江西省上进联盟2023-2024学年高三下学期一轮总复习（开学考）验收考试数学试卷

绝密★启用前2023—2024学年高三一轮总复习验收考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无放.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求集合，再根据交集的定义，即可求解.【详解】由，又，则.故选：C2.已知定义在上的函数的导函数为偶函数.则（）A. B. C. D.2025【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质可得，再代入求解即可.【详解】，又为偶函数，所以，即，即，所以.故选：A.3.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，将焦半径转化为点到准线的距离即得.【详解】由可得：，则抛物线的准线方程为：直线，又，则.故选：D.4.研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】设前后两次地震释放的能量分别为，由已知得，两式相减得，则，因为，则，即，所以的整数部分为5.故选：C.5.已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解.【详解】如图，在上取一点，使得，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以与相交于且为的中点，又在上，所以与相交于，且O平分，，所以四点四点共面且四边形为平行四边形，所以过三点的截面是平行四边形，，，，故截面面积为.故选：A.6.已知复数.且，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义，得到复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，得到圆的方程，再由，结合的几何意义为过圆上的点与定点的直线的斜率，利用直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】由复数满足，即为，根据复数几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即圆，如图所示，，又由的几何意义为过圆上的点与定点的直线的斜率，直线的方程为，由题意可知，圆心到直线的距离，即，解得，即，又由，可得.故选：C.7.已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数满足的条件可得的解析式，根据对称性及正弦函数的零点、单调性可得的取值范围.【详解】因为，故，故，而，故，故，故.由可得的图象关于点对称，，即，其中.当时，，因函数在上的前5个零点依次为，可得，解得，又在上不是单调函数，，解得，综上故选：B.【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，应该利用整体法先求出整体的范围，再结合正弦函数的性质可得整体的性质.8.142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用导数研究函数的单调性可得，结合可得，则；由得，进而，即可求解.【详解】由题意知，，设，，当时，单调递增，所以，所以.因为，所以，得，所以，即；由，得，所以，即，所以，即.综上.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．常用的不等式：，，，，.，二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量在由正方形组成的网格中位置如图所示（网格中面积最小的正方形边长为1），则（）A.B.存在实数，使得.C..D.向量在方向上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】A.由向量的模公式求解判断；B.由共线向量定理判断；C.设网格中方向向右､向上的单位向量分别为，且，得到运算判断；D.利用投影向量的定义判断.【详解】解；，A正确；由图可知，向量不共线，故不存在实数，使得错误；设网格中方向向右､向上的单位向量分别为，且，则，所以正确；由图可知，向量在方向上的投影向量方向向右､模长为1，所以向量在方向上的投影向量为，D错误.故选：AC.10.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（）A.正八面体的内切球表面积为B.正八面体的外接球体积为C.若点为棱上的动点，则的最小值为D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明//平面，将的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得.【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，解得，故它的内切球表面积为，故A项正确；对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，,在中，,利用对称性知,故点为正八面体外接球的球心，则，所以正八面体外接球的体积为，故项错误；对于C项，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形.连接与相交于点，此时,,则取得最小值为，故项正确；对于D项，易知，因为平面平面，所以//平面，所以，故D项正确.故选：ACD11.已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，化简得到，得出是以为首项，公比为的等比数列，求得，结合数列的性质，以及数列的求和方法，逐项判定，即可求解.【详解】由两边同时除以，可得，所以，，故数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，对于A中，因为，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，由，当时，显然成立；当时，，所以，所以D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据等差数列求和公式，结合余弦函数值求解即可.【详解】，所以.故答案为：13.“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.故答案为：14.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为1的直线与的右支交于两点，若的内心恰好在它的一条高线上，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的离心率，再就、及分类讨论后结合余弦定理可得双曲线的离心率.【详解】由题设可知该三角形为等腰三角形.由对称性，不妨设在第一象限，为第四象限，设，故直线为，代入的方程可得1，即，.设，则，故即，所以，结合可得，设，由双曲线定义可得，①当时，，即，故，因为直线的斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，舍去；②当时，，即，故，因为直线的斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，因为，所以，满足题意；③当时，直线垂直于轴，与题意矛盾，故舍去.综上，的离心率为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，点在边上，.求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形后可得角；（2）由余弦定理得，从而得直角，结合向量的线性运算得出，平方后求得，然后得出，从而可得三角形面积．【小问1详解】由，得.由正弦定理得，，.小问2详解】由余弦定理，得，又.，，，，，的面积.16.2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市M社区年龄在的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示年龄（单位：周岁）频数3081996030持喜爱态度2465753012（1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）（2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率：（3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种：方案一：按年龄a进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为，将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案【答案】（1）44.3；（2）；（3）采取方案二.【解析】【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解；（2）设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下，根据频数分布表，利用古典概型的概率求得，再利用条件概率求解；（3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其对应的概率，再求期望；对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其相应概率，再求期望，对比下结论.【小问1详解】解：样本中市民年龄的平均数为.【小问2详解】设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下.则由频数分布表可知，所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为.【小问3详解】对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，其对应的概率分别为，故.对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为.可得；，，所以，因为，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二.17.已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得；（2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数表示，求出平面的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得.【小问1详解】分别是边的中点，，如图，连接交于，连接，由折叠可知，平面平面，平面平面.【小问2详解】等边的边长为，，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，在平面中，，不妨设平面的法向量，则令，得，故可取.则点到平面的距离为解得或（舍去），为的中点，，满足条件的点存在，且.18.已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.（1）若点为上一动点，求的最大值与最小值；（2）若，求的斜率；（3）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）（3）存在定点【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义可得，则，当点与的左、右顶点重合时取到最值；（2）设，根据平面共线向量的坐标表示可得，结合求出点B的坐标，利用两点表示斜率公式计算即可求解；（3）假设满足条件的点存在，易知直线的斜率不存在时；设，根据平面向量数量积的坐标表示可得，当直线的斜率存在时，设：，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入，化简计算即可求解.【小问1详解】设的左焦点为，则，由椭圆的定义知，，所以，当且仅当点与的左顶点重合时取等号，即的最大值为；，当且仅当点与的右顶点重合时取等号.即的最小值为.【小问2详解】设，则由，得，所以，即，又在上，所以，即解得即.故直线的斜率为.【小问3详解】假设满足条件的点存在，设，则，当直线的斜率存在时，设的方程为，把代入，得，所以，，，所以为定值，所以，解得，存在定点，使