2020-2021学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.在抛物线y=N-4x-5上的一个点的坐标为（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（1,0）D.（-1,0）

2.在半径为6c机的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）

A.TicmB.2ircmC.3ncmD.6ucm

3.将抛物线＞=/先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解

析式为（）

A.y=（x+3）2+5B.y=（尤-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y=（x-5）2+3

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过

紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和

大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出

相关的几何图形（图2）,我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2

中的四边形ABCD与四边形ABC。是位似图形，点0是位似中心，点A是线段OA的

中点，那么以下结论正确的是（）

图1图2

A.四边形A8CO与四边形A8C。的相似比为1：1

B.四边形ABC。与四边形ABC。的相似比为1：2

C.四边形ABC。与四边形ABC。的周长比为3：1

D.四边形ABCD与四边形AbCO的面积比为4：1

5.如图，43是。。的直径，C。是弦，若/C£）B=32°,则/ABC等于（）

A.68°B.64°C.58°D.32°

6.若抛物线y=〃N+"+c（〃#0）经过A（1,0）,B（3,0）两点，则抛物线的对称轴为

（）

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

7.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民

用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用

无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2017年底至2019年底,

全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为心则可列出关于x的方程为（）

A.2.44（1+x）=6.72B.2.44（1+2无）=6.72

C.2.44（1+x）2=6.72D.2.44（1-尤）2=6.72

x+4（x<a）

8.现有函数9如果对于任意的实数”，都存在实数相，使得当x=初时，

Lx"-2x（x》a）

y=〃，那么实数。的取值范围是（）

A.-5WaW4B.-1W“W4C.-4&W1D.-44W5

二、填空题（共8小题）.

9.若正六边形的边长为2,则它的半径是.

10.若抛物线y=a\2经过4（1,3）,则该抛物线的解析式为.

11.如图，在RtZvlBC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,贝！|sinB=.

12.若抛物线y=ox2+bx+c（a+。）的示意图如图所示，则。0,b0,c0

（填,“="或.

13.如图,AB为。。的直径,AB=10,CD是弦,AB，。于点E,若C£)=6,则EB=.

14.如图,尸4尸2是。。的两条切线,42为切点，若。1=2,/”8=60°,则PB=

15.放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小.

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点4B,C,。处连接起来，使得

直尺可以绕着这些点转动，。为固定点，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在点4,E处分

别装上画笔.

画图：现有一图形〃，画图时固定点O,控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此

时点£处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N.

原理：

若连接。4,0E,可证得以下结论：

①△OZM和△OCE为等腰三角形，则/。04=3(180°-/ODA),ZCOE=-^-(180°

-N);

②四边形ABC。为平行四边形(理由是)；

@ZDOA=ZCOE,于是可得。，A,E三点在一条直线上；

④当路洛时，图形N是以点。为位似中心，把图形M放大为原来的______倍得到的.

CD5

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4,3),OO经过点尸.点A,点8在y轴上，

PA=PB,延长PA,PB分别交。。于点C,点。，设直线C。与无轴正方向所夹的锐角

为a.

(1)O。的半径为;

(2)tana=.

三、解答题(共52分，第17、18、20~22题每小题5分，第19题6分，第23〜25题每

小题5分)

17.计算：2sin60°-tan45°+cos230°.

18.已知关于x的方程x^+2x+k-4=0.

(1)如果方程有两个不相等的实数根，求左的取值范围；

(2)若％=1,求该方程的根.

19.借助网格画图并说理：

如图所示的网格是正方形网格，△A8C的三个顶点是网格线的交点，点A在8C边的上

方，于点。，BD=4,CD=2,AD=3.以8C为直径作。0,射线D4交O。于

点E,连接CE.

(1)补全图形；

(2)填空：/BEC=0,理由是；

(3)判断点A与OO的位置关系并说明理由;

(4)ABAC/BEC(填“>"或).

20.二次函数丫="2+%+(?(°W0)的图象经过(3,0)点，当无=1时，函数的最小值为-

(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；

(2)直线x—m与抛物线y—ax2+bx+c(aWO)和直线>=尤-3的交点分别为点C,点D,

点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围.

21.如图，为。。的直径，AC为弦,点D在。。外，NBCD=NA,交。。于点E.

