2023-2024学年高二数学2019选择性试题2.3圆与圆的位置关系

2.3圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（

）A．外离 B．外切 C．内含 D．内切【答案】C【解析】由两圆的标准方程可得，，，；则，所以两圆不可能内含.故选：C.2．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定【答案】A【解析】圆C1：x2+y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r＝1，圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0的圆心C2，半径R，∴，而，∴两圆相交．故选：A．3．已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；连立可得中点，易知A、B错误.∴，两式相减可得，故D正确.故选：D4．若圆与圆外切，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得．故选：C.5．圆和圆的公切线的条数为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵两个圆与，∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，∴两圆圆心距为，∵，∴两圆相交，有条公切线.故选：B.6．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴，即，由，解得．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：A.7．设，则两圆与的位置关系不可能是（

）A．相切 B．相交 C．内切和内含 D．外切和外离【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为4；圆的圆心为，半径为．两圆心之间的距离为，又因为，所以两圆不可能外切和外离．故选：D．8．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【答案】D【解析】设圆､圆的半径分别为､.圆的方程可化为，圆的方程可化为.由两圆相切得，或，∵，∴或或或(舍去).因此，解得a=34或解得故选:D.二、多选题9．圆与圆，下列说法中正确的是（

）A．若，对于任意的，圆与圆始终外切B．若，分别为圆与圆上的动点，则的最大值为C．若，对于任意的，圆与圆的公共弦长为D．若，为圆与圆的交点，则圆上存在无数个点，使【答案】ABCD【解析】对于A，当时，圆的圆心，半径为；圆的圆心为，半径为；，圆与圆始终外切，A正确；对于B，由A知：，，B正确；对于C，当时，公共弦所在直线方程为：，圆的圆心到公共弦所在直线的距离，公共弦长为：，C正确；对于D，当时，直线方程为：，直线过圆的圆心，即为圆的直径，圆上异于的点，均可以使，有无数个，D正确.故选：ABCD.10．[多选题]当实数变化时，圆：与圆：的位置关系可能是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】ABCD【解析】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，则，，．∵，∴当时，两圆内切；当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；故选：ABCD.11．已知圆，则下列说法正确的是（

）A．圆的半径为B．圆截轴所得的弦长为C．圆上的点到直线的最小距离为D．圆与圆相离【答案】BC【解析】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，故选项B正确；对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；故选：BC.12．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（）A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为【答案】BCD【解析】由题意得：A选项：、、所在的圆的方程分别为，，.曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；B选项：设与的公切线方程为，则，所以，，所以与的公切线方程为，即，故B正确；C选项：由和两式相减得，即为公共弦所在的直线方程，故C正确；D选项：所在的圆的方程为，圆心，圆心到直线的距离，则所求的弦长为，故D正确.故选：BCD三、填空题13．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．【答案】1【解析】圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.故答案为：1．14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.15．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于2，圆､圆均与圆外切．已知直线过点．（1）若直线与圆、圆均相切，则截圆所得弦长为__________；（2）若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则__________．【答案】

3

【解析】（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为，，设公切线方程为且存在，则，解得，，故公切线方程为，则到直线的距离，故截圆的弦长；（2）设方程为且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：，，，则，即有，①，②解①得，代入②得，则，即，故答案为：3；．16．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是_______.【答案】【解析】由可得，因此圆的圆心为，半径为1，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，只需点到直线的距离，即，所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：.四、解答题17．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【解析】(1)联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，由题意可得，整理可得，解得或.故所求切线方程为或，即或.(2)解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，设点，由可得，整理可得，由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，即，解得.所以，圆心的横坐标的取值范围是.18．已知为圆：上任意一点.(1)求的最大值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.【解析】(1)∵的圆心，半径，设，将看成直线方程，∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，解上式得：，∴的最大值为.(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，∴，可得，∴的最大值为，最小值为；(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，则，；19．已知圆，圆.(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.【解析】(1)把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.20．动圆与轴交于，两点，且是方程的两根．（1）若线段是动圆的直径，求动圆的方程；（2）证明：当动圆过点时，动圆在轴上截得弦长为定值．【解析】（1）是方程的两根，，．动圆与轴交于，两点且线段是动圆的直径，动圆的圆心坐标为，半径为．动圆的方程为：．（2）证明：设动圆的方程为：，动圆与轴交于，，令，则．由题意可知，．又动圆过点，，即．令，则，解得或．．动圆在轴上截得弦长为．动圆在轴上截得弦长为定值．21．在平面直角坐标系中，已知圆过点，，．（1）求圆的一般方程；（2）若圆与圆相切于点，且圆的半径为，求圆的标准方程．【解析】（1）设圆的一般方程为：，分别代入点，，的坐标可得：，解得，，，故圆的一般方程为：.（2）圆的标准方程为：，则圆心，所以