2021届高考数学(理)考点复习：等比数列及其前n项和(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1.))3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.4．在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.1．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】是等比数列，且，则，即，，故选．2．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，，，，，，，，，，故选．3．（2019•全国）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列3，，，，是首项为3，公比为的等比数列；且是第项；．故选．4．（2019•浙江）设，，数列满足，，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【答案】A【解析】对于，令，得，取，，当时，，故错误；对于，令，得或，取，，，，当时，，故错误；对于，令，得，取，，，，当时，，故错误；对于，，，，，递增，当时，，，，．故正确．故选．5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，，．故选．6．（2020•江苏）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是__________．【答案】4【解析】因为的前项和，因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，所以的通项公式，所以其前项和，当中，当公比时，其前项和，所以的前项和，显然没有出现，所以，则的前项和为，所以，由两边对应项相等可得：解得：，，，，所以，故答案为：4．7．（2020•新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则__________．【答案】7【解析】由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，．可得．．，，即．故答案为：7．8．（2019•上海）已知数列前项和为，且满足，则__________．【答案】【解析】由，①得，即，且，②①②得：．数列是等比数列，且．．故答案为：．9．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则__________．【答案】【解析】等比数列的前项和，，，，，整理可得，，解可得，，则．故答案为：．10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则．【答案】【解析】在等比数列中，由，得，即，，则，故答案为：．11．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立，对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时与前提矛盾，如有两项与同时取得绝对值最小值，那么必有，此时，与前提条件矛盾，所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由②知，存在，且，因为是递增数列，，使得，即，所以，此时，，成等比数列，数学归纳法：（1）已证时，满足是等比数列，公比，（2）假设时，也满足是等比数列，公比，那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可，反证法：假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，那么，由等比数列得，由性质②得，同时，所以，所以，分别是等比数列中两项，即，，原式变为，所以，又因为，，，不存在这组解，所以矛盾，所以知，为等比数列，由数学归纳法知，是等比数列得证，同理，数列恒负，也是等比数列．12．（2020•天津）已知为等差数列，为等比数列，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，则，可得，，，，，解得，；（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得，，，，；法二：数列为等差数列，且，，，，，；（Ⅲ），当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，有，和，①，由①可得，②，①②得，，因此．数列的前项和．13．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求．【解析】（1）设等比数列的公比为，则，，，．（2），．14．（2020•新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，可得，即，即为，解得舍去），所以的公比为；（2）若，则，，则数列的前项和为，，两式相减可得，化简可得，所以数列的前项和为．15．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．【解析】（1），，，解得或（舍去），，，（2）记为在区间，中的项的个数，，，故，，，，，，，，，，，，，，，，，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，由，可知，．数列的前100项和．16．（2020•新课标Ⅲ）设等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和．若，求．【解析】（1）设公比为，则由，可得，，所以．（2）由（1）有，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，，解得，或（舍去），所以．17．（2020•浙江）已知数列，，满足，，，．（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．【解析】（Ⅰ）由题意，，，，，整理，得，解得（舍去），或，，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，，．，则，，，，各项相加，可得．（Ⅱ）证明：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，，数列是一个常数列，且此常数为，，，又，，，，，故得证．18．（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．【解析】（1）数列为公差为的等差数列，，，可得，解得，则；（2）数列为公比为的等比数列，，，可得，即，则，，，即为，即，可得，即的最小值为7．19．（2019•全国）数列中，，．（1）求的通项公式；（2）求满足的的最大值．【解析】（1）．，又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，，；（2）由（1）知，，，，，，，，的最大值为9．20．（2019•浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：，．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得，解得，，，．，，数列满足：对每个，，，成等比数列．，解得，解得，．（Ⅱ）证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设，时不等式成立，即，则当时，，即时，不等式也成立．由①②得，．21．（2019•新课标Ⅱ）已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式．【解析】（1）证明：，；，；即，；又，，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：，；，．22．（2019•新课标Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，得，即，解得（舍或．；（2），，，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列的前项和．23．（2019•上海）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解析】（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．1．（2020•兴庆区校级四模）等比数列中，，则与的等比中项是A． B．4 C． D．【答案】A【解析】，．又．与的等比中项是．故选．2．（2020•德阳模拟）已知等比数列中，，，则的值为A．30 B．25 C．15 D．10【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，设其公比为，若，，则，则，则；故选．3．（2020•南岗区校级模拟）已知数列是等比数列，，，则A． B．48 C．192 D．768【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由于，可得：，①由于，可得：，可得，代入①可得：，所以．故选．4．（2020•九龙坡区模拟）已知实数，，，，成等比数列，则A． B．8 C． D．16【答案】A【解析】根据题意，实数，，，，成等比数列，则有，则，又由，则，则；故选．