(1)求证：是。。的切线；

Q

(2)若。=4,AC=2.7,cos/BCD=言，求。E的长.

ED

22.如图，正方形A8CD的边长为4,点E在边上，BE=1,尸为BC边的中点.将正

方形截去一个角后得到一个五边形4所。，点P在线段所上运动(点尸可与点E,点

厂重合)，作矩形其中M,N两点分别在C，AD边上.

设CM=x,矩形PMDN的面积为S.

(1)DM=(用含x的式子表示)，x的取值范围是；

(2)求S与尤的函数关系式；

(3)要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积.

N

aiD

£L

XI”

BF。

23.已知抛物线y=[x2+x.

(1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；

(2)已知该抛物线经过A(3w+4,ji),B(2a-1,以)两点.

①若n<-5,判断yi与"的大小关系并说明理由；

②若A,8两点在抛物线的对称轴两侧，且”>券，直接写出w的取值范围.

24.在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,2C=«.将△ABC绕点B顺时针旋

转a(0°<aW120。)得到△ABC,点A,点C旋转后的对应点分别为点A,点C.

(1)如图1,当点。恰好为线段A4,的中点时，a=°,44』；

(2)当线段A4与线段CC有交点时，记交点为点D

①在图2中补全图形，猜想线段与A。的数量关系并加以证明；

②连接8。，请直接写出BD的长的取值范围.

图1图2

25.对于平面内的图形Gi和图形G2,记平面内一点P到图形G上各点的最短距离为d,

点尸到图形&上各点的最短距离为本，若di=d2,就称点尸是图形Gi和图形&的一个

“等距点”.

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0),B(0,2、/与).

(1)在R(3,0),S(2,0),T(1,收)三点中，点A和点B的等距点是；

(2)已知直线y=-2.

①若点A和直线>=-2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；

②若直线y=a上存在点A和直线y=-2的等距点，求实数a的取值范围;

(3)记直线A8为直线/i,直线自y=-噂x,以原点。为圆心作半径为7■的O。.若

O

Q0上有m个直线Zi和直线h的等距点，以及n个直线Zi和y轴的等距点(加WO,九WO),

当机#九时，求厂的取值范围.

参考答案

一、选择题（共24分，每小题3分）

1.在抛物线y=N-4%-5上的一个点的坐标为（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（1,0）D.（-1,0）

解：当x=0时，y=-5,因此（0,-4）不在抛物线y=N-4%-5,

当％=2时，y=4-8-5=-9,因止匕（2,0）不在抛物线y=N-4%-5上，

当％=1时，^=1-4-5=-8,因此（1,0）不在抛物线y=N-4x-5上，

当x=-1时，y=l+4-5=0,因止匕（-1,0）在抛物线y=x2-4%-5上，

故选：D.

2.在半径为6c机的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）

A.ucmB.2ircmC.3itemD.6ncm

解：弧长为：叱j6=2TT（cm）.

loU

故选：B.

3.将抛物线y=N先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解

析式为（）

A.y=（尤+3）2+5B.y=（尤-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y—（x-5）2+3

解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：y=（尤-3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y=（x-3）2+5,

故选：B.

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过

紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和

大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出

相关的几何图形（图2）,我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2

中的四边形ABCD与四边形A8CD是位似图形，点。是位似中心，点A是线段OA的

中点，那么以下结论正确的是（）

图1图2

A.四边形A8CO与四边形ABC。，的相似比为1：1

B.四边形A8CZ)与四边形ABCO的相似比为1：2

C.四边形A8C。与四边形AB'CO的周长比为3：1

D.四边形ABC。与四边形AECO的面积比为4：1

解：：四边形ABCD与四边形A8CO是位似图形，点0是位似中心，点A'是线段OA

的中点，

：.OA'：OA=1：2,

：.A'B'：AB=1：2,

四边形ABC。与四边形A8CD的相似比为2：1,周长的比为2：1,面积比为4：1.

故选：D.

5.如图，A8是。。的直径，CD是弦,若NC£)8=32°,贝U/4BC等于()

解：•.•AB是。。的直径,

NADB=90°,

：.ZADC+ZCDB^9Q°,

ZADC=90°-ZCZ)B=90°-32°=58°,

,：ZABC=ZADC,

：.ZABC=58°,

故选：C.

