2,2,2).(1)求|2+|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥?(O为原点)【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可．（2）假设存在点E，则+t，再根据⊥b,建立方程可求出t=．【详解】(1)2a+b=(2,6,4)+(2,1,1)=(0,5,5),故|2a+b|==5.(2)+t=(3,1,4)+t(1,1,2)=(3+t,1t,42t),若⊥b,则·b=0,所以2(3+t)+(1t)+(42t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为E.【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，向量的模及向量垂直等，属于中档题．19.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1的夹角．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】连接交于点，连接在三角形中由中位线得，继而证明线面平行(2)建立空间直角坐标系,运用空间向量求出向量夹角的余弦值，从而得到夹角【详解】(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1.∵AB1平面BC1D，OD平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz.则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)．∴＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．设异面直线AB1与BC1的夹角为θ，则cosθ=1，【点睛】本题考查了线面平行及异面直线所成角的问题，在证明线面平行时运用其判定定理，有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形来证明线线平行，异面直线所成角的问题可以采用建立空间直角坐标系，运用坐标来求解。20.如图所示,在四面体ABCD中,AB,BC,CD两两互相垂直,且BC=CD=1.(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;(2)求二面角CABD大小;【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）CD⊥AB,CD⊥BC,可得CD⊥平面ABC，从而有平面ACD⊥平面ABC．（2）建立空间坐标系，求出平面ABC的法向量=(1,0,0)和平面ABD的一个法向量为(1,1,0)，代入计算公式即可．【详解】(1)证明因为CD⊥AB,CD⊥BC,所以CD⊥平面ABC.又因为CD⊂平面ACD,故平面ACD⊥平面ABC.(2)解设AB=a,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1,0),于是=(1,1,0),=(0,0,a).显然平面ABC的法向量=(1,0,0).设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则有·n=x+y=0,·n=az=0,所以z=0,取y=1,则x=1,则n=(1,1,0).因此cos<,n>==,由图可知二面角CABD为锐角,所以二面角CABD的大小为45°.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和二面角的计算，属于中档题，计算二面角大小的常用方法；(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)定义法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．21.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=AC.又平面QBC垂直于底面ABC.(1)求证:PA∥平面QBC;(2)若PQ⊥平面QBC,求锐二面角QPBA的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）过点Q作QD⊥BC交BC于点D,则QD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，可得QD∥PA，从而问题得证．（2）建立空间直角坐标系，找出二面角QPBA所在的两个平面的法向量，求出法向量夹角的余弦值，结合角的范围，得出最终结果．【详解】(1)证明过点Q作QD⊥BC交BC于点D,因为平面QBC⊥平面ABC,所以QD⊥平面ABC.又PA⊥平面ABC,所以QD∥PA.而QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC,所以PA∥平面QBC.(2)解因为PQ⊥平面QBC,所以∠PQB=∠PQC=90°.又PB=PC,PQ=PQ,所以△PQB≌△PQC,所以BQ=CQ.所以点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,因此AD⊥平面QBC,故四边形PADQ是矩形.分别以AC,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.设PA=2a,则Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a).设平面QPB的法向量为n=(x,y,z),因为=(a,a,0),=(0,2a,2a),所以取n=(1,1,1).又平面PAB的一个法向量为m==(1,0,0),设锐二面角QPBA的大小为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=,即锐二面角QPBA的余弦值等于.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定定理及利用向量法求二面角的余弦值的相关知识，属于中档题．用向量法求二面角（正、余弦值）基本过程如下：首先求出构成二面角的两个平面的法向量和（适当建立空间直角坐标系），再代入公式，其中为二面角的平面角，最后求解（结合问题对正负号取舍）．22.四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥平面D1AC.(1)求二面角EACD1的大小;(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设AC与BD交于O,以O为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，用坐标分别表示有关向量，分别求平面EAC和平面D1AC的法向量