5．（2020•南岗区校级四模）在等比数列中，，，则A．16 B． C．或 D．16或1【答案】D【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，，则有，解可得或，若，则，若，则，故或1；故选．6．（2020•鼓楼区校级模拟）已知正项等比数列的首项和公比相等，数列满足，且，则A．4 B．32 C．108 D．256【答案】D【解析】正项等比数列的首项和公比相等，故；由题可得：；，；；，故选．7．（2020•碑林区校级模拟）在等比数列中，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比数列中，，，，解得，，．故选．8．（2020•榆林四模）已知数列为等比数列，若，，则A． B．25 C． D．5【答案】D【解析】设等比数列的公比为，，，，解得．．故选．9．（2020•香坊区校级一模）设为正项递增等比数列的前项和，且，，则的值为A．63 B．64 C．127 D．128【答案】A【解析】根据题意，正项递增等比数列中，，即，则，又由，则，解可得或，又由数列为正项递增等比数列，则；又由，则，则；故选．10．（2020•安徽模拟）等差数列的首项为5．公差不等于零．若，，成等比数列，则A． B． C． D．【答案】D【解析】等差数列的首项为5，公差不等于零，若，，成等比数列，则，即为，解得，则．故选．11．（2020•道里区校级模拟）设公比为3的等比数列的前项和为，若，则A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【解析】公比为3的等比数列的前项和为，，，解得，．故选．12．（2020•靖远县模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是A． B．2 C． D．【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，即，，在等比数列中，由，得，即，．则．故选．13．（2020•道里区校级模拟）设公比为3的等比数列前项和为，且，则A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【解析】根据题意，等比数列公比为3，且，即，则；故选．14．（2020•永康市模拟）已知数列满足，，，则数列的前10项和为A．48 B．49 C．50 D．61【答案】D【解析】由，，当时，，可得，，，，，，，，则．故选．15．（2020•全国四模）在等比数列中，，，则数列前7项的和A．253 B．254 C．255 D．256【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，，故，．故选．16．（2020•吉林四模）已知，则A． B． C． D．【答案】C【解析】，则．故选．17．（2020•吉林模拟）已知等比数列，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．【解析】（1）设数列的公比为，则，解得，所以．（2）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得到，，数列的前项和．18．（2020•武汉模拟）已知等比数列是递增的数列，且前项和为，，又，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求．【解析】（1）设公比为的等比数列是递增的数列，且前项和为，，又，，成等差数列．所以，解得，由于数列是递增的数列，所以．所以．（2）由（1）得，，当时，，所以．当时，．故．19．（2020•道里区校级一模）已知数列的前项和为，，且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和．【解析】（1），，又，数列是首项、公比均为的等比数列，且；（2）由（1）知：，．又，，两式相减得：，．20．（2020•镜湖区校级模拟）已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为．因为关于的不等式的解集为，所以，又易知，得，所以，解得或（舍．所以数列的通项公式为．（Ⅱ）由（1）可得，．因为，所以，所以数列的前项和．21．（2020•东湖区校级三模）已知数列，满足，对任意均有，，（1）证明：数列和数列均为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）证明：由，可得，，对任意均有，，可得，，则数列是首项和公比均为2的等比数列；数列为首项为1，公比为2的等比数列；（2），可得，，上面两式相减可得，化简可得．22．（2020•天津二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，求数列的前项和．【解析】（1）等差数列的公差设为，，解得，所以，；对数列，当时，；当时，，上式对也成立．所以，；（2），所以．（3）．因为，所以，而，设数列的前项和为，数列的前项和为，则，，上面两式相减可得，化简可得．当为偶数时，；当为奇数时，；综上可得．所以数列的前项和为．23．（2020•唐山二模）已知等比数列的各项均为正，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）设数列的公比为，依题意有，（3分）两式相比，整理得，解得或．（5分）因为的各项均为正，所以，，所以．（6分）（2），，（8分）所以．（12分）24．（2020•内江三模）已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，；（2）由（1）知：，．①，②，由①②可得：，．25．（2020•运城模拟）已知数列满足，，前项和为．（1）求，；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）因为，所以，两式相减得，所以，所以数列是等差数列，中令，得，又，所以数列的公差，，．（2），所以．26．（2020•梅河口市校级模拟）已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）正项数列的前项和为，且．①当时，，解得．当时，②，①②得，由于，所以（常数）．所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．（2）数列满足．所以．27．（2020•武汉模拟）若等比数列的前项和为，满足，．（1）求数列的首项和公比；（2）若，求的取值范围．【解析】（1），．显然公比，，解可得，，（2）由（1）可得，，即，解可得，．28．（2020•南京模拟）设首项为的正项数列的前项和为，为非零常数，已知对任意正整数，，总成立．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数，，成等差数列，试比较与的大小；（Ⅲ）若不等的正整数，，成等比数列，试比较与的大小．【解析】（Ⅰ）因为对任意正整数，，总成立，令，得，则令，得（1），从而（2），（2）（1）得，综上得，所以数列是等比数列（Ⅱ）正整数，，成等差数列，则，所以，则①当时，②当时，③当时，（Ⅲ）正整数，，成等比数列，则，则，所以，①当，即时，②当，即时，③当，即时，．29．（2019•安徽二模）已知等比数列，公比，，5为，的等差中项（1）求数列的通项；（2）若，且，求的值【解析】（1）等比数列，公比，，5为，的等差中项，，解得，，．（2），令，则，，相减，得：，解得．30．（2019•怀柔区一模）设是首项为1，公比为3的等比数列．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求．【解析】（Ⅰ）由题意可得，．（Ⅱ），，，，31．（2019•广西二模）已知数列中，，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【解析】（1），，，，数列是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为，，，数列的前项和．32．（2018•邯郸二模）已知数列的前项和为，且满足，2，，．（1）求证：为等比数列；（2）数列中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由．【解析】（1），时，可得：，化为：，，时，，，为等比数列，首项为2，公比为2．（2）解：由（1）可得：，可得．可知：数列单调递增．假设数列中存在不同的三项，，，，，，，．适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是，，是等差数列．，，化为：．而左边为偶数，右边为奇数．因此不成立，故假设不成立．因此数列中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列．33．（2018•鄂伦春自治旗二模）设为数列的前项和，已知，．（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？【解析】（1），，，，，，，是首项为2公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知，，，，，，即，，成等差数列．34．（2018•广西二模）已知公差不为0的等差数列的前项和，，，成等差数列，且、，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求及此等比数列的公比．【解析】（1）设等差数列的公差为．，，成等差数列，且、，成等比数列，，