6.若抛物线>=办2+匕尤+。(qWO)经过A(1,0),B(3,0)两点，则抛物线的对称轴为

()

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

解：•・,抛物线y=N+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)两点，

,抛物线对称轴为直线犬=号=2,

故选：B.

7.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民

用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用

无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2017年底至2019年底,

全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x,则可列出关于x的方程为()

A.2.44(1+x)=6.72B.2.44(l+2x)=6.72

C.2.44(1+x)2=6.72D.2.44(1-x)2=6.72

解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为羽

则可列出关于1的方程为2.44(1+x)占6.72,

故选：C.

x+4(x<a)

8.现有函数9如果对于任意的实数力都存在实数如使得当％=根时，

Lx，-2x(x)a)

y=n9那么实数。的取值范围是()

A.B.C.D.-

解：令X+4=N-2X,

整理得，x2-3x-4=0,

解得的=-L%2=4,

由图象可知，当-lWaW4时，对于任意的实数小都存在实数相，使得当％=机时，函

数>=九，

故选：B.

VA

二、填空题(本题共24分，每小题3分)

9.若正六边形的边长为2,则它的半径是2

解：如图所示，连接OC；

:此六边形是正六边形,

360°

NBOC=~T=60°,

"：OB=OC,

.,.△BOC是等边三角形,

：.OB=OC=BC=2.

10.若抛物线y=ax2QW0)经过A(1,3),则该抛物线的解析式为y=3N

解：把A(1,3)代入丫=°尤2(aWO)中,

得3=。*I2,

解得。=3,

所以该抛物线的解析式为y=3N.

故答案为：y=3N.

2

11.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=6,AB=9,则sin8=

一3一

解：在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6,AB=9,

mil.RAC62

故答案为：

O

12.若抛物线y—ax2+bx+c(a+0)的示意图如图所示，则a>0,b<0,c<0

（填“>”，“=”或.

解：：抛物线开口方向向上,

:对称轴在y轴的右侧，

：.b<0,

,/抛物线与J轴交于负半轴,

.•.c<0.

故答案为〉，<,<.

13.如图，为。。的直径，AB=10,CD是弦，于点E,若CD=6,则EB=1

C

解：连接0C,如图所示：

:弦CD_L4B于点E,C£>=6,

：.CE=ED=—CD=3,

2

:在RtZXOEC中，ZO£C=90°,CE=3,OC=/AB=5,

.1.OE=^52-32=4,

：.BE=OB-OE=—AB-OE=5-4=1,

2

故答案为：1.

14.如图，PA,PB是O。的两条切线，A,B为切点,若04=2,ZAPB=60°,贝。尸8=

解：-：PA,是。。的两条切线，ZAPS=60°,。4=。8=2,

/.ZBPO=-^ZAPB=30°,BOLPB.

；.PO=2AO=4,

^=VP02-0B2=V42-22=2V3-

故答案是：2M.

15.放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小.

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A,B,C,。处连接起来，使得

直尺可以绕着这些点转动，。为固定点，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在点A,E处分

别装上画笔.

画图：现有一图形画图时固定点。，控制点A处的笔尖沿图形加的轮廓线移动，此

时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N.

原理：

若连接OA,OE,可证得以下结论：

①△OD4和△OCE为等腰三角形，则/。OA制(180°-/ODA),ZCO£=-^(180°

-ZOCE)；

②四边形ABCD为平行四边形(理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；

@ZDOA=ZCOE,于是可得。，A,E三点在一条直线上；

④当坞•时，图形N是以点。为位似中心，把图形M放大为原来的—皂倍得到的.

解：①和△OCE为等腰三角形，

：.ZDOA=^-(180°-ZODA),ZCOE=-^(180°-/OCE)；

@'：AD^BC,DC=AB,

四边形ABC。为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；

③连接04,AE,

9

：ZDOA=ZCOEf

・・・0,A,E三点在一条直线上;

・••设C0=A3=BE=3x,0D=AD=BC=5xf

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.AAOD^AEOC,

.OC=3x+5x=8

,•瓦—5x一丁

•••图形N是以点。为位似中心，把图形M放大为原来的■!，

D

故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

D

16.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，P（4,3）,OO经过点尸.点A,点8在y轴上，

PA=PB,延长PA,PB分别交。。于点C,点。，设直线8与无轴正方向所夹的锐角

为a.

（1）G。的半径为5；

解：（1）连接OP.

VP(4,3),

22

JOP=^3+4=5,

故答案为：5.

(2)设CD交无轴于/过点尸作P7UA3交。。于T,交0C于E,连接CT,DT,0T.

VP(4,3),

：.PE=4,0E=3,

PFA

在Rt^OPE中，tanNPOE=^=m，

VOE±PTfOP=OT,

：.ZPOE=ZTOE,

：.ZPDT=—ZPOT=/POE,

2

'：PA=PB.PELAB,

：.ZAPT=/DPT,

・•・TC=D「

：.ZTDC=ZTCD,

〈PT〃无轴，

；・/CJO=NCKP,

■:NCKP=NTCK+/CTK,NCTP=NCDP,ZPDT=ZTOC+ZCDP,

：.ZTDP=ZCJO,

；・/CJO=NPOE,

4

tanNG/O=tanNPOE=—

故答案为：—.

三、解答题(本题共52分，第17、18、20-22题每小题5分，第19题6分，第23〜25

题每小题5分)

17.计算：2sin60°-tan45°+cos230°.

解：原式=2X冷-1+(乎)2

18.已知关于x的方程N+2x+k-4=0.

(1)如果方程有两个不相等的实数根，求左的取值范围；

(2)若左=1,求该方程的根.

解：(1)△=22-4XlX(k-4)=20-4k.

:方程有两个不相等的实数根，

.,.△>0.

/.20-4k>0,

解得上<5；

(2)当％=1时，原方程化为炉+2%-3=0,

(x-1)(尤+3)=0,

x-1=0或无+3=0,

解得无1=1,尤2=-3.

19.借助网格画图并说理：

如图所示的网格是正方形网格，△A8C的三个顶点是网格线的交点，点4在BC边的上

方，AOL8C于点。，BD=4,CD=2,AD=3.以8C为直径作。。，射线D4交于

点E,连接BE,CE.

(1)补全图形；

(2)填空：ZBEC=900,理由是直径所对的圆周角是直角；

(3)判断点A与O。的位置关系并说明理由；

(4)ABAC<ZBEC(填“>”，“=”或.

(2)是直径，

.1.ZBEC=90°(直径所对的圆周角是直角).

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角.

(3)点A在。。外.

理由如下：连接。A.

,：BD=4,CD=2,

:.BC=BD+CD=6,r=—=3.

2

-：AD±BC,

：.ZODA=9Q°,

在RtZXAO。中，AD=3,0D=BD-OB=1,

OA=VOD2+AD2=Vl2+32=V10-

1•,710>3,

OA>rf

，点A在O。外.

(4)观察图像可知：ZBAC＜ZBEC.

故答案为：＜.

20.二次函数y=ax2+bx+c(a=0)的图象经过(3,0)点，当x=l时，函数的最小值为-

4.

(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；

(2)直线x=m与抛物线y=ax2+bx+c(aWO)和直线y=x-3的交点分别为点C,点D,

点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围.

解：(1),当尤=1时，二次函数y=ox2+bx+c(qWO)的最小值为-4,

二次函数的图象的顶点为(1,-4),

二次函数的解析式可设为y=a(x-1)2-4(aWO),

:二次函数的图象经过(3,0)点，

：.a(3-1)2-4=0.

解得a=1.

.,.该二次函数的解析式为y=(x-1)2-4；

如图，

(2)由图象可得加＜。或机＞3.

21.如图，为的直径，AC为弦，点。在。。外，ZBCD=ZA,OO交。。于点E.

(1)求证：8是。。的切线；

Q

(2)若。=4,AC=2.7,cosZBCD=-^y,求。E的长.

〈AB为。。的直径，AC为弦，

AZACB=90°,ZOCB+ZACO=90°.

9

：0A=0Cf

：.ZACO=ZA.

'：ZBCD=ZAf

：.ZACO=ZBCD.

：.ZOCB+ZBCD=90°.

：.ZOCD=90°.

：.CD_LOC.

・・・0C为。。的半径,

・・・8是。0的切线;

q

(2)解：9：ZBCD=ZA,cosNBCZ)=云,

9

cosA=cosZBCD=--

20

9

在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=2.7,cosA

20

27

.anAC年久

..AB=----=9=6.

cosh元

AR

・•・OC=OE=-^-=3

2

在RtZkOCQ中，ZOCD=90°,OC=3,CD=4,

OD=VOC2-<D2=VS2+42=5-

：.DE=OD-OE=5-3=2.

22.如图，正方形ABC。的边长为4,点E在AB边上，BE=1,尸为BC边的中点.将正

方形截去一个角后得到一个五边形AEFCZ）,点P在线段EF上运动（点尸可与点E,点

厂重合），作矩形PMDN,其中M,N两点分别在CD,边上.

设CM=x,矩形PMON的面积为S.

（1）DM=4-x（用含x的式子表示）,尤的取值范围是OWxWl；

（2）求S与无的函数关系式；

（3）要使矩形PATON的面积最大，点尸应在何处？并求最大面积.

解：（1）•正方形ABC。的边长为4,CM^x,BE=1,

：.DM^DC-CM^4-x,其中OWxWl.

故答案是：4-x,OWxWl；

(2)如图，延长MP交45于G,

:正方形ABC。的边长为4,尸为8C边的中点，四边形PMDN是矩形，CM=x,BE=1,

：.PM//BC,BF=FC=/BC=2,BG=MC=X,GM=BC=4,

：.小EGPsAEBF,EG=1-尤，

.EGPGBn1-xPG

EBBF12

：.PG=2-2x,

：.DN=PM=GM-PG=4-(2-2x)=2+2x,

:.S=DM・DN=(4-x)(2x+2)=-2x2+6x+8,其中OWxWl.

(3)由(2)知，S=-2x2+6x+8,

・.・〃=-2<0,

此抛物线开口向下，对称轴为无=-2=■，即X-I，

3

.•.当•时，y随尤的增大而增大.

:尤的取值范围为OWxWl,

当尤=1时，矩形PATON的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12.

(1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；

(2)已知该抛物线经过A(3"+4,ji),B(2n-1,”)两点.

①若〃<-5,判断州与"的大小关系并说明理由；

②若A,B两点在抛物线的对称轴两侧，且州〉以，直接写出”的取值范围.

解：(1),.,>=志2+无，

1

对称轴为直线彳=-「、支=-1，

2~2

令尤=0,则y=0,

...抛物线与y轴的交点坐标为(0,0),

(2)XA-XB=(3〃+4)-(2n-1)=〃+5,XA-1=(3〃+4)-1=3〃+3=3(n+1),XB

-1=(2n-1)-l=2n-2=2(n-1).

①当〃V-5时，XA-l<0,XB-l<0,XA-Xfi<0.

・・・A,3两点都在抛物线的对称轴x=l的左侧，且用<加，

抛物线y-x2+x开口向下，

在抛物线的对称轴尤=1的左侧，y随尤的增大而增大.

.'.yi<y2；

②若点A在对称轴直线x=l的左侧，点B在对称轴直线x=l的右侧时，

‘3n+4<l

由题意可得2n-l>l,

l-(3n+4)>(2n-l)-l

...不等式组无解，

若点B在对称轴直线尤=1的左侧，点A在对称轴直线x=l的右侧时，

'3n+4>l

由题意可得：J2n-l<l,

l-(2n-l)<3n+4-l

——1,

5

综上所述：-春<“<1.

b

24.在RtZsABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,8C=«.将△ABC绕点8顺时针旋

转a(0°<aW120°)得到△A'BC,点A,点C旋转后的对应点分别为点A,点C.

(1)如图1,当点。恰好为线段A4,的中点时，a=60°,AA'=2；

(2)当线段AA与线段CC有交点时，记交点为点D

①在图2中补全图形，猜想线段AD与AD的数量关系并加以证明；

②连接2D请直接写出的长的取值范围.

图1图2

解：（1）VZC=90°,BC=a，ZABC=30°,

.*.AC=BC*tan30°=1,

：.AB=2AC=2,

u：BA=BAr,AC=A'C',

：.ZABCr=ZArBC=30°,

：.AABA'是等边三角形，

.,.a=60°,AA'=AB=2.

故答案为：60,2.

(2)①补全图形如图所示：结论：AD^AD.

图2

理由：如图2,过点A作4C的平行线，交CC于点E,记/1=仇

:将RtAABC绕点B顺时针旋转a得到RtAA'BC,

/.ZA'CB=ZACB=90°,